Skip to main content
SpringerLink
Log in

Wärmeleitung und Diffusion

  • Chapter
  • First Online:
Wärme- und Stoffübertragung

  • 16k Accesses

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die stationäre und instationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien, die vor allem in festen Körpern auftritt. Wir leiten zunächst die grundlegende Differentialgleichung für das Temperaturfeld her, indem wir den Energieerhaltungssatz mit dem Gesetz von Fourier verknüpfen. Die dann folgenden Abschnitte behandeln die stationären und instationären Temperaturfelder mit zahlreichen praktischen Anwendungen sowie die numerischen Methoden zur Lösung von Wärmeleitproblemen, deren Anwendung durch elektronische Rechner erleichtert wird und sich zunehmend verbreitet.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this chapter

Log in via an institution
Chapter
USD 29.95
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
eBook
USD 54.99
Price excludes VAT (USA)
  • Available as EPUB and PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
Hardcover Book
USD 69.99
Price excludes VAT (USA)
  • Durable hardcover edition
  • Dispatched in 3 to 5 business days
  • Free shipping worldwide - see info

Tax calculation will be finalised at checkout

Purchases are for personal use only

Institutional subscriptions

Notes

  1. 1.

    Jean Baptiste Biot (1774–1862) wurde 1800 Professor für Physik am Collège de France in Paris. Er untersuchte seit 1804 die Abkühlung erhitzter Stäbe in Luft und veröffentlichte 1816 die Differentialgleichung für den Temperaturverlauf, ohne jedoch eine klare Herleitung zu geben. 1820 entdeckte er mit F. Savart das Biot-Savartsche Gesetz für die magnetische Feldstärke stromdurchflossener Leiter.

  2. 2.

    In manchen Darstellungen wird der Laplace-Parameters mit p bezeichnet, so bei Carslaw u. Jaeger [1] und bei Tautz [26].

  3. 3.

    Die Anwendung der Laplace-Transformation liefert dieselbe Lösung. Für die Rücktransformation vom Frequenz- in den Zeitbereich muss die Umkehrformel, vgl. 2.3.2, angewendet werden. Um dies zu vermeiden, benutzen wir in diesem Falle die einfachere klassische Methode des Produktansatzes.

  4. 4.

    F. Neumann hat diese Lösung in seinen Vorlesungen an der Universität Königsberg vorgetragen. Eine erste Veröffentlichung findet man in: Die partiellen Differentialgleichungen der Physik, Hrsg.: B. Riemann und H. Weber, Bd. 2, S. 117–121, Braunschweig: F. Vieweg 1912.

  5. 5.

    Gerhard Damköhler (1908–1944) hat als erster eine Ähnlichkeitstheorie für chemische Prozesse unter Berücksichtigung des Wärme- und Stoffaustausches entwickelt. Er wurde mit seiner Arbeit „Einfluß von Diffusion, Strömung und Wärmetransport auf die Ausbeute von chemischen Reaktionen“ (Der Chemie-Ingenieur, Leipzig, 1937, 359–485) zu einem der Wegbereiter der chemischen Reaktionstechnik.

  6. 6.

    Shironji Hatta (1895–1973) war Professor an der Tohoku Imperial Universität, der jetzigen Tohoku Universität, in Tokio, Japan. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten über die Absorption von Gasen in Flüssigkeiten, insbesondere der Absorption mit gleichzeitiger chemischer Reaktion zurück.

Literatur

  1. Carslaw, H.S.; Jaeger, J.C.: Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxford: Clarendon Press 1986, reprint 2002.

    Google Scholar 

  2. Jakob, M.: Heat transfer. Vol. 1. New York: J. Wiley & Sons 1949

    Google Scholar 

  3. Höchel, J.; Saur, G.; Borchers, H.: Strukturveränderungen in kurzzeitig behandeltem Urandioxyd mit und ohne Neutronenbestrahlung als Hilfe zur Ermittlung der Temperaturverteilung in Brennelementen für Kernreaktoren. J. Nucl. Mat. 33 (1969) 225–241.

    Article  Google Scholar 

  4. Chen, S.-Y.; Zyskowski, G.L.: Steady-state heat conduction in a straight fin with variable film coefficient. ASME-Paper No. 63-HT-12 (1963).

    Google Scholar 

  5. Han, L.S.; Lefkowitz, S.G.: Constant cross-section fin efficiencies for nonuniform surface heat-transfer coefficients. ASME-Paper No. 60-WA-41 (1960).

    Google Scholar 

  6. Ünal, H.C.: Determination of the temperature distribution in an extended surface with a non-uniform heat transfer coefficient. Int. J. Heat Mass Transfer 28 (1985) 2279–2284.

    Article  Google Scholar 

  7. Harper, D.R.; Brown, W.B.: Mathematical equations for heat conduction in the fins of air-cooles engines. Natl. Advisory Comm. Aeronautics, Report No. 158 (1922).

    Google Scholar 

  8. Schmidt, E.: Die Wärmeübertragung durch Rippen. Z. VDI 70 (1926) 885–889 u. 947–1128 u. 1504.

    Google Scholar 

  9. Gardner, K.A.: Efficiency of extended surfaces. Trans. ASME 67 (1945) 621–631

    Google Scholar 

  10. Focke, R.: Die Nadel als Kühlelement. Forschung Ing.-Wes. 13 (1942) 34–42.

    Article  Google Scholar 

  11. Kern, D.Q.; Kraus, A.D.: Extended surface heat transfer. New York: McGraw-Hill 1972.

    Google Scholar 

  12. Ullmann, A.; Kalman, H.: Efficiency and optimized dimensions of annular fins of different cross-section shapes. Int. J. Heat Mass Transfer 32 (1989) 1105–1110

    Article  Google Scholar 

  13. Brandt, F.: Wärmeübertragung in Dampferzeugern und Wärmeaustauschern. Essen: Vulkan-Verlag 1985

    Google Scholar 

  14. Schmidt, Th.E.: Die Wärmeleistung von berippten Oberflächen. Abh. Dtsch. Kältetechn. Ver., Nr. 4. Karlsruhe: C.F. Müller 1950.

    Google Scholar 

  15. Sparrow, E.M.; Lin, S.H.: Heat-transfer characteristics of polygonal and plate fins. Int. J. Heat Mass Transfer 7 (1964) 951–953

    Article  Google Scholar 

  16. Baehr, H.D.; Schubert, F.: Die Bestimmung des Wirkungsgrades quadratischer Scheibenrippen mit Hilfe eines elektrischen Analogieverfahrens. Kältetechnik 11 (1959) 320–325.

    Google Scholar 

  17. Kakaç, S.; Yener, Y.: Heat conduction. 3rd ed. Washington: Hemisphere Publ. Comp. 2001

    Google Scholar 

  18. Grigull, U.; Sandner, H.: Wärmeleitung. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1990.

    Book  Google Scholar 

  19. Elgeti, K.: Der Wärmeverlust eines in einer Wand verlegten Rohres. Heizung-Lüftung-Haustechn. 22 (1971) 109–113.

    Google Scholar 

  20. Keune, F.; Burg, K.: Singularitätenverfahren der Strömungslehre. Karlsruhe: Braun 1975

    MATH  Google Scholar 

  21. Elgeti, K.: Der Wärmeverlust einer erdverlegten Rohrleitung im stationären Zustand unter dem Einfluß der Wärmeübertragungszahl an der Erdoberfläche. Forsch. Ing.-Wes. 33 (1967) 101–105.

    Article  Google Scholar 

  22. Nußelt, W.: Die Temperaturverteilung in der Decke einer Strahlungsheizung. Gesundh.-Ing. 68 (1947) 97–98.

    Google Scholar 

  23. Hahne, E.; Grigull, U.: Formfaktor und Formwiderstand der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung. Int. J. Heat Mass Transfer 18 (1975) 751–767

    Article  Google Scholar 

  24. Hahne, E.: Zweidimensionale Wärmeleitung. Absch. Ea 3 in: VDI-Wärmeatlas, 10. Aufl. Berlin: Springer 2006.

    Google Scholar 

  25. Baehr, H.D.: Die Lösung nichtstationärer Wärmeleitungsprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation. Forsch. Ing.-Wes. 21 (1955) 33–40.

    Article  Google Scholar 

  26. Tautz, H.: Wärmeleitung und Temperaturausgleich. Weinheim: Verlag Chemie 1971

    MATH  Google Scholar 

  27. Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation. 5. Aufl. München: R. Oldenbourg 1985.

    MATH  Google Scholar 

  28. Spanier, J.; Oldham, K.B.: An atlas of functions. Washington: Hemisphere Publ. Comp. Berlin: Springer-Verlag 1987.

    Google Scholar 

  29. Chu, H.S.; Chen, C.K.; Weng, C.: Applications of Fourier series technique to transient heat transfer problems. Chem. Eng. Commun. 16 (1982) 215–225

    Article  Google Scholar 

  30. Jahnke-Emde-Lösch: Tafeln höherer Funktionen. 6. Aufl. Stuttgart: Teubner 1960.

    Google Scholar 

  31. Berlyand, O.S.; Gavrilovo, R.I.; Prudnikov, A.P.: Tables of integral error functions and Hermite polynomials. Oxford: Pergamon Press 1962

    Google Scholar 

  32. Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of mathematical functionswith formulas, hboxgraphs and mathematical tables. Washington: U.S. Gouvernment Printing Off. 1972

    MATH  Google Scholar 

  33. Jänich, K.: Analysis für Physiker und Ingenieure. 4. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 2001.

    Book  Google Scholar 

  34. Grigull, U.: Temperaturausgleich in einfachen Körpern. Berlin: Springer-Verlag 1964

    Book  Google Scholar 

  35. Schneider, P.J: Temperature response charts. New York: J. Wiley & Sons 1963.

    Google Scholar 

  36. Grigull, U.; Bach, J.; Sandner, H.: Näherungslösungen der nichtstationären Wärmeleitung. Forsch. Ing.-Wes. 32 (1966) 11–18.

    Article  Google Scholar 

  37. Goldstein, S.: The application of Heaviside’s operational method to the solution of a problem in heat conduction. Z. angew. Math.Mech. 12 (1932) 234–243, sowie: On the calculation of the surface temperature of geometrically simple bodies. Z. angew. Math. Mech. 14 (1934) 158–162

    Google Scholar 

  38. Baehr, H.D.: Die Berechnung der Kühldauer bei ein- und mehrdimensionalem Wärmefluß. Kältetechnik 5 (1953) 255–259.

    Google Scholar 

  39. Stefan, J.: Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Polarmeer. Wiedemann Ann. Phys. u. Chem. 42 (1891) 269–286

    Article  Google Scholar 

  40. Ockendon JR, Hodgkins WR (eds) (1975) Moving boundary problems in heat flow and diffusion. Clarendon Press, Oxford

    Google Scholar 

  41. Wilson DG, Solomon AD, Boggs PT (eds) (1978) Moving boundary problems. Academic Press, New York

    Google Scholar 

  42. Plank, R.: Über die Gefrierzeit von Eis und wasserhaltigen Lebensmitteln. Z. ges. Kälteindustrie 39 (1932) 56–58.

    Google Scholar 

  43. Nesselmann, K.: Systematik der Gleichungen für Gefrieren und Schmelzen von Eisschichten nebst Anwendung auf Trommelgefrierapparate und Süßwasserkühler. Kältetechnik 1 (1949) 169–172.

    Google Scholar 

  44. Nesselmann, K.: Die Trennung flüssiger Gemische durch kältetechnische Verfahren. Forsch. Ing.-Wes. 17 (1951) 33–39.

    Article  Google Scholar 

  45. Goodman, T.R.: The heat balance integral and its application to problems involving a change of phase. J. Heat Transfer 80 (1958) 335–342

    Google Scholar 

  46. Cho, S.H.; Sunderland, J.E.: Heat conduction problems with melting or freezing. J. Heat Transfer 91 (1969) 421–426

    Article  Google Scholar 

  47. Charach, Ch.; Zoglin, P.: Solidification in a finite, initially overheated slab. Int. J. Heat Mass Transfer 28 (1985) 2261–2268

    Article  Google Scholar 

  48. Megerlin, F.: Geometrisch eindimensionale Wärmeleitung beim Schmelzen und Erstarren. Forsch. Ing.-Wes. 34 (1968) 40–46.

    Article  Google Scholar 

  49. Stephan, K.: Schmelzen und Erstarren geometrisch einfacher Körper. Kältetechnik-Klimatisierung 23 (1971) 42–46.

    Google Scholar 

  50. Stephan, K.; Holzknecht, B.: Die asymptotischen Lösungen fürVorgänge des Erstarrens. Int. J. Heat Mass Transfer 19 (1976) 597–602

    Article  Google Scholar 

  51. Stephan, K.: Influence of heat transfer on melting and solidification in forced flow. Int. J. Heat and Mass Transfer 12 (1968) 199–214

    Article  Google Scholar 

  52. Smith, G.D.: Numerical solution of partial differential equations. Finite difference methods. 3rd ed. Oxford: Clarendon Press 1985, reprint with corr. 1996.

    Google Scholar 

  53. Incropera, F.P.; De Witt, D.P.: Fundamentals of heat and mass transfer. 5. Aufl. New York: J. Wiley & Sons 2002.

    Google Scholar 

  54. Lick, W.J.: Difference equations from differential equations. Lecture notes in engineering; No. 41. Berlin: Springer-Verlag 1989.

    Book  Google Scholar 

  55. Forsythe, G.E.; Wasow, W.R.: Finite-difference methods for partial differential equations. New York: J. Wiley & Sons 1960

    MATH  Google Scholar 

  56. Binder, L.: Über äußere Wärmeleitung und Erwärmung elektrischer Maschinen. Diss. TH München 1910.

    Google Scholar 

  57. Schmidt, E.: Über die Anwendung der Differenzenrechnung auf technische Aufheiz- und Abkühlprobleme. Beiträge zur techn. Mechanik u. techn. Physik (Föppl-Festschrift). Berlin 1924.

    Google Scholar 

  58. Schmidt, E.: Das Differenzenverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen der nichtstationären Wärmeleitung, Diffusion und Impulsausbreitung. Forsch. Ing.-Wes. 13 (1942) 177–185.

    Article  Google Scholar 

  59. Baehr, H.D.: Beiträge zur graphischen Bestimmung nichtstationärer Temperaturfelder mit Hilfe des Differenzenverfahrens. Forsch. Ing.-Wes. 20 (1954) 16–19.

    Article  Google Scholar 

  60. Crank, J.; Nicolson, P.: A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type. Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1947) 50–67

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  61. Törnig, W.; Spelluci, P.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker. 2. Aufl., 2 Bde., Berlin: Springer-Verlag 1988 u. 1990.

    Book  Google Scholar 

  62. Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 1. 9. Aufl. Berlin: Springer 2005.

    MATH  Google Scholar 

  63. Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 2. 5. Aufl. Berlin: Springer 2005.

    MATH  Google Scholar 

  64. Peaceman, P.W.; Rachford, H.H.: The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. J. Soc. Industr. Appl. Math. 3 (1955) 28–41

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  65. Douglas, J.: On the numerical integration of \(\partial ^2u/\partial x^2+\partial ^2u/\partial y^2=\partial u/\partial t\) by implicit methods. J. Soc. Industr. Appl. Math. 3 (1955) 42–65

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  66. Douglas, J.; Rachford, H.H.: On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956) 421–439

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  67. Douglas, J.: Alternating direction methods for three space variables. Numer. Math. 4 (1962) 41–63

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  68. Young, D.M.: Iterative solution of large linear systems. New York: Academic Press 1971

    MATH  Google Scholar 

  69. Stupperich, F.R.: Instationäre Wärmeleitung. Vereinfachte Berechnung der Aufheizung bzw. Abkühlung von Körpern in konstanter Umgebung. Brennst.-Wärme-Kraft 45 (1993) 247–258.

    Google Scholar 

  70. Lewis, R.W.; Morgan, K.; Thomas, H.R.; Seetharma, K.N.: The finite element method in heat transfer analysis. New York: J. Wiley & Sons 1996

    Google Scholar 

  71. Reddy, K.-J.; Gartling, D.K.: The finite element method in heat transfer and fluid dynamics. 2nd ed.: CRC Press LLC 2001.

    Google Scholar 

  72. Marsal, D.: Finite Differenzen und Elemente. Numerische Lösung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen. Berlin: Springer-Verlag 1989.

    Chapter  Google Scholar 

  73. Bathe, K.-J.: Finite-Elemente-Methoden. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 2002.

    Book  Google Scholar 

  74. Knothe, K.; Wessels, H.: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1999.

    Google Scholar 

  75. Haase, R.: Thermodynamik der irreversiblen Prozesse. Darmstadt: Steinkopff Verlag 1963, S. 300.

    Book  Google Scholar 

  76. Wilke, C.R.; Chang, P.C.: Correlation of diffusion coefficients in dilute solutions. Amer. Inst. Chem. Eng. J. 1(1955) 264–270

    Article  Google Scholar 

  77. Fick, A.: Über Diffusion. Poggendorffs Ann. Phys. Chemie 94 (1855) 59–86

    Google Scholar 

  78. Crank, J.: The mathematics of diffusion. 2. Aufl. Oxford: Clarendon Press 1975, reprint 2004.

    Google Scholar 

  79. Landolt-Börnstein: Zahlenwerte und Funktionen aus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik und Technik. Bd. II, Teil 2b. 6. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1962.

    Google Scholar 

  80. Krischer, O.; Kast, W.: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Trocknungstechnik. Bd. 1. 3. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1978.

    Google Scholar 

  81. Aris, R.: On shape factors for irregular particles. Chem. Eng. Sci. 6 (1957) 262–268

    Article  Google Scholar 

  82. Kohlrausch, F.: Praktische Physik. 23. Aufl., herausgegeben von D. Hahn u. S. Wagner, Band 1. Stuttgart: B.G. Teubner 1985.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Bochum, Deutschland

    Hans Dieter Baehr

  2. Institut für Technische Thermodynamik und Thermische Verfahrenstechnik, Universität Stuttgart, Stuttgart, Deutschland

    Karl Stephan

Authors
  1. Hans Dieter Baehr
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  2. Karl Stephan
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Karl Stephan .

Rights and permissions

Reprints and permissions

Copyright information

© 2019 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature

About this chapter

Check for updates. Verify currency and authenticity via CrossMark

Cite this chapter

Baehr, H., Stephan, K. (2019). Wärmeleitung und Diffusion. In: Wärme- und Stoffübertragung. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58441-5_2

Download citation

  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58441-5_2

  • Published:

  • Publisher Name: Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg

  • Print ISBN: 978-3-662-58440-8

  • Online ISBN: 978-3-662-58441-5

  • eBook Packages: Computer Science and Engineering (German Language)

Publish with us

Policies and ethics

Search

Navigation