Simulation von Zufallsvariablen, Monte-Carlo-Methode

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden einige Aspekte der Simulation von Zufallsvariablen beleuchtet. Dabei wird gezeigt, wie mit elementaren Mitteln aus gleichverteilten Zufallsvariablen auf [0, 1] wichtige vorgegebene Verteilungen erzeugt werden können. Weiter werden Grundprinzipien der Monte-Carlo-Simulation eingeführt und an Beispielen erläutert.

Aufgaben

15.1

Es seien $U_i, i\in \mathbb {N}$ unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Finden Sie eine Funktion g,  sodass $Y_i:=g(U_i)$ Pareto-verteilt zum Parameter $\alpha >1$ ist, d. h., die Verteilungsfunktion F von $Y_i$ gegeben ist durch

$$F(x)={\left\{ \begin{array}{ll}1-x^{-\alpha },&{} \text { falls } x\ge 1,\\ 0&{} \text { sonst.} \end{array}\right. } $$

15.2

Es seien $U_i, i\in \mathbb {N}$ unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Es seien $V_i:=1_{\{U_i\le 1/4\}}$ und $X:=\min \{i: V_i=1\}$. Welche Verteilung haben die $V_i,$ welche Verteilung hat X?

15.3

Es seien $U_i, i\in \mathbb {N}$ unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Geben Sie mithilfe der Zufallsvariablen $U_i$ einen Monte-Carlo-Schätzer für $\int _0^1\pi \sin (x)dx$ an.

15.4

a) Sei U auf [0, 1] gleichverteilt. Zeigen Sie: Dann ist $V:=U(b-a)+a$ auf [a, b] gleichverteilt. b) Wie wird umgekehrt eine auf [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable auf eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [0, 1] transformiert?

15.5

Verwenden Sie Aufgabe 15.4, um eine Formel für den MC-Schätzer $\hat{I}$ aus Satz 15.3 mithilfe von gleichverteilten Zufallsvariablen $V_i, i\in \mathbb {N}$ auf [0, 1] herzuleiten.

15.6

Es sei $X=(X_1,X_2)$ zweidimensional normalverteilt mit Erwartungswertvektor $m=(1, -2)$ und Kovarianzmatrix $A=\begin{bmatrix} 3 &{}-1 \\ -1 &{}1 \end{bmatrix}.$ Man verwende die Monte-Carlo-Methode, um $\mathbb {P}(X\in [0,2]\times [-2,2])$ näherungsweise zu berechnen.