Materiewellen

Zusammenfassung

Die Doppelnatur Welle–Teilchen besteht nicht nur beim Licht, sondern auch bei gewöhnlichen Teilchen. Die Materiewellen wurden zunächst hypothetisch gefordert, bald darauf aber experimentell nachgewiesen, mit Methoden, die auch zum Nachweis der Wellennatur von Röntgenstrahlen gedient hatten. In Abschn. 3.2 diskutieren wir zunächst in einem Gedankenexperiment das Verhalten von Elektronen beim Durchgang durch einen Doppelspalt. Es ist vom Standpunkt der klassischen Physik aus gesehen im höchsten Maße paradox. Es wird gezeigt, dass man diese Paradoxie nicht klären kann, indem man ein Elektron auf seinem Weg durch den Doppelspalt beobachtet. Im dritten Abschnitt findet man eine kurze Charakterisierung der Quantenmechanik, die die beobachteten Phänomene mit Schrödingers Wellenfunktion oder auch mit Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation erklärt. Darauf folgt die Beschreibung eines neueren Experiments, in dem das Verhalten von Materiewellen an einem Beugungsgitter untersucht wurde, und zwar mit großen Molekülen, die fast schon als makroskopische Körper angesehen werden können. Das Experiment bestätigt in vollem Umfang die Ergebnisse des Gedankenexperiments.

Übungsaufgaben

3.1 Neutronen-Refraktometer.

Ein Neutronenstrahl wird durch Kollimatoren gebündelt und passiert eine Blende in horizontaler Richtung. Er sinkt im Schwerefeld der Erde ab und trifft in größerer Entfernung unter flachem Winkel auf eine Flüssigkeitsoberfläche, an der er reflektiert wird. Danach erfolgt der Neutronennachweis. Die Fallhöhe h zwischen Blende und Flüssigkeitsspiegel wird variiert und es wird derjenige Wert h₀ ermittelt, bei dem Totalreflexion einsetzt. Wie groß ist die mittlere Streulänge b_c der Flüssigkeit? Zahlenbeispiel: h₀ = 30 cm, Moleküldichte N = 3 ⋅ 10²⁸ m⁻³. (Hinweise: $\hbar=h/2\pi=6{,}58\cdot 10^{-16}$ eV s, Neutronenmasse m = 940 MeV∕ c². Bemerkenswerterweise heben sich die Neutronengeschwindigkeit v und die horizontale Laufstrecke L bis zur Reflexion aus dem Endergebnis heraus, es muss allerdings L ≫ h₀ sein, z. B. 100 m !)

3.2 Feldstärke eines Photons.

In Abb. 3.27 soll im Resonator ℛ ein einzelnes Photon gespeichert sein, entstanden z. B. durch thermische Emission der Spiegel. Schätzen Sie die Amplitude des elektrischen Feldes ab, das dadurch im Zentrum von ℛ entsteht. Abb. 3.27 ist maßstäblich. Am Rande des blau getönten Bereichs ist die in radialer Richtung gaußisch abfallenden Energiedichte auf 1 ∕ e-tel des zentralen Wertes abgesunken. Die Resonanzfrequenz ist ν = 51 GHz.

3.3 Relativistisches Wellenpaket.

Versucht man, mit Gl. (3.60) Wellenpakete für relativistische freie Teilchen zu konstruieren, wird man sofort damit konfrontiert, dass die Dispersionsrelation $\omega({}\vec{k})=\omega({}\vec{p}/\hbar)$ verschieden ist von der Relation (3.3) für nichtrelativistische Teilchen: $\omega=E_{\text{tot}}({}\vec{p})/\hbar$, worin E_tot die relativistische Gesamtenergie des Teilchens ist. Nehmen Sie an, ein Teilchen fliege mit einer mittleren Geschwindigkeit v_x in x-Richtung, die anfänglichen y- und z-Koordinaten seien Gauß-verteilt um den Mittelwert null und die Impulsunschärfen Δp_y = ℏ ∕ (2σ_y(0)) und Δp_z = ℏ ∕ (2σ_z(0)) seien klein gegen mc. Zeigen Sie, dass (3.62) zusammen mit (3.56) auch in diesem Fall das transversale Zerfließen des Wellenpakets beschreibt, wenn man in (3.56) die Masse durch die relativistische Masse γm ersetzt. (Hinweis: Entwickeln Sie die relativistische Energie E_tot nach p ² _y und p ² _z .)

3.4 Ortsunschärfe eines Teilchens nach einem Stoßprozess.

Ein Proton (Masse 938 MeV∕ c²) mit der Geschwindigkeit v = 0,5 c werde transversal zu seiner Flugrichtung mit einer atomaren Genauigkeit σ_y(0) = 10⁻¹⁰ m lokalisiert. Dadurch kollabiert die Wellenfunktion und es entsteht eine transversale Impulsunschärfe. Nach welcher Flugstrecke ist die dadurch entstehende transversale Ortsunsicherheit so groß geworden wie σ_y(0)? Wie addieren sich laut (3.56) beide Unschärfen? Welche der beiden Unschärfen überwiegt, wenn ein Teilchen ein Gas durchfliegt?

3.5 Teilchenspur in Materie.

a) Durchläuft ein Teilchen Materie, entsteht durch sukzessive Stöße mit Elektronen eine statistische Überlagerung vieler Winkelablenkungen mit daraus folgenden Ortsunschärfen. Welche Ortsunschärfe entsteht in einem Gas unter Normalbedingungen durch die Winkelunschärfe von Aufgabe 3.4, wenn ein Proton eine Strecke s = 1 m zurücklegt? (Zur Berechnung der Zahl der Stöße N benötigt man den Wirkungsquerschnitt der Protonen. Als sehr groben Schätzwert verwende man πσ_y(0)².)

b) Welche Winkel- und Ortsunsicherheit sagt die Molièresche Vielfachstreu-Theorie für ein Proton mit $v/c=1/2$ in Argon unter Normalbedingungen nach einer Flugstrecke s = 1 m vorher (Strahlungslänge X₀ ≈ 20 g∕cm²)?

c) Nach welcher Flugstrecke wäre die transversale Ortsunsicherheit so groß wie der Messfehler, wenn dieser zu σ_y,exp = 0,1 mm angenommen wird?