Holomorphe Funktionen

Zusammenfassung

Kapitel 1 startet mit einer Einführung in die algebraischen und topologischen Eigenschaften der komplexen Zahlen, insbesondere werden „Gebiete“ als zusammenhängende, offene Teilmengen der Zahlenebene erklärt. Nach ersten, anschaulichen Deutungen einer komplexwertigen Funktion steht der Begriff der komplexen Differenzierbarkeit und der Holomorphie im Mittelpunkt. Polynome und konvergente Potenzreihen dienen als Beispiele, aber auch die gebrochen linearen Transformationen, die sogenannten „Möbiustransformationen“. Bei der Untersuchung der Zusammenhänge zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit tauchen die wichtigen Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen auf. Mit ihrer Hilfe können holomorphe Funktionen (und die mit ihnen nah verwandten konformen Abbildungen) auf mehrere verschiedene Weisen charakterisiert werden. Schließlich werden der komplexe Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion und mit seiner Hilfe die allgemeinen Potenzfunktionen eingeführt.

Im Anhang geht es um die Anwendung komplexer Zahlen in der Geometrie, der Elektrotechnik und der Theorie ebener Strömungsfelder.