Licht als elektromagnetische Welle

Zusammenfassung

Im Band IV über Optik (Bd. IV/1–IV/9) haben wir das Konzept der Wellen eingeführt, verschiedene Wellenphänomene diskutiert und die Ausbreitung von Wellen studiert. Insbesondere haben wir uns mit elektromagnetischen Wellen sehr hoher Frequenz, mit „Licht“, befasst; die Gesetze der Wellenausbreitung wurden vorzugsweise an diesem Beispiel erläutert. Andererseits hatten wir schon in der relativistischen Mechanik (Bd. I/15) das Licht auch als Strahlung von masselosen Teilchen („Photonen“) betrachtet. Im letzten Teil dieses Buches wollen wir versuchen, die Doppelnatur Welle–Teilchen zu verstehen. Zunächst wollen wir in Kap. 1 die klassische Wellentheorie des Lichts noch weiter treiben, indem wir sie auf die Emission, Absorption und Streuung von Licht durch Atome anwenden. Auch die Erzeugung von Röntgenstrahlen in der Röntgenröhre, ihre Spektroskopie und ihre Anwendung in der Kristallographie werden mit der klassischen Wellentheorie behandelt. Das wird bis zu einem gewissen Grade zum Erfolg führen, wir werden aber auch an die Grenzen dieses Konzepts stoßen. Endgültig scheitert die klassische Wellentheorie des Lichts bei dem Versuch, die Wärmestrahlung zu erklären. Das wird in Abschn. 1.4 gezeigt.

Der Inhalt dieses Kapitels ist keineswegs nur von historischem Interesse. Bei der Wechselwirkung von Licht mit Atomen gibt es Phänomene, bei denen man auch heute noch die Auffassungen der klassischen Physik als bequeme Denk- und Redeweise verwendet. Das trifft besonders auf die Streuung von Licht und Röntgenstrahlen an Atomen zu.

Übungsaufgaben

1.1 Rayleigh-Streuung.

Der Brechungsindex $n=1+2{,}78\cdot 10^{-4}$ von Luft bei Atmosphärendruck ist im sichtbaren Wellenlängenbereich fast konstant. Reproduzieren Sie die Daten in Tab. 1.1. Nehmen Sie an, dass die Dichte der Luft mit der Höhe z über dem Erdboden exponentiell abnimmt und in der Höhe z₀ = 8 km auf 1 ∕  e-tel abgefallen ist. Die Molekülzahldichte am Erdboden ist N = 2,69 ⋅ 10¹⁹ cm⁻³. Hinweis: Bei horizontalem Lichteinfall führt eine Reihenentwicklung auf das Integral

$$\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-C\zeta^{2}}{{\mathrm{d}}}\zeta=\sqrt{\frac{\pi}{4C}}\;.\end{aligned}$$

1.2 Natürliche Linienbreite und Dopplerbreite.

Bei den Natrium D-Linien (λ_D = 589 nm) ist die Abklingzeit der Energieabstrahlung $\tau_{\text{E}}=1{,}6\cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Wie groß ist die natürliche Linienbreite? Berechnen Sie zum Vergleich Form und Halbwertsbreite der Doppler-verbreiterten Linien bei T = 1000 K. Was kann man bei tieferen Temperaturen erreichen? (Daten: Atommasse des Na A = 23, atomare Masseneinheit $m_{u}=1{,}66\cdot 10^{-27}$ kg, Boltzmann-Konstante $k_{\text{B}}=1{,}38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$.)

1.3 Amplitude und Polarisation von Streulicht.

a) Zeigen Sie, dass das Streulicht in Abb. 1.14 wie im Text angegeben rotationssymmetrisch um die x-Achse verteilt ist. Hierzu ist die Lichtabstrahlung in eine beliebige, durch einen Einheitsvektor ${}\vec{\hat{n}}$ beschriebene Richtung zu berechnen, wobei die Intensitätsverteilungen aus Abb. 1.13a und Abb. 1.13b zu addieren sind.

b) Wie hängt die Polarisation des Streulichts vom Streuwinkel ϑ ab? Beschränken Sie sich hier auf die Betrachtung der (x , z)-Ebene. Wie groß ist die Polarisation beim Streuwinkel ϑ = 45^∘?

1.4 Formfaktor.

a) Berechnen Sie aus (1.20) den Formfaktor (1.22).

b) Zeigen Sie: Der Formfaktor (1.22) lässt sich nach Potenzen von $|{}\vec{K}|^{2}$ entwickeln:

$$\begin{aligned}\displaystyle F_{\text{At}}({}\vec{K})\approx Z\left(1-\rho^{2}_{2}|{}\vec{K}|^{2}R_{\text{At}}^{2}+\rho^{2}_{4}|{}\vec{K}|^{4}R_{\text{At}}^{4}\pm\dots\right)\,.\end{aligned}$$

Bei welchen Streuwinkeln konvergiert die Reihe am schlechtesten? Erfüllen die Daten in Tab. 1.2 die Bedingung für eine rasche Konvergenz der Reihe?

1.5 Lorentzkurve.

Die Messwerte einer physikalischen Größe seien gemäß einer Lorentzkurve verteilt.

a) Überzeugen Sie sich davon, dass die Lorentzkurve so breit ist, dass die mittlere quadratische Schwankung der Messwerte um die Resonanzstelle unendlich groß ist!

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein Messwert innerhalb der Halbwertsbreite um die Resonanzstelle?