Zusammenhänge – Integralsätze und Potenziale

Zusammenfassung

Zwischen Ableitung und Integral gibt es im Eindimensionalen bekanntlich einen engen Zusammenhang, den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Im Dreidimensionalen kann man dies nicht nur auf eine Weise verallgemeinern, sondern gleich auf mehrere verschiedene – was (unter anderem) natürlich daran liegt, dass es nun eben unterschiedliche Arten von Ableitungen gibt (Gradient, Divergenz, Rotation) und auch verschiedene Sorten von Integralen (Weg-, Oberflächen-, Volumenintegral).

In Abschn. 3.1 werden wir uns zunächst anschauen, wie man Divergenz und Rotation auch mittels Integralen darstellen kann. Dies wird es uns ermöglichen, diese Differenzialoperatoren (und auch den Laplace-Operator) nun auch endlich in krummlinigen Koordinatensystemen anzugeben; für den Gradienten hatten wir das ja bereits in Kap. 1 gemacht.

Direkt darauf aufbauend werden wir in Abschn. 3.2 dann die wichtigen Integralsätze von Gauß und Stokes kennenlernen, die eben letztlich dreidimensionale Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung sind.

Abschließend besprechen wir einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Ableitungen und Integralen, den es bei eindimensionalen Funktionen nicht gibt: In Abschn. 3.3 werden wir sehen, dass für die Existenz gewisser Arten von Stammfunktionen für Felder im Dreidimensionalen das Verschwinden von bestimmten Ableitungen nötig ist – aber selbst diese Forderung ist noch nicht ganz ausreichend.