Zwei-Teilchen-Systeme in der Atom-, Kern- und Teilchenphysik

Zusammenfassung

Die beim Wasserstoff gewonnen Erkenntnisse sind nützlich, um auch andere Zwei-Teilchen-Systeme der Atom-, Kern- und Elementarteilchen-Physik zu verstehen. Dafür werden in diesem Kapitel drei Beispiele ausgewählt: die myonischen Atome, in denen ein Myon einen Atomkern umkreist; das Deuteron als einfachster Atomkern, der nur aus einem Proton und einem Neutron besteht; sowie Mesonen, die als charakterisierende Bestandteile ein Valenzquark und ein Valenzantiquark enthalten, die die Quantenzahlen bestimmen. Von speziellem Interesse sind die Quarkonia, Mesonen, bei denen die Valenzquarks ein schweres Quark und sein Antiteilchen sind. Es zeigt sich, dass ihr Massenspektrum die gleiche Struktur hat wie das Termschema des Positroniums.

Übungsaufgaben

10.1 Zu den Kernradien.

Die Ergebnisse für Kernradien in Tab. 10.1 sind um etliches kleiner als die Vorhersage der „Standard-Formel“ r_S = r₀A^1∕3 mit r₀ = 1,3 fm. Wie groß ist der mittlere quadratische Radius einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius r_S? Man vergleiche mit Tab. 10.1.

10.2 Ausdehnung des Protons und myonischer Wasserstoff.

Das elektrische Potential dϕ(R) einer geladenen Kugelschale der Dicke dr mit dem Radius r ergibt sich aus (III/2.4) und (III/2.5):

$$\begin{aligned}\displaystyle{{\mathrm{d}}}\phi(R)&\displaystyle=4\pi r^{2}\rho(r)\,{{\mathrm{d}}}r\frac{e}{4\pi\epsilon_{0}R}\;\text{ f{\"u}r }R> r\;,\\ \displaystyle{{\mathrm{d}}}\phi(R)&\displaystyle=4\pi r^{2}\rho(r)\,{{\mathrm{d}}}r\frac{e}{4\pi\epsilon_{0}r}\;\text{ f{\"u}r }R<r\;,\end{aligned}$$

wobei eρ(r) die Ladungsdichte in der Kugelschale ist, die man mit der Ladungsdichte im Proton identifiziert. Es sei | ψ(0)|² das Quadrat der Myon-Wellenfunktion am Proton im myonischen Wasserstoff-Atom. Berechnen Sie, um wie viel die Coulomb-Energie zwischen Myon und Proton vom Wert für einen punktförmigen Kern abweicht, d. h. beweisen Sie (10.1).

10.3 Quantenzahlen des Baryonen-Dekupletts.

Geben Sie für die Baryonen des Dekupletts die Quantenzahlen I, I₃ und S sowie die elektrischen Ladungen an.

10.4 Erhaltungssätze in Reaktionen und Zerfällen.

Welche der folgenden Prozesse sind möglich, welche verboten? Falls der Prozess erlaubt ist: Welche Wechselwirkung ist für ihn maßgeblich? Gibt es konkurrierende Prozesse?

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\text{(1)\;\; ep }\rightarrow\text{ep}\gamma\qquad&\displaystyle\text{(6)\;\; pn }&\displaystyle\rightarrow\text{pn}\pi^{0}\\ \displaystyle&\displaystyle\text{(2)\;\; K}^{+}\text{p}\rightarrow\Upsigma^{+}\text{p}\qquad&\displaystyle\text{(7)\;\; J/}\psi&\displaystyle\rightarrow\eta_{c}\gamma\\ \displaystyle&\displaystyle\text{(3)\;\; K}^{-}\text{p}\rightarrow\pi^{0}\Uplambda\qquad&\displaystyle\text{(8)\;\; J/}\psi&\displaystyle\rightarrow\eta_{c}\pi^{0}\\ \displaystyle&\displaystyle\text{(4)\;\; pp }\rightarrow\text{n}\pi^{+}\pi^{+}\qquad&\displaystyle\text{(9)\;\; J/}\psi&\displaystyle\rightarrow\gamma\gamma\\ \displaystyle&\displaystyle\text{(5)\;\; pp }\rightarrow\text{pp\,K}^{+}\text{K}^{-}\qquad&\displaystyle\text{(10)\;\; J/}\psi&\displaystyle\rightarrow\pi^{0}\pi^{0}\pi^{0}\;.\end{aligned}$$

10.5 Kopplungskonstante für starke Wechselwirkung.

a) Drücken Sie die Energiedifferenz zwischen dem 1s- und dem 2s-Niveau des Wasserstoffs durch die reduzierte Atommasse und die Feinstrukturkonstante α aus und übertragen Sie diese Formel auf die Massendifferenz Δm_Υ zwischen dem Υ(2s) und dem Υ-Meson sowie die Massendifferenz Δm_ψ zwischen ψ^′ und dem J∕ ψ. Verifizieren Sie, dass der 1 ∕ r-Anteil des Quark-Antiquark-Potentials allein diese Massendifferenzen nicht erklären kann.

b) Zeigen Sie in Analogie zu (3.30) mit Hilfe der Unbestimmtheitsrelation, dass die Anregungsenergien in einem Potential V(r) = k₂r von der reduzierten Masse m_r in der Form $E\propto m_{r}^{-1/3}$ abhängen, also bei kleinen Massen wichtiger sind. Die Potentialsumme (10.7) kann daher für zwei Teilchen unterschiedlicher Masse die gleiche Massenaufspaltung zwischen gleichartigen Zuständen ergeben.