Isolierte Singularitäten

Zusammenfassung

Kapitel 3 beginnt mit der Charakterisierung isolierter Singularitäten, insbesondere im Zusammenhang mit ihrem Werteverhalten. Dazu gehört der Satz von Casorati-Weierstraß. Anschließend werden Laurentreihen eingeführt und ebenfalls zur Charakterisierung von Singularitäten herangezogen. Nach einem Abstecher in die Theorie der Umlaufszahlen werden Residuen und ihre Berechnungsmöglichkeiten untersucht, und der Residuensatz wird in einer einfachen Version bewiesen. Erste Anwendungen sind das Argumentprinzip, der Satz von Rouché und die Berechnung trigonometrischer und spezieller uneigentlicher Integrale. Dann werden Ketten und Zyklen eingeführt und der verallgemeinerte Integralsatz und der Residuensatz in seiner allgemeinsten Form bewiesen.

In den Anwendungen geht es um die Partialbruchzerlegung, die Berechnung komplizierterer Integrale und schließlich eine Einführung in die Theorie der Fourier- und Laplace-Transformationen.