Grundlagen der Mathematischen Statistik – vom Schätzen und Testen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten Grundbegriffe und Konzepte der Mathematischen Statistik kennen. Hierzu gehören die Begriffe statistisches Modell, Verteilungsannahme, Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzmethode, Konfidenzbereich und statistischer Test. Wünschenswerte Eigenschaften von Schätzern reeller Parameter sind eine kleine mittlere quadratische Abweichung und damit einhergehend Erwartungstreue sowie kleine Varianz. Bei Folgen von Schätzern kommen asymptotische Erwartungstreue und Konsistenz hinzu. Die Cramér-Rao-Ungleichung zeigt, dass die Varianz eines erwartungstreuen Schätzers in einem regulären statistischen Modell durch die Inverse der Fisher-Information nach unten beschränkt ist. Im Zusammenhang mit Tests lernen wir Grundbegriffe wie Hypothese und Alternative, Fehler erste und zweiter Art und Gütefunktion kennen. Wichtige Testverfahren sind der Binomialtest, der Ein- und Zwei-Stichproben-t-Test und der Chi-Quadrat-Test. Das Kapitel enthält auch Betrachtungen zu Optimalitätsfragen bei Tests wie das Lemma von Neyman-Pearson und beste Tests bei monotonem Dichtequotienten sowie Elemente der nichtparametrischen Statistik. Zu Letzteren zählen die empirische Verteilungsfunktion, Konfidenzbereichsverfahren für Quantile, der Vorzeichentest für den Median sowie der Wilcoxon-Rangsummentest.