Lineare Ausgleichsprobleme – im Mittel das Beste

Kapitelzusammenfassung

Im Kap. 5 haben wir uns der Lösung linearer Gleichungssysteme $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ mit quadratischer Matrix $\boldsymbol{A}$ zugewandt. In diesem Kapitel werden wir Systeme betrachten, bei denen die Zeilenzahl $m$ größer als die Spaltenzahl $n$ ist. Demzufolge liegen mehr Bedingungen als Freiheitsgrade vor, sodass auch im Fall linear unabhängiger Spaltenvektoren keine Lösung des Problems existieren muss. Dennoch weisen derartige Aufgabenstellungen, die sich in der Literatur unter dem Begriff lineare Ausgleichsprobleme einordnen, einen großen Anwendungsbezug auf. Der Lösungsansatz im Kontext dieser Fragestellung liegt in der Betrachtung eines korrespondierenden Minimierungsproblems. Hierbei wird anstelle der Lösung des linearen Gleichungssystems die Suche nach dem Vektor $\boldsymbol{x}$ vorgenommen, der den Abstand zwischen dem Vektor $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ und der rechten Seite $\boldsymbol{b}$ über den gesamten Raum $\mathbb{R}^{n}$ im Sinne der euklidischen Norm, das heißt

$$\displaystyle\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|_{2}$$

minimiert. Für diese Problemstellung werden wir zunächst eine Analyse der generellen Lösbarkeit durchführen und anschließend unterschiedliche numerische Verfahren zur Berechnung der sogenannten Ausgleichslösung vorstellen. Glücklicherweise tritt bei den linearen Ausgleichsproblemen im Gegensatz zu den linearen Gleichungssystemen niemals der Fall ein, dass keine Lösung existiert. Lediglich die Eindeutigkeit der Lösung geht wie zu erwarten im Kontext linear abhängiger Spaltenvektoren innerhalb der vorliegenden Matrix verloren.