Kollektives Entscheiden

Zusammenfassung

Entscheiden zu handeln , ob allein oder in der Gruppe, ist elementar für Einzeltiere und Schwärme. Nach einer kurzen Einführung in die Grundlagen des Entscheidens, gehen wir eine Vielzahl an Modellen durch. Die Modelle kommen dabei ursprünglich aus ganz verschiedenen Bereichen, etwa der Physik oder der Meinungsdynamik.

Aufgaben

Aufgabe 5.1 – Urnenmodelle

Implementiere die drei Urnenmodelle als Computersimulation und reproduziere Abb. 5.6, 5.8 und 5.10. Probiere verschiedene Funktionen für die Wahrscheinlichkeit positiven Feedbacks $P_\text {FB}$ aus. Wie ist der Effekt auf die beobachteten Trajektorien? Welcher qualitative Unterschied ist beobachtbar für z. B. Positives-Feedback-Wahrscheinlichkeiten der Form $P_\text {FB} = |\sin (2\pi x)|$ oder ähnlich?

Aufgabe 5.2 – Hegselmann und Krause mit Rauschterm

Implementiere das Modell nach Hegselmann und Krause mit Rauschterm (Gl. 5.8) und reproduziere eine Variante der Abb. 5.12 (rechts). Wie lange braucht es durchschnittlich, bis ein einziger großer Cluster entsteht? Wie lässt sich das Modell auf einen zweidimensionalen Meinungsraum erweitern und inwiefern könnte das ein Modell für Aggregation bei Schwärmen sein?

Aufgabe 5.3 – Ising-Modell

Implementiere das Ising-Modell mithilfe des Metropolis-Algorithmus. Simuliere die angegebene Vorgehensweise mit einem Start bei $T=\infty$ (zur Initialisierung des Systems), gefolgt von einem Wechsel auf $T=0$. Führe den Metropolis-Algorithmus Schritt für Schritt aus und lasse das Programm die Energie des Systems protokollieren. Beende die Simulation, wenn sich die Energie nicht mehr ändert. Plotte den protokollierten Energieverlauf als Diagramm. Was ist zu beobachten?

Aufgabe 5.4 – Faserbündelmodell

Implementiere das Faserbündelmodell. Führe mehrere Simulationen durch, bei denen die wirkende Last langsam erhöht wird. Miss die beobachteten Ereignisgrößen $\Delta$ und protokolliere sie automatisch in einem Histogramm. Prüfe, ob das angegebene Potenzgesetz wirklich gilt.

Aufgabe 5.5 – Sznajd-Modell

Implementiere das Sznajd-Modell. Führe mehrere Simulationen durch und miss, wie oft der Schwarm im Patt und wie oft in einem vollständigen Konsens endet. Welchen Einfluss hat die Initialisierung darauf?

Aufgabe 5.6 – Bass-Diffusionsmodell

Versuche das Bass-Diffusionsmodell so umzuschreiben, dass man den Wettbewerb zwischen Betamax und VHS simulieren kann. Dazu benötigen wir also zwei Gleichungen für $S_\text {Betamax}(t)$ und $S_\text {VHS}(t)$, die auf eine bestimmte Weise miteinander gekoppelt sein sollten. Die bereits erfolgten Verkäufe des einen Produkts sollten negativen Einfluss auf die zukünftigen Verkäufe des anderen Produkts haben. Welche Parameter beeinflussen, wer letztendlich gewinnt?

Aufgabe 5.7 – Urnenmodell für das Heuschreckenszenario

Wir nutzen nochmals die Heuschreckensimulation. Dazu können wir unseren Code aus der Aufgabe 4.1 wiederverwenden. Nun arbeiten wir mit den folgenden Parameterwerten: Kreisumfang $C=0{,}5$; Geschwindigkeit 0, 01; Wahrnehmungsradius $r=0{,}045$; Schwarmgröße $N=50$; spontane Richtungsänderung mit Wahrscheinlichkeit $P=0{,}15$ pro Zeitschritt.

In der Simulation möchten wir noch immer die Linksgeher $L_t$ in Zeitschritt t bestimmen und zählen. Wir interessieren uns für die durchschnittliche Veränderung von $L_t$ in Abhängigkeit von sich selbst. Wir suchen also eine Funktion $\Delta L(L)$. Um diese Funktion messen zu können, simulieren wir die Heuschrecken zunächst für 100 Zeitschritte. Diese 100 Zeitschritte benötigen die Heuschrecken zu Beginn, um sich selbst zu organisieren. Dann simulieren wir weitere 20 Zeitschritte, während wir die Werte von  $L_t$ aufzeichnen. Zu jedem Zeitschritt $t\in [101,120]$ speichern wir die Veränderung $\Delta L=L_t-L_{t-1}$ von L innerhalb eines Zeitschrittes, indem wir den Wert z. B. in einen Array schreiben. Es ist ein Array, weil wir $\Delta L$ in Abhängigkeit von L selbst messen möchten. Daher können wir uns in unserem Programm eine Variable deltaSum[] definieren und für jeden Zeitschritt $t\in [101,120]$ folgendes berechnen: deltaSum$[L_{t-1}]=$ deltaSum$[L_{t-1}]+(L_t-L_{t-1})$. Zusätzlich zählen wir, wie oft wir etwas zu einem Eintrag des Arrays addiert haben (z. B. eine Variable count[]), um abschließend die Messungen normieren zu können. Wiederhole diese Simulationsläufe oft – bis zu 50.000 Wiederholungen könnten sinnvoll sein. Abschließen schreiben wir die Daten der gemessenen Funktion $\Delta L(L)$ in eine Datei zur späteren Verwendung.

• a) Plotte die Daten für $\Delta L(L)$. Was ist die mathematische sowie die Domänen-spezifische Bedeutung der Stelle $L^*$ mit $\Delta L(L^*)=0$?

• b) Als nächstes wollen wir das Schwarmurnenmodell zu diesen Daten fitten. Wir haben diese Gleichungen kennengelernt:

  $$\begin{aligned} P_\text {FB}(s,\varphi )&= \varphi \sin \left( \pi s\right) ,\\ \Delta s(s)&= 4 \left( P_\text {FB}(s,\varphi )-\frac{1}{2}\right) \left( s-\frac{1}{2}\right) , \end{aligned}$$

  wobei $P_\text {FB}$ die Wahrscheinlichkeit für das positive Feedback ist und $\Delta s(s)$ die erwartete durchschnittliche Veränderung der betrachteten Zustandsvariablen. Im Moment sind das die Linksgeher, und daher ist s der Anteil der Linksgeher im Schwarm $s=L/N$. Außerdem müssen wir eine Skalierungskonstante c für diese idealisierte Gleichung einführen; somit ergibt sich:

  $$\begin{aligned} \Delta s(s) = 4c \left( P_\text {FB}(s,\varphi )-\frac{1}{2}\right) \left( s-\frac{1}{2}\right) . \end{aligned}$$

  (5.22)

  Wir fitten diese Funktion auf unsere Daten, indem wir geeignete Werte für die Skalierungskonstante c und die Feedbackintensität $\varphi$ finden (dazu gibt es Tools, die das automatisch machen). Dabei sollten wir passend normalisieren und auch $\varphi$ sollte auf dem definierten Intervall $\varphi \in [0,1]$ bleiben.

• c) Plotte die Daten nun zusammen mit der gefitteten Funktion. Plotte auch die sich ergebende Wahrscheinlichkeit für positives Feedback $P_\text {FB}$. Wie können wir diese Ergebnisse interpretieren?

Aufgabe 5.8 – Aggregation an spezifischer Stelle

Wir beginnen mit der Lösung von Aufgabe 3.1 Aggregation in Robotersimulation. Dazu hatten wir ein Schwarmverhalten implementiert, das den Schwarm an einem unspezifizierten Ort aggregieren lässt. Nun möchten wir den Schwarm an einer spezifischen Stelle aggregieren lassen, nämlich im hellsten Bereich der Roboterarena.

Definiere dazu eine beliebige nicht-homogene Lichtverteilung im Raum. Wir statten unsere Roboter mit Lichtsensoren aus. Jetzt sollte die Zeit, für die die Roboter stehen bleiben, auch durch eine Messung des lokalen Helligkeitswertes beeinflusst werden. Wie kann man das sinnvoll machen? Implementiere das in die Simulation und beobachte, ob der Schwarm tatsächlich an der hellsten Stelle aggregiert. Gegebenenfalls zahlt es sich aus, die Skalierung der Wartezeit anhand der Messung zu optimieren.