Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir etwas komplexere Situationen betrachten. Insbesondere interessieren wir uns für Wahrscheinlichkeiten bei wiederholt ausgeführten oder mehrstufigen Zufallsexperimenten. Dabei stellt sich die Frage, inwiefern partielle Informationen über das Ergebnis eines Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeiten beeinflussen. Zentrale Begriffe sind dabei bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Unabhängigkeit von Ereignissen. Außerdem wird die sogenannte Bayes’sche Umkehrformel hergeleitet und in Beispielen angewandt.

Aufgaben

2.1

Beim Würfeln mit einem fairen Würfel betrachte folgende Ereignisse: $A = \{\text {Ergebnis} \text {mindestens }\, 4\}$ und $B = \left\{ \text {Ergebnis ist ungerade}\right\} .$ Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: a) $\mathbb {P}(A)$, b) $\mathbb {P}(B)$, c) $\mathbb {P}(A\cap B)$, d) $\mathbb {P}(B|A)$.

2.2

Aus einer Urne mit einer roten, einer blauen und einer weißen Kugel wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Betrachte die Ereignisse

$A = \left\{ \text {Alle gezogenen Kugeln sind rot} \right\}$,

$B = \left\{ \text {Mindestens zwei der gezogenen Kugeln haben dieselbe Farbe}\right\}$,

$C = \left\{ \text {Die erste gezogene Kugel ist wei}{\ss } \right\}$,

$D=\left\{ \text {Die letzte gezogene Kugel ist blau}\right\}$.

Berechne die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten. a) $\mathbb {P}(A|B)$, b) $\mathbb {P}(B|C)$, c) $\mathbb {P}(C|D)$, d) $\mathbb {P}(D|A)$.

2.3

In einer Gruppe von 640 Frauen und 360 Männern rauchen 15 % der Frauen und 20 % der Männer. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person dieser Gruppe Frau und Raucherin? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit raucht eine zufällig ausgewählte Person? c) Wenn eine zufällig ausgewählte Person raucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dann um eine Frau?

2.4

In der Situation von Aufgabe 2.2 untersuche man, ob die folgenden Ereignisse unabhängig sind: a) A und B, b) B und C, c) C und D, d) A und D.

2.5

In einer Fabrik wird ein Produkt von drei Maschinen, A, B und C, produziert. Maschine A produziert 50 %, B und C jeweils 25 % der Gesamtproduktion. Ein Produkt von Maschine A ist mit Wahrscheinlichkeit 0,02 defekt, von B mit Wahrscheinlichkeit 0,04 und von C mit Wahrscheinlichkeit 0,08. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Produkt dieser Fabrik defekt? b) Falls ein Produkt defekt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es von Maschine B produziert? c) Wenn ein Produkt nicht defekt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es dann von C produziert?

2.6

Zeigen Sie: Sind die Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch A und $B^c,$ $A^c$ und B sowie $A^c$ und $B^c$ unabhängig.

2.7

Es sei $\Omega =\{a,b,c,d,e, f\}$ mit $\mathbb {P}(a)=1/27, \mathbb {P}(b)=14/27, \mathbb {P}(c)=P(d)=P(e)=4/27$ sowie $A =\{d,e,a\}, B= \{c,e,a\}, C=\{c,d, a\}$. a) Zeigen Sie, dass $\mathbb {P}(A\cap B \cap C) = \mathbb {P}(A)\mathbb {P}(B)\mathbb {P}(C)$ gilt. b) Zeigen Sie, dass A, B, C nicht unabhängig sind.

2.8

In der Situation von Beispiel 2.12 sei $k=4,$ $a_1=a_2=1/4, a_3=1/8, a_4=3/8$. Weiter seien $p_1=p_2=p_3=0{,}95$ und $p_4=0{,}9$. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Signal korrekt übertragen wird. b) Falls das Signal nicht korrekt übertragen wurde, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es über Kanal 3 oder 4 gesendet?