Zusammenfassung
Leibniz erkennt schon, wohl tiefer als Kant, das fortgesetzte Teilbarkeit noch nicht das Kontinuum kennzeichnet, sondern dass man wie in der modernen Mathematik auch die Unzerlegbarkeit fordern muss. Das Verhältnis zwischen dem Kontinuierlichen und dem Diskreten ist auch in der Quantenphysik ein fundamentales Problem. Und wie Leibniz mit diesem Problem gerungen hat, lässt sich vielleicht erst aus dem Blickwinkel der modernen Physik verstehen.
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Notes
- 1.
Weierstraß drückt dies so aus: Eine Funktion f ist genau dann stetig, wenn es zu jedem \(x_0\), für das der Wert \(f(x_0)\) definiert ist, und zu jedem \(\epsilon >0\) ein \(\delta >0\) gibt mit der Eigenschaft, dass \(|f(x_0)- f(x)|<\epsilon \), sofern \(|x_0-x|< \delta \) ist. Dieses Kriterium findet sich heute in jedem Analysislehrbuch, und es formalisiert genau das, was Leibniz in [GP III], p. 52, und [GM VI], p. 129, verbal ausgedrückt hat.
- 2.
Nach Arthur [10] sind allerdings bei der mathematischen Analyse des Bewegungsproblems durch Leibniz nur die Endpunkte des jeweiligen Zeitintervalls gegeben, an denen der betrachtete Körper mit seinen physikalischen Eigenschaften präsent ist. Ob und wie er dazwischen existiert, ist unklar. Und diskrete Sprünge unterhalb einer gewissen Wahrnehmungsschwelle würden das Stetigkeitsprinzip nicht verletzen. Im Lichte der in diesem und im Kap. 6 angesprochenen mathematischen Überlegungen von Leibniz und des späteren mathematischen Begriffs des Kontinuums und der Stetigkeit wirkt dies allerdings merkwürdig.
- 3.
s. insbesondere [GM VII], p. 287.
- 4.
Ein Teil ist dann eine abgeschlossene Untermenge mit nichtleerem Inneren, und die obigen Teile S und T hätten dann einen gemeinsamen Randpunkt.
- 5.
Das Standardmodell erklärt aber nicht die sog. Dunkle Materie, auf deren Existenz aus kosmologischen Beobachtungen von Anziehungskräften im galaktischen Maßstab geschlossen wird. Die beobachteten Anziehungen sind erheblich stärker als durch die sichtbare Materie erklärbar. Sofern das newtonsche Gravitationsgesetz auch auf diesen großen Skalen gültig ist, muss es eine Art von unsichtbarer Materie geben, die diese Anziehungen hervorruft. Über die Natur einer solchen nicht direkt beobachteten, sondern nur indirekt erschlossenen Materie lässt sich natürlich viel spekulieren.
- 6.
In der heutigen naturphilosophischen Diskussion wird in dieser Hinsicht ein Strukturenrealismus diskutiert, der in stärkeren Fassungen den formalen Strukturen einen höheren Wirklichkeitsgehalt als den materialen Instantiierungen zuerkennen will. S. z. B. den Beitrag von H. Lyre in [81].
- 7.
Konstante Krümmung K haben die euklidischen (\(K=0\)), die sphärischen (\(K>0\)) und die hyperbolischen (\(K<0\)) Räume; letztere sind die im 19. Jahrhundert von Gauss, Bolyai und Lobatschewsky entdeckten nichteuklidischen Räume. Zu den diesbezüglichen Überlegungen von Leibniz s. [62].
- 8.
s. Anm. zu § 10 in [38]. Interessanterweise zitiert Cantor in § 7 zustimmend die leibnizschen Ausführungen zur unendlichen Teilbarkeit, auch wenn er andere leibnizsche Aussagen zum Konzept des Unendlichen zurückweist.
- 9.
Die häufig ausgedrückte Ansicht, dass Skalenfreiheit ein Zeichen von Komplexität ist, ist aber wohl irreführend. Strukturen, die wir als komplex ansehen, wie Lebewesen, sind gerade typischerweise dadurch charakterisiert, dass sie nicht skalierbar sind. Hierauf wies z. B. der jesuitische Naturwissenschaftler und Philosoph Teilhard de Chardin (1881–1955) hin [232, 233].
- 10.
Allerdings gibt es auch Fraktale mit ganzzahliger Dimension, und die mathematisch korrekte Definition eines Fraktals ist komplizierter als hier dargestellt; s. z. B. [83].
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Jost, J. (2019). Das Kontinuum. In: Leibniz und die moderne Naturwissenschaft. Wissenschaft und Philosophie – Science and Philosophy – Sciences et Philosophie. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-59236-6_7
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Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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