Modelle

Zusammenfassung

Wir erfahren, was bei der Modellierung von Schwarmsystemen besonders ist. Mit den Ratengleichungen und speziellen Differentialgleichungen für die räumliche Modellierung lernen wir zwei Techniken kennen. Abschließend lernen wir, wie man Schwarmverhalten mittels der Definition für Selbstorganisation erkennen und automatisch erzeugen kann.

Aufgaben

Aufgabe 4.1 – Heuschreckenszenario

Wir implementieren eine Simulation und ein Modell des Heuschreckenszenarios aus Abschn. 1.2.4. Die Heuschrecken leben auf einem Ring mit Umfang $C=1$ (Positionen $x_0=0$ and $x_1=1$ sind identisch). Die Heuschrecken bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von 0,001 (ohne Einheiten) entweder nach links ($v=-0{,}001$) oder nach rechts ($v=+0{,}001$). Sie haben einen Wahrnehmungsradius von $r=0{,}045$. Eine Heuschrecke wechselt ihre Richtung in folgenden Situationen:

• 1. Die Mehrheit der Heuschrecken innerhalb des Wahrnehmungsradius gehen in die umgekehrte Richtung.

• 2. Eine Heuschrecke wechselt ihre Richtung spontan mit der Wahrscheinlichkeit $P=0{,}015$ pro Zeitschritt.

Zu Beginn sind die Heuschrecken zufällig gleichverteilt und bewegen sich entweder nach links oder rechts mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Wir simulieren einen Schwarm der Größe $N=20$ im kontinuierlichen Raum für 500 Zeitschritte.

• a) Implementiere und teste die Simulation. Plotte die Anzahl der Linksgeher über die Zeit für einen einzelnen Simulationslauf.

• b) Als Modellierungsansatz nehmen wir uns die Anzahl der Linksgeher L vor. Wir abstrahieren also vom eigentlichen System, indem wir über eine Vielzahl an möglichen Konfigurationen einen Durchschnitt bilden und alle diese Konfigurationen in einer Klasse mit gleichen Linksgeherzahlen zusammenfassen. Erstelle ein Histogramm für beobachtete Transitionen $L_t\rightarrow L_{t+1}$ (Veränderung der Anzahl an Linksgehern innerhalb eines Zeitschritts) mit der Simulation durch 1.000 unabhängige Simulationsläufe über jeweils 500 Zeitschritte. Verwende z. B. einen zweidimensionalen Array $A[\cdot ][\cdot ]$ aus Ganzzahlen. Ein Eintrag $A[L_t][L_{t+1}]$ wird um eins erhöht, wenn die Transition $L_t\rightarrow L_{t+1}$ beobachtet wird. Plotte das Histogramm.

• c) Zähle zusätzlich, wie oft jeder Modellzustand L auftritt und nutze diesen Wert M[L], um die Einträge im Histogramm zu normalisieren: A[i][j] / M[i]. So erhalten wir eine Schätzung für die Übergangswahrscheinlichkeiten des Systems. Nutze nun diese geschätzten Übergangswahrscheinlichkeiten $P_{i, j}=A[i][j]/M[i]$ statt der Simulation, um einen beispielhaften Verlauf von $L_t$ über die Zeit t zu generieren. Plotte solch eine Trajektorie von L. Vergleiche diesen Plot mit dem aus Aufgabe a.

Aufgabe 4.2 – Ratengleichungen

Wir nutzen das Ratengleichungsmodell für die Zustände Suche und Hindernisvermeidung aus Abschn. 4.2. Hier nochmals die Gleichungen dazu:

$$\begin{aligned} \frac{dn_s(t)}{dt}&=-\alpha _rn_s(t)(n_s(t)+1)+\alpha _r n_s(t-\tau _a)(n_s(t-\tau _a)+1))\nonumber \\ \frac{dm(t)}{dt}&=-\alpha _pn_s(t)m(t) \end{aligned}$$

• a) Benutze ein Softwaretool Deiner Wahl, um den zeitlichen Verlauf dieses Systems aus gewöhnlichen Differentialgleichungen zu berechnen (eine einfache Vorwärtsintegration in der Zeit kann auch schnell selbst implementiert werden). Beachte, dass wir retardierte Differentialgleichungen haben. Wie sollten wir also die Verzögerungen $t-\tau _a$ früh in der Simulation ($t<\tau _a$) behandeln? Benutze folgende Paramter: $\alpha _r=0{,}6$; $\alpha _p=0{,}2$; $\tau _a=2$; $n_s(0)=1$; $m(0)=1$. Berechne die Werte für $n_s$ und m für $t\in (0;50]$ und plotte sie. Interpretiere die Ergebnisse.

• b) Jetzt möchten wir das Modell erweitern. Zusätzlich zu den Zuständen Suche und Hindernisvermeidung führen wir einen dritten Zustand ein: Homing ($n_h$). Roboter, die einen Puck gefunden haben, führen eine Transition in den Zustand Homing durch, in dem sie dann für eine Zeit $\tau _h=15$ verweilen. Wir nehmen hier an, dass aus nicht benannten Gründen Roboter im Zustand Homing nicht miteinander oder mit Robotern in anderen Zuständen interagieren (Annahme also: keine Hindernisvermeidung notwendig für Roboter im Zustand Homing). Nach einer Zeit $\tau _h$ erreicht ein Homing-Roboter die Basisstation und führt eine Transition zurück in den Zustand Suche durch. Führe eine zusätzliche Gleichung für $n_h$ ein und verändere die Gleichung für $n_s$ entsprechend. Berechne die Werte $n_h$, $n_s$ und m für $t\in (0;160]$ und plotte das Ergebnis. Setze in einer weiteren Berechnung den Wert für die Pucks zur Zeit $t=80$ auf $m(80)=0{,}5$ und plotte das Ergebnis. Interpretiere die Ergebnisse.