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Numerik pp 243-287 | Cite as

Nichtlineare Gleichungen und Systeme – numerisch gelöst

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Kapitelzusammenfassung

In der Schule lernt man eine explizite Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen, die schon den alten Mesopotamiern etwa 1500 v. Chr. bekannt war. Der nächste Fortschritt kam allerdings erst im 16. Jahrhundert in Italien, als Nicolo Tartaglia und Gerolamo Cardano explizite Lösungsformeln für die Wurzeln einer kubischen Gleichung fanden. Kurz darauf wurden auch solche Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4 gefunden, aber Polynomgleichungen vom Grad 5 widersetzten sich hartnäckig. Erst 1824 gelang dem jungen Niels Henrik Abel der Beweis, dass es eine Lösungsformel mit endlich vielen Wurzelausdrücken für die allgemeine Gleichung fünften Grades nicht geben kann. Die Galois-Theorie hat dann gezeigt, dass alle Polynomgleichungen ab Grad 5 im Allgemeinen nicht explizit aufgelöst werden können. Mit anderen Worten: Schon bei der Nullstellensuche bei einem Polynom von Grad 5 sind wir auf numerische Methoden angewiesen. Allerdings wollen wir gleich hier bemerken, dass die Nullstellenberechnung von Polynomen in der Praxis im Allgemeinen keine Aufgabe für Methoden dieses Kapitels ist, obwohl wir sie häufig als Beispiele verwenden! Die meisten Probleme zur Nullstellenbestimmung von Polynomen treten nämlich bei Eigenwertproblemen auf, bei denen man charakteristische Polynome behandeln muss. Daher wendet man besser gleich numerische Methoden zur Berechnung der Eigenwerte von Matrizen an.

Nichtlineare Gleichungen und Systeme treten in den Anwendungen sehr häufig auf, und zwar in allen Anwendungsfeldern: Beschreibung mechanischer Systeme, chemische Reaktionen, Optimierung von Produktionsprozessen usw. Besondere Aufregung hat in den letzten Jahrzehnten die Chaostheorie verursacht. Hierbei zeigt es sich, dass in einigen Fällen bei Iterationen erratisches Verhalten festzustellen ist. Wir wollen auch dieses Verhalten bei der Nullstellensuche untersuchen.

Ohne Zweifel kommt den Newton-Methoden heute eine besondere Bedeutung zu. Aus diesem Grund legen wir einen Schwerpunkt auf die Konvergenztheorie des klassischen Newton-Verfahrens, beschreiben aber auch Zugänge zu modernen Varianten. Allerdings ist es für das Verständnis gut, eine einfache Methode zur Hand zu haben, an der man auch komplizierte Zusammenhänge leicht einsehen kann. Dazu dienen uns das Bisektions- und das Sekantenverfahren, die wir im Detail untersuchen werden.

In welchen Fällen löst man Gleichungen numerisch? Welche Verfahren gibt es? Unter welchen Umständen konvergieren Verfahren? 

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Universität KasselKasselDeutschland
  2. 2.TU BraunschweigBraunschweigDeutschland

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