Rekurrenzgleichungen

Zusammenfassung

Rekurrente Gleichungen sind Gleichungen, in denen eine Funktion einer ganzzahligen Variablen in Abhängigkeit derselben Funktion anderer Argumente dargestellt ist. In günstigen Fällen gelingt es, eine explizite Darstellung der Funktion aus der Rekurrenzgleichung abzuleiten. Bevor wir verschiedene Lösungsmethoden erläutern, zeigt der folgende Abschnitt zunächst, wie aus kombinatorischen Problemen Rekurrenzgleichungen entstehen. Den Schwerpunkt dieses Kapitel bilden lineare Rekurrenzgleichungen; der letzte Abschnitt liefert einen ersten Einblick in spezielle nichtlineare Gleichungen.

Aufgaben

3.1

Die Folge $\{f_{n}\}$ erfülle die Rekurrenzgleichung

$$f_{n}+(1-n)(f_{n-1}+f_{n-2})=0\;.$$

Bestimme $f_{n}$ für die Anfangswerte $f_{0}=1$ und $f_{1}=0$.

3.2

Welche Lösung besitzt die Rekurrenzgleichung

$$f_{n+2}+2f_{n+1}-3f_{n}=4+5\cdot 2^{n}$$

mit den Anfangswerten $f_{0}=2$ und $f_{1}=0$?

3.3

Bestimme die Lösung des Systems rekurrenter Gleichungen

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{n+1}&\displaystyle=-3g_{n}-9h_{n}\\ \displaystyle g_{n+1}&\displaystyle=3f_{n}+3h_{n}\\ \displaystyle h_{n+1}&\displaystyle=-\frac{9}{5}f_{n}+\frac{3}{5}g_{n}\end{aligned}$$

für die Anfangswerte $f_{0}=3$, $g_{0}=-1$ und $h_{0}=0.$

3.4

Es sei $T_{n}$ die Anzahl der verschiedenen Arten, mit denen man ein Schachbrett der Größe $3\times n$ mit Dominosteinen der Größe $3\times 1$ vollständig auslegen kann. Wie lautet die Rekurrenzgleichung für $T_{n}$?

3.5

Welche Lösung besitzt die folgende Rekurrenzgleichung?

$$\begin{aligned}\displaystyle F_{n}=\frac{1+F_{n-1}}{F_{n-2}}\text{ f{\"u}r }n> 1\\ \displaystyle F_{0}=1,\;F_{1}=2\end{aligned}$$

3.6

Zeige, dass die Fibonacci-Zahlen die folgenden Gleichungen erfüllen:

• 1. $F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

• 2. $F_{2n}=F_{n}F_{n+1}+F_{n-1}F_{n}$

• 3. $F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}$

3.7

Welche allgemeinen Lösungen besitzen die folgenden inhomogenen linearen Rekurrenzgleichungen?

• 1. $f_{n+3}-6f_{n+2}+11f_{n+1}-6f_{n}=2$

• 2. $f_{n+2}+4f_{n+1}+3f_{n}=5$

3.8

Wie heißt die Lösung der inhomogenen linearen Rekurrenzgleichung

$$f_{n+2}-6f_{n+1}+8f_{n}=n$$

mit den Anfangsbedingungen

$$f_{0}=2,\,\;f_{1}=1\,?$$

3.9

Bestimme die gewöhnliche erzeugende Funktion der Folge der Catalan-Zahlen aus der Rekurrenzgleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle C_{n}&\displaystyle=\sum_{i=1}^{n-1}C_{i}C_{n-i},\;n> 1\\ \displaystyle C_{0}&\displaystyle=0,\;C_{1}=1\;.\end{aligned}$$

3.10

Bestimme die exponentielle erzeugende Funktion für die die Folge $\{f_{n}\}$, wenn die Glieder der Folge die folgende Rekurrenzgleichung erfüllen:

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{n}&\displaystyle=f_{n-1}+(n-1)f_{n-2},\;n> 1\\ \displaystyle f_{0}&\displaystyle=f_{1}=1\end{aligned}$$

Zeige, dass $f_{n}$ die Anzahl der Permutationen von $n$ Elementen liefert, die ausschließlich aus Zyklen der Längen 1 und 2 bestehen. In diesem Falle werden höchstens Paare von Elementen getauscht.

3.11

Welche Lösung besitzt die Rekurrenzgleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{n+1}&\displaystyle=1+\sum_{k=0}^{n-1}f_{k},\;n\geq 0\\ \displaystyle f_{0}&\displaystyle=1?\end{aligned}$$

3.12

Bestimme die Rekurrenzgleichung für die Anzahl $f_{n,k}$ der markierten Partitionen der Menge $\{1,{\ldots},n\}$ mit genau $k$ Blöcken. Eine markierte Partition einer Menge ist eine Partition, in der jeder Block zusätzlich mit einer Markierung versehen werden kann. Die Menge $\{1,2\}$ besitzt die sechs markierten Partitionen:

$$\{1\}\{2\},\;\{1\}^{\ast}\{2\},\;\{1\}\{2\}^{\ast},\;\{1\}^{\ast}\{2\}^{\ast},\;\{1,2\},\;\{1,2\}^{\ast}$$