Die Schrödinger-Gleichung

Zusammenfassung

Ausgehend von der Dispersionsrelation für de Broglie-Wellen gelangen wir im ersten Abschnitt zur Schrödinger-Gleichung, einer Differentialgleichung zur Berechnung der Wellenfunktion $\psi({}\vec{r},t)$, die quantenmechanisch das Verhalten eines Teilchens unter dem Einfluss von äußeren Kräften beschreibt. Es wird gezeigt, wie man mit der Wellenfunktion nicht nur Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, sondern auch andere Erwartungswerte physikalischer Größen berechnen kann. Wenn die potentielle Energie des Teilchens nur vom Ort, nicht aber von der Zeit abhängt, kann man von dieser Gleichung zur Behandlung stationärer Zustände die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung abspalten, mit der wir uns im hauptsächlich befassen werden. Sie wird uns ermöglichen, die Quantenzustände und die Energieniveaus eines gebundenen Teilchens zu berechnen, von denen schon häufig die Rede war. Im zweiten Abschnitt gehen wir kurz auf die in der Theoretischen Physik verwendete Darstellung der dynamischen Variablen durch Operatoren ein. Das wird zum Verständnis der Quantenmechanik beitragen und in Kap. 5 von Nutzen sein.

Übungsaufgaben

4.1 Tunneleffekt.

In einem Metall sei ein Elektron mit einer Energie V₀ = eU₀ = 3 eV gebunden. Senkrecht zur der als eben angenommenen Metalloberfläche wird eine zum Metall hin gerichtete elektrische Feldstärke E_e angelegt, so dass das Elektron durch Tunneleffekt aus dem Metall austreten kann. Zur Vereinfachung werde ein homogenes Feld angenommen. In welchem Bereich liegen E_e und die Dicke x₂ − x₁ der klassisch verbotenen Schicht, wenn die Tunnelwahrscheinlichkeit, gegeben durch den Funktionswert auf der rechten Seite von (4.73), im Bereich zwischen 10⁻⁶ und 10⁻¹² liegt?

4.2 Gebundene Zustände im Potentialtopf.

a) Geben Sie die Ansätze für die Wellenfunktion eines Teilchens in einem Potentialtopf mit der Tiefe V₀ (Abb. 4.32) an, getrennt nach dem Innen- und dem Außenraum. (Empfehlung: Setzen Sie die Gesamtenergie E = 0 für ein Teilchen, das im Außenraum die kinetische Energie null hat.)

b) Welche Gleichung folgt aus den Bedingungen von Satz 4.1.2 für die Bindungsenergien E_n des Teilchens im Verhältnis zu V₀? (Hinweis: Zweckmäßigerweise bearbeitet man die Lösungen gerader und ungerader Parität separat.)

c) Wie viele gebundene Zustände gibt es, wenn V₀ = 12 π²ℏ² ∕ 2ma² ist? Wie groß sind die Bindungsenergien E_n? (Hinweise: Teil b) liefert für E_n ∕ V₀ transzendente Gleichungen, die sich mit sukzessiver Approximation lösen lassen. Man beachte die Periodizität der Funktionen tanx und cotx.)

d) Wie tief müsste der Potentialtopf sein, damit der Zustand n = 5 gerade noch gebunden ist?

4.3 Erwartungswerte im Oszillator-Potential.

Wie groß sind die Erwartungswerte ⟨x⟩, ⟨p_x⟩, ⟨x²⟩, ⟨E_pot⟩ und ⟨E_kin⟩ für ein Teilchen im harmonischen Oszillatorpotential in den Zuständen mit n = 0, 1 oder 2? (Hinweis: Bei der Rechnung auftretende Integrale findet man in Tab. 4.2, die Wellenfunktionen in Tab. 4.1.) Wie werden die Resultate für Zustände mit beliebiger Quantenzahl n aussehen?

Tab. 4.2 Einige bestimmte Integrale der Form $\int_{-\infty}^{\infty}f(x){\,{\mathrm{e}}}^{-\alpha^{2}x^{2}}{{\mathrm{d}}}x$

4.4 Bewegung im Oszillator-Potential.

Ein Teilchen befinde sich im harmonischen Oszillator-Potential in einer Superposition der Zustände mit n = 0 und n = 1:

$$\psi(x,t)=1/\sqrt{2}\left(\psi_{0}(x,t)+\psi_{1}(x,t)\right)\;.$$

(4.133)

a) Es werde die Gesamtenergie des Teilchens mit großer Genauigkeit gemessen. Welche Werte findet man mit welcher Wahrscheinlichkeit? Welche Werte findet man, wenn man die Energiemessung am gleichen System später wiederholt?

b) Man zeige: Der Erwartungswert ⟨x(t)⟩ der Ortskoordinate im Zustand (4.133) ist zeitabhängig und beschreibt eine Schwingung. Wie groß sind die Frequenz und die Amplitude? Wie ist das Phänomen laut statistischer Interpretation der Quantenmechanik im Prinzip nachweisbar?

c) Wie groß ist der Erwartungswert ⟨x²⟩, ist er zeitabhängig? Man bestimme die Teilchenposition nicht relativ zum Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern relativ zur Momentanauslenkung der Schwingung: $\tilde{x}=x-\langle x(t)\rangle$. Wie groß ist der Erwartungswert $\langle\tilde{x}^{2}(t)\rangle$? Lässt sich durch den Übergang zum oszillierenden Bezugspunkt die Unschärfe-Relation „überlisten“?

d) Ein Teilchen im harmonischen Oszillator-Potential befinde sich im Zustand

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi(x,t)=1/\sqrt{2}\left(\psi_{0}(x,t)+\psi_{2}(x,t)\right)\;.\end{aligned}$$

Wie groß sind die Erwartungswerte ⟨x⟩ und ⟨x²⟩? Besteht eine Zeitabhängigkeit?

e) Welche notwendige Bedingung müssen die Quantenzahlen n einer beliebigen Superposition von Oszillator-Zuständen erfüllen, damit eine Teilchenschwingung beschrieben wird?