Warum Numerische Mathematik? – Modellierung, Simulation und Optimierung

Kapitelzusammenfassung

„Numerische Mathematik“ beginnt eigentlich schon im Altertum, als erste Algorithmen zur Berechnung der Quadratwurzel ersonnen wurden. Seit es Mathematik gibt, gibt es auch die Notwendigkeit des numerischen Rechnens, d. h. des Rechnens mit Zahlen. Numerische Mathematik heute ist die Mathematik der Näherungsverfahren, entweder weil eine exakte Berechnung (z. B. eines Integrals) unmöglich ist oder weil die exakte Berechnung so viel Zeit und Mühe beanspruchen würde, dass ein Näherungsalgorithmus notwendig wird. Etwa mit den ersten Logarithmentabellen im 17. Jahrhundert ergibt sich das Problem, in einer Tabelle zu interpolieren, und die Interpolation von Daten ist noch heute eine der Hauptaufgaben der Numerischen Mathematik. Das Wort interpolare kommt aus dem Lateinischen und bedeutet dort „auffrischen“, „umgestalten“, aber auch „verfälschen“. Im mathematischen Kontext bedeutet Interpolation, dass man eine Menge von Daten, z. B. Paare $(x_{i},f(x_{i})),i=1,\ldots,n$, so durch eine Funktion $p$ verbindet, dass die Daten an den gegebenen Punkten erhalten werden, also in unserem Beispiel muss stets $p(x_{i})=f(x_{i})$ für alle $i=1,\ldots,n$ gelten. Die Differenzial- und Integralrechnung von Newton und Leibniz und der Ausbau dieser Theorie durch Leonhard Euler im 18. Jahrhundert verschaffen auch numerischen Methoden ganz neue Möglichkeiten. Analytisch unzugängliche Integrale können nun numerisch bestimmt werden. Carl Friedrich Gauß arbeitete zu Beginn des 19. Jahrhunderts an numerischen Methoden zur Berechnung von Lösungen linearer Gleichungssysteme – bis heute ebenfalls eine der Hauptaufgaben der Numerischen Mathematik. Die Untersuchung der seit dem 17. Jahrhundert verstärkt betrachteten gewöhnlichen und seit dem 18. Jahrhundert verstärkt in den Fokus rückenden partiellen Differenzialgleichungen macht im 19. Jahrhundert schnell klar, dass neue numerische Ansätze benötigt werden. Mit der Erfindung des elektronischen Computers im 20. Jahrhundert entfaltet die Numerik schließlich ihre ganze Wirksamkeit. Heute ist es für die Ausbildung jeder Mathematikerin und jedes Mathematikers unerlässlich, wenigstens die Grundzüge der Numerischen Mathematik zu verstehen. Dabei ist es gerade heute wichtig, klare Trennlinien zwischen „Numerischer Mathematik“ und Gebieten wie etwa dem „Wissenschaftlichen Rechnen“ zu ziehen. Es geht in der Numerik nicht darum, möglichst komplexe Probleme durch die Konstruktion von Algorithmen auf einen Rechner zu bringen und die so erzeugten Ergebnisse auszuwerten, sondern um die Mathematik, die benötigt wird, um die Algorithmen beurteilen zu können. Dabei spielen Begriffe wie „Konvergenz“, „Stabilität“, „Effizienz“ und „Genauigkeit“ eine große Rolle.