Integrale – unendliche Summen in der Ebene und im Raum

Zusammenfassung

In Kap. 1 haben wir gesehen, wie man im $\mathbb{R}^{3}$ verschiedene Arten von Ableitungen berechnen kann. Bereits aus der Schule ist bekannt, dass die Umkehrung des Ableitens das Integrieren („Aufleiten“) ist. Dementsprechend schauen wir uns in diesem Kapitel Integrale für Funktionen mehrerer Variablen an.

Wir fangen hier mit dem Wegintegral an, das eventuell bereits aus der Mechanik bekannt ist – in dem Fall betrachtet diesen Abschnitt als Wiederholung. In aufsteigender Schwierigkeit besprechen wir dann Flächenintegrale in der Ebene, Volumenintegrale und schließlich Flächenintegrale im Raum. Letztlich führt man all diese Integrale auf (Produkte von) eindimensionale(n) Integrale(n) zurück. Alle Definitionen und Berechnungen werden hier anschaulich motiviert, und es wird jeweils nur knapp angedeutet, wie man dies mathematisch sauberer definieren müsste.

Den Abschluss dieses Kapitels bildet eine kurze Erläuterung des mathematischen Begriffs des Lebesgue-Integrals. Für die meisten Physiker ist dies zwar nicht wirklich wesentlich – aber zumindest mathematisch Interessierte sollten es sich einmal durchlesen, um die Hintergründe zu diesem Kapitel besser zu verstehen.