Zusammenfassung
Das Grundprinzip der einsteinschen Relativitätstheorie ist, dass sich ein System auf verschiedene Weisen lokal beschreiben lässt. Aber die Übergänge zwischen den verschiedenen lokalen Beschreibungen eines Systems müssen bestimmten Regeln genügen, und in diesen Übergangsregeln statt in den einzelnen Beschreibungen drückt sich die Struktur aus. Die Beschreibungen sind relativ, aber die absolute Struktur des Systems zeigt sich in Kompatibilitätsregeln. Um darzulegen, dass die Relativitätstheorie besser mit der relativen Raumvorstellung von Leibniz als mit dem absoluten Raumbegriff von Newton verträglich ist, werden in diesem Kapitel systematisch die mathematischen Grundlagen entwickelt. Die Geometrie entfaltet sich gemäß der Lösungen der Feldgleichungen dynamisch in der Zeit, und hierzu braucht man nur die Anfangswerte zu kennen, aber keinen fixierten Hintergrundsraum. Allerdings ermöglichen die Feldgleichungen auch das Entstehen von Singularitäten der Raumzeit.
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Notes
- 1.
Dies wird allerdings problematisch in der Interpretation Russells [208], auf die wir noch eingehen werden.
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Für eine Analyse der Positionen der verschiedenen Physiker der Aufklärung im Lichte der Relativitätstheorie sei [71] genannt.
- 3.
Allerdings war Descartes selbst hierbei nicht konsistent. Bei der Herleitung des eigentlich von Snell stammenden Brechungsgesetzes hatte Descartes angenommen, dass Licht sich in einem dichteren Medium schneller ausbreitet. Dies ist zwar falsch, beruht aber auf der grundsätzlich korrekten Annahme einer endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes. Descartes versuchte sich dieser Schwierigkeit zu entledigen, indem er postulierte, dass Licht nur eine Bewegungstendenz darstelle, eine potentielle Bewegung, die aber den gleichen Gesetzen wie eine tatsächliche Bewegung folge. Daher könne man aus dem Studium letzterer auf die Gesetze ersterer zurückschließen, s. [211]. Zu Leibniz’ Behandlung des Themas vgl. [142].
- 4.
Leibniz kannte Rømer aus seiner Pariser Zeit und schätzte dessen mathematische Arbeiten. Von 1700 an wechselte er mehrere Briefe mit ihm, u. a. über den Kalender und die Bestimmung des Osterdatums.
- 5.
Man beachte, dass das Symbol 0 auf der linken Seite einen Punkt im \(\mathbb {R}^4\) bezeichnet, auf der rechten Seite 0 dagegen viermal als Koordinatenwert, also als reelle Zahl, auftritt.
- 6.
Die umgekehrte Konvention, also ein Pluszeichen für die Zeit und ein Minuszeichen für den Raum ist genauso gut möglich und wird von vielen Autoren auch angewandt. Im Kontext physikalischer Theorien haben beide konzeptionelle Vor- und Nachteile. Die letztere Konvention wird heute meist von Physikern bevorzugt, und ich habe sie daher auch in [133] benutzt, während in der naturphilosophischen Diskussion meist die hier in (10.8) verwandte Konvention bevorzugt wird.
- 7.
Für Einzelheiten sei auf [141] verwiesen. Wir können an dieser Stelle nicht alle Details ausführen. Insbesondere muss auch noch eine topologische Struktur zugrunde gelegt werden; dies bedeutet, dass die Stetigkeit von Abbildungen definierbar ist, und alle vorkommenden Abbildungen, insbesondere die Koordinatenabbildungen, müssen stetig sein. Das Konzept der Mannigfaltigkeit ist also etwas subtiler, als es hier dargestellt werden kann.
- 8.
Das schon auf Einstein zurückgehende Argument besagt, dass, wenn die Punkte der Raumzeit eine dem metrischen Feld vorgängige Existenz besäßen, dann ein Diffeomorphismus (Koordinatenwechsel) der Raumzeit zu physikalisch verschiedenen Situationen führen müsse, was aber nicht mit dem Kovarianzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie verträglich ist (für die neuere Diskussion s. z. B. [16, 41, 72, 170]).
- 9.
Alle Funktionen seien beispielsweise differenzierbar, aber die genauen technischen Vorausssetzungen wollen wir hier nicht ausbuchstabieren, sondern hierfür lieber auf [134] verweisen.
- 10.
Kompaktheit ist ein mathematischer Begriff; eine Menge ist kompakt, wenn sie beschränkt ist und alle ihre Randpunkte enthält. Z. B. ist das Intervall der reellen Zahlen \(0\le x \le 1\) kompakt, weil beschränkt und die beiden Randpunkte 0 und 1 dazugehören. In der hier behandelten raumzeitlichen Situation ist die Beschränktheit die wesentliche Eigenschaft.
- 11.
Dieses Argument wurde u. a. von Einstein gegenüber de Sitter vorgebracht, als dieser die oben diskutierten Lösungen der Feldgleichungen vorstellte. Weyl übernahm dies in [249]: „daß die Möglichkeit einer leeren Welt den Naturgesetzen, die wir hier als gültig betrachten, widerstreitet“; s. S. 225 in der 1. Aufl. von [249].
- 12.
man vgl. z. B. [230] für die weitere Entwicklung dieses Ideen.
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Jost, J. (2019). Beziehungen zwischen Entitäten und die Relationalität des Raumes. In: Leibniz und die moderne Naturwissenschaft. Wissenschaft und Philosophie – Science and Philosophy – Sciences et Philosophie. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-59236-6_10
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