Erzeugende Funktionen

Zusammenfassung

Erzeugende Funktionen sind eines der leistungsfähigsten Werkzeuge der Kombinatorik. Sie bilden ein Bindeglied zwischen Problemen der diskreten Mathematik und Methoden der Analysis. Die Lösung von Aufgaben der Kombinatorik mit erzeugenden Funktionen erfordert den Umgang mit Potenzreihen. Die notwendigen Grundlagen des Rechnens mit formalen Potenzreihen werden im zweiten Abschnitt eingeführt. Zunächst stellen wir jedoch einige Anwendungen erzeugender Funktionen an Beispielen vor.

Aufgaben

2.1

Zeige, dass

$$\frac{1}{1-z-z^{2}-z^{3}-z^{4}-z^{5}-z^{6}}$$

die erzeugende Funktion für die Augensumme bei einem beliebig oft ausgeführten Würfeln mit einem Würfel ist.

2.2

Wie lautet die gewöhnliche erzeugende Funktion der Folge $\{4n^{2}-3^{n}\}$?

2.3

Es sei $\{f_{n}\}$ eine Zahlenfolge, die der Rekurrenzbeziehung

$$f_{n}=2f_{n-1}+f_{n-2},\quad f_{0}=1,\quad f_{1}=2$$

genügt. Bestimme die gewöhnliche erzeugende Funktion dieser Folge.

2.4

Zeige, dass folgende Summenformel gilt:

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}=\frac{1}{3}(8^{n}+2(-1)^{n})$$

2.5

Wie viel $2k$-stellige Wörter über dem Alphabet $\{a_{1},a_{2},{\ldots},a_{n}\}$ enthalten alle Buchstaben in einer geraden Anzahl?

2.6

Bestimme die exponentielle erzeugende Funktion der Folge $\{f_{n}\}$, wenn $f_{0}=0$, $f_{1}=1$ und $f_{n+2}=2f_{n+1}-f_{n}$ gilt.

2.7

Wie lautet die explizite Darstellung der Doppelfolge $\{f_{n,k}\}$, die der Rekurrenzgleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{n,k}&\displaystyle=f_{n-1,k}+2f_{n-1,k-1},\quad n> 0,\;k> 0,\\ \displaystyle f_{0,k}&\displaystyle=\delta_{0k}\,,\\ \displaystyle f_{n,0}&\displaystyle=1\end{aligned}$$

genügt?

2.8

Es sei $F(z)=\sum_{n\geq 0}f_{n}z^{n}$. Zeige, dass die Wurzel aus $F(z)$ die formale Potenzreihe

$$G(z)=\sqrt{f_{0}}\sum_{k\geq 0}\binom{\frac{1}{2}}{k}\left(\frac{1}{f_{0}}F(z)-1\right)^{k}$$

ist, das heißt, dass $G^{2}(z)=F(z)$ gilt.

2.9

Bestimme die multiplikative Inverse der formalen Potenzreihe

$$F(z)=\sum_{n\geq 0}(2\cdot 3^{n}+(-1)^{n}2^{n})z^{n}\,.$$

2.10

Bestimme die gewöhnliche erzeugende Funktion für die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl $n$ in genau $k$ Teile.

2.11

Ein Wanderer bewegt sich mit jedem Schritt entweder einen Meter nach rechts, einen Meter nach links oder zwei Meter geradeaus. Bestimme die Anzahl der möglichen Wege des Wanderers, bei denen er genau $n$ Meter insgesamt zurücklegt.

2.12

Zeige mit gewöhnlichen erzeugenden Funktionen die Gültigkeit der Vandermonde-Konvolution

$${\displaystyle\sum\limits_{k}}\dbinom{r}{k}\dbinom{s}{n-k}=\dbinom{r+s}{n}\;.$$

2.13

Zeige, dass die Bell-Zahlen der Gleichung

$$B(n)=e^{-1}\sum_{k\geq 0}\frac{k^{n}}{k!}$$

genügen. Diese Beziehung heißt auch Formel von Dobiński.

2.14

Zeige, dass für den Operator $zD$ die Beziehung

$$(zD)^{n}=\sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0.0pt}{}{\,n\,}{\,k\,}z^{k}D^{k}$$

gilt.