Randomisierte Algorithmen: Beispiele und Anwendungen

Zusammenfassung

Ein randomisierter (auch: zufälliger oder stochastischer) Algorithmus verwendet zufällige Ereignisse bei seiner Durchführung. In vielen Situationen haben zufällige Algorithmen Vorteile gegenüber deterministischen Algorithmen. In diesem Kapitel wird keine allgemeine Theorie entwickelt, sondern einige randomisierte Algorithmen und häufig verwendete Methoden werden anhand relative einfacher Beispiele illustriert. Solche Beispiele können in der Praxis als Teilprobleme eines größeren Algorithmus auftreten.

Aufgaben

12.1

Man zeige, dass $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ von der Ordnung $\ln n$ ist.

12.2

Zeigen Sie, dass im vorgestellten MinCut-Algorithmus die erwartete Anzahl unabhängiger Versuche, bis zum ersten Mal ein MinCut gefunden wird, höchstens $\frac{n(n-1)}{2}$ ist.

12.3

Man zeige im Beweis von Satz 12.2 formal, dass (a) $\mathbb {P}(E_j\,|\,\cap _{i=1}^{j-1} E_i)=\frac{n-j-1}{n-j+1}$ ist, (b) dass $\prod _{j=1}^{n-2} \frac{n-j-1}{n-j+1}=\frac{2}{n(n-1)}$ ist.

12.4

Man zeige, dass für $k\ge 3$ und n, k derart, dass $n^k\le 2^{k/2}$ gilt, dass $\left( {\begin{array}{c}n\\ k\end{array}}\right) 2^{-\left( {\begin{array}{c}k\\ 2\end{array}}\right) +1}\le \frac{2^{k/2}+1}{k!}$ gilt. Daraus leite man eine weitere hinreichende Bedingung für die Existenz einer Zweifärbung eines vollständigen Graphen mit n Knoten ohne vollständigen Subgraphen mit k Knoten her.

12.5

Man zeige, dass eine Zweifärbung des vollständigen Graphen mit $n=1000$ Knoten ohne vollständigen Subgraphen mit $k=20$ Knoten existiert.