Teilchensysteme

Zusammenfassung

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir bereits einige Situationen kennengelernt, in denen die Bewegungen von zwei oder mehr Körpern voneinander abhängig waren. Beispiele hierfür sind die zwei durch ein Seil verbundenen Massen, die eine Schräge hinunterrutschen, oder die beiden zusammenstoßenden Autos beim inelastischen Stoß. In diesem Kapitel wollen wir diese Beispiele noch einmal aufgreifen und eine allgemeine Vorgehensweise aufstellen, wie man Aufgabenstellungen mit mehreren Körpern löst. Damit lassen sich nicht nur Stöße zwischen zwei Körpern einfacher als in Kap. 6 gezeigt beschreiben, sondern auch Systeme mit variabler Masse bzw. Teilchenzahl. Als Beispiel hierfür werden wir den Raketenantrieb betrachten.

Die Schubkraft, die eine Rakete abheben lässt, ergibt sich aus der Brennrate und der Geschwindigkeit, mit der die Verbrennungsgase ausgestoßen werden. Dabei verliert die Rakete durch die Verbrennung des Treibstoffs ständig an Masse. (© NASA.)

? Welche Beschleunigungen wirken bei einem Raketenstart, und welche Endgeschwindigkeit kann eine Rakete erreichen? (Siehe Übung 7.1.)

Appendices

Im Kontext: PDE-Triebwerke: Schneller (und lauter)

Raketenantriebe, die mit Flüssigtreibstoff arbeiten, benötigen teure, empfindliche Pumpen, um den Brennstoff unter sehr hohem Druck in der Brennkammer des Schubrohrs zu zünden. Die meisten Strahlantriebe sind Gasturbinen mit vielen beweglichen Teilen, die sehr engen Toleranzen genügen müssen und einen entsprechenden Wartungsaufwand verursachen. Raumfahrt- und Luftfahrtingenieure wünschen sich Antriebe mit weniger bewegten Teilen, die ihren Brennstoff effizienter ausnützen und sich in einem weiten Geschwindigkeitsbereich einsetzen lassen.

Diese Anforderungen können PDE-Triebwerke (pulse detonation engines) vielleicht erfüllen, die den Schub durch Detonation erzeugen und nicht, wie die Verpuffungs- oder Pulsstrahlstriebwerke, durch Deflagration.

In beiden Fällen wird durch die schlagartige Verbrennung des Treibstoff-Luft-Gemischs Schub erzeugt. Deflagrationen sind Verpuffungen, bei denen sich im Treibstoff-Luft-Gemisch die Luft auf Zündtemperatur erhitzt und die Flammenfront sich im Gemisch langsamer als der Schall ausbreitet. Beispiele für Deflagration treten bei Feuerwerk, in richtig eingestellten Verbrennungsmotoren oder bei einem Holzkohlegrill mit zu viel flüssigem Anzünder auf. Detonationen dagegen sind mit einem Explosionsknall verbunden und breiten sich schneller als der Schall aus – manchmal sogar erheblich schneller –, indem eine Stoßwelle die Luft komprimiert und das Medium zündet. Sprengstoffe detonieren. Sie werden beispielsweise im Bergbau oder bei Abbruchunternehmen eingesetzt; auch bei „Fehlzündungen“ in einem nicht richtig eingestellten Verbrennungsmotor handelt es sich um Detonationen.

Experimentelles PDE-Triebwerk in einem sogenannten Entenflugzeug, dem von Burt Rutan entworfenen Modell Vari-Eze. (© Tim Anderson)

Das PDE-Triebwerk besteht aus einem einseitig geschlossenen Rohr. Luft und Treibstoff werden in die Brennkammer am geschlossenen Ende geleitet und durch einen Funken gezündet. Dadurch beginnt eine Deflagration. Während sich die Deflagration über die komplizierte innere Oberfläche${}^{1}$ des Schubrohrs ausbreitet, wird das Treibstoff-Luft-Gemisch an der Flammenfront rasch komprimiert und setzt eine Detonation in Gang. Im Zuge der Explosion breitet sich die Stoßfront erheblich schneller als der Schall aus. In verschiedenen Laboratorien hat man Detonationsfronten mit bis zu fünffacher Schallgeschwindigkeit (Mach 5) gemessen.${}^{2}$ Die Abgase verlassen das offene Ende des Schubrohrs mit sehr hoher Geschwindigkeit. Dadurch haben sie einen höheren Schubimpuls als bei einer Deflagration derselben Treibstoffmenge. Der Kraftstoß bei einer Detonation kann doppelt so hoch sein wie bei einer Deflagration.${}^{3}$

Die einzigen bewegten Teile in einem PDE-Triebwerk sind die Ventile, durch die die Treibstoff-Luft-Mischung eingelassen wird. Für die Zündung kann man beispielsweise eine Zündkerze wie in einem Automotor verwenden, und der Rest des Triebwerks besteht nur aus dem Schubrohr. Damit sieht das Triebwerk auf den ersten Blick ganz einfach aus. Aber Verbrennungsprozesse sind schwierig zu kontrollieren, und die Verbrennung in einem PDE-Triebwerk läuft dazu extrem schnell ab. Um ein Flugzeug oder eine Rakete anzutreiben, müssten im Triebwerk viele Detonationen pro Sekunde ablaufen, so wie ein Automotor auch viele Verbrennungstakte pro Sekunde benötigt, um den Wagen anzutreiben. In Belastungstests wurden für mehrere Minuten oder Stunden etwa 80 Detonationen pro Sekunde erreicht, ideal wären dagegen mehrere Hundert pro Sekunde${}^{4}$ – und das über einen langen Zeitraum. Diese hohe Zahl von Detonationen pro Sekunde steuert man bei PDE-Triebwerken ohne Ventile durch eine Art Einlass-Jalousie und die Geometrie des Rohrs, die für schnell pulsierende Zündfronten sorgen.

Doch eine Detonation ist ein gewaltiger Explosionsknall; sie ist extrem laut und lässt das Triebwerk noch mehr vibrieren als die bekannten Strahl- und Raketentriebwerke.${}^{5}$ Diese zusätzlichen Schwingungen können gefährlich für Raketen und Flugzeuge sein. Durch den erzeugten Lärm sind die PDE-Triebwerke nicht für Fahrzeuge mit Menschen an Bord geeignet. Schließlich wurden bislang immer schwere Schubrohre eingesetzt, in deren Brennkammer die Detonationen ablaufen. Für Flugzwecke müssen die Rohre jedoch leichtgewichtig sein und dabei doch stabil genug, um den Detonationen standzuhalten.

Bislang sind keine Flugzeuge mit PDEs geflogen, doch die Idee eines preiswerten Triebwerks für Flugzeuge und Raketen, das Schub über einen weiten Bereich produziert und dabei den Treibstoff effizienter ausnützt als vorhandene Triebwerke, ist reizvoll genug für weitere Forschungen.

• 1. Paxson, D. E., Rosenthal, B. N., Sgondea, A., Wilson, J., „Parametric Investigation of Thrust Augmentation by Ejectors on a Pulsed Detonation Tube“, Vortrag auf der 41${}^{\mathrm{st}}$ Joint Propulsion Conference, 2005, Tucson, AZ.

• 2. Borisov, A. A., Frolov, S. M., Netzer, D. W., Roy, G. D., „Pulse Detonation Propulsion: Challenges, Current Status, and Future Perspective.“ Progress in Energy and Combustion Science 30 (2004) 545–672.

• 3. „Detonation Initiation and Impulse Measurement.“ Explosion Dynamics Laboratory: Pulse Detonation Engines, http://www.galcit.caltech.edu/EDL/projects/pde/pde.html (Stand: März 2009).

• 4. Kandebo, Stanley W., „Taking the Pulse.“ Aviation Week and Space Technology, 160:10 (8. März 2004), 32–33.

• 5. Borisov et al., a. a. O.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Massenmittelpunkt
	Massenmittelpunkt für ein Teilchensystem	Der Massenmittelpunkt eines Teilchensystems ist als der Punkt mit den folgenden Koordinaten definiert: $m\,x_{\mathrm{S}}=\sum_{i}m_{i}x_{i}$,   (7.3) $m\,y_{\mathrm{S}}=\sum_{i}m_{i}y_{i}$,   (7.4) $m\,z_{\mathrm{S}}=\sum_{i}m_{i}z_{i}$.   (7.5)
	Massenmittelpunkt in ausgedehnten Körpern	Wenn die Masse kontinuierlich verteilt ist, ist der Massenmittelpunkt durch $m\,\boldsymbol{r}_{\mathrm{S}}=\int\boldsymbol{r}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}m$   (7.7) gegeben.
	Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung für den Massenmittelpunkt eines Teilchensystems	$m\,\boldsymbol{r}_{\mathrm{S}}=m_{1}\,\boldsymbol{r}_{1}+m_{2}\,\boldsymbol{r}_{2}+\ldots$   (7.6) $m\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}=m_{1}\,\boldsymbol{v}_{1}+m_{2}\,\boldsymbol{v}_{2}+\ldots$   (7.12) $m\,\boldsymbol{a}_{\mathrm{S}}=m_{1}\,\boldsymbol{a}_{1}+m_{2}\,\boldsymbol{a}_{2}+\ldots$   (7.13)
	Zweites Newton’sches Axiom für Systeme	$\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}=\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i,\mathrm{ext}}=m\,\boldsymbol{a}_{\mathrm{S}}$   (7.15)
2.	Gesamtimpuls eines Systems	$\boldsymbol{p}=\sum_{i}m_{i}\,\boldsymbol{v}_{i}=m\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}$   (7.16)
	Impulserhaltungssatz	Wenn die resultierende Kraft auf ein System null ist, bleibt der Gesamtimpuls des Systems erhalten.
3.	Massenmittelpunktsarbeit und kinetische Energie der Translation	$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{s}_{\mathrm{S}}=\Updelta E_{\mathrm{kin,trans}}$   (7.20) Dieser Zusammenhang kann bei der Lösung von Aufgabenstellungen für Systeme herangezogen werden, die nicht als Teilchen modelliert werden können.
	Massenmittelpunktsarbeit	$\displaystyle W_{\mathrm{S}}=\int\limits_{1}^{2}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{s}_{\mathrm{S}}$
	Kinetische Energie der Translation	$E_{\mathrm{kin,trans}}=\tfrac{1}{2}\,mv^{2}_{\mathrm{S}}\text{ mit }m=\displaystyle\sum_{i}m_{i}$
4.	Energie eines Systems
	Kinetische Energie	Die kinetische Energie, die mit der Bewegung der Teilchen eines Systems bezüglich des Massenmittelpunkts verbunden ist, ist $E_{\mathrm{kin,rel}}=\sum\frac{1}{2}\,m_{i}\,(v_{i}^{\text{(S)}})^{2}$, wobei $v_{i}^{\text{(S)}}$ die Geschwindigkeit des $i$-ten Teilchens relativ zum Massenmittelpunkt ist: $E_{\mathrm{kin}}=\textstyle{\frac{1}{2}}\,m\,v_{\mathrm{S}}^{2}+E_{\mathrm{kin,rel}}$.   (7.22)
	Potenzielle Energie	$E_{\mathrm{pot,G}}=g\sum_{i}m_{i}\,h_{i}=m\,g\,h_{\mathrm{S}}$.  (7.24)
5.	Stöße im Schwerpunktsystem
	Definition	Das Bezugssystem, das sich mit dem Massenmittelpunkt bewegt, wird Massenmittelpunktsystem oder Schwerpunktsystem genannt. Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts und der Gesamtimpuls sind darin null.
	Transformationen	Die Geschwindigkeiten der beiden Teilchen im ursprünglichen Bezugssystem $\boldsymbol{v}_{1}$ und $\boldsymbol{v}_{2}$ transformieren sich ins Schwerpunktsystem als $\boldsymbol{v}_{1}^{\text{(S)}}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}$   (7.25a) und $\boldsymbol{v}_{2}^{\text{(S)}}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}$.   (7.25b)
6.	Kontinuierlich veränderliche Masse
	Zweites Newton’sches Axiom	$\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}+\dfrac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}m}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{rel}}=m\,\dfrac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}$  (7.27)
	Raketengleichung	$-m\,g\,\boldsymbol{\widehat{y}}-R\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{rel}}=m\,\dfrac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}$  (7.29) Dabei ist $R=|\mskip 2.0mu\mathrm{d}m/\mskip 2.0mu\mathrm{d}t|$ die Brennrate.
	Schubkraft einer Rakete	$\boldsymbol{F}_{\mathrm{Sch}}=-R\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{rel}}=-\left|\dfrac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}m}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}\right|\boldsymbol{v}_{\mathrm{rel}}$   (7.30)

Antworten auf die Kurzfragen

• 7.1 Nein. Selbst wenn die Lagerreibung beseitigt wird, hat die Rolle immer noch eine Masse. Um die Rotationsgeschwindigkeit ihrer Welle zu ändern, muss eine unterschiedliche Zugkraft vorhanden sein. Rollen mit nicht vernachlässigbarer Masse werden in Kap. 8 betrachtet.

• 7.2 Da die auf den Zylinder wirkende Gesamtkraft die nach rechts auf das Papier ausgeübte Reibungskraft ist, würde der Zylinder nach rechts beschleunigt. Es könnte so aussehen, als ob sich der Zylinder nach links bewegt, da er in Bezug auf das Papier nach links rollt. In Bezug auf den Tisch, der ein Inertialsystem ist, bewegt er sich allerdings nach rechts. Wenn Sie die ursprüngliche Lage des Zylinders am Tisch markieren, werden Sie beobachten, dass sich der Massenmittelpunkt während der Zeit, in der der Zylinder das gezogenene Papier berührt, nach rechts bewegt.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 7.1 (a) $a_{\mathrm{t}}=0{,}66\,g$, (b) $a_{\mathrm{t}}=0{,}60\,\text{g}$

• 7.2 $2R=1{,}1\cdot 10^{2}\,\text{m}$

• 7.3 $F_{x}=m_{1}\,g\,\sin\theta\,\cos\theta$

• 7.4 Vorher:

  $p_{\mathrm{A}}^{\text{(S)}}=\text{(4{,}0\,kg)}\,\mathrm{(1{,}0\,m/s)}+\text{(2{,}0\,kg)}\,(-\mathrm{2{,}0\,m/s})$

  $=\mathrm{0{,}0\,kg}\cdot\mathrm{m/s}$

  Nachher:

  $p_{\mathrm{E}}^{\text{(S)}}=\text{(4{,}0\,kg)}\,(-\mathrm{1{,}0\,m/s})+\text{(2{,}0\,kg)}\,(\mathrm{2{,}0\,m/s})$

  $=\mathrm{0{,}0\,kg}\cdot\mathrm{m/s}$

• 7.5 a) $3\,m_{\text{S}}\,g$, b) $m_{\text{S}}\,g$

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=\mathrm{9{,}81\,m/s^{\mathbf{2}}}}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

7.1

•• Ein 2,5 kg schwerer Block hängt ruhend an einem Seil, das an der Decke befestigt ist. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Blocks, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und geben Sie an, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. b) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Seils, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und geben Sie an, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. Die Masse des Seils ist hier nicht zu vernachlässigen.

7.2

•• Nennen Sie jeweils ein Beispiel für folgende Konfigurationen: a) einen dreidimensionalen Körper, in dessen Massenmittelpunkt sich keine Masse befindet, b) einen Festkörper, dessen Massenmittelpunkt außerhalb der Masse des Körpers liegt, c) eine Vollkugel, deren Massenmittelpunkt nicht in ihrer geometrischen Mitte liegt, d) einen Holzstock, dessen Massenmittelpunkt nicht in der Mitte liegt.

7.3

•• Ein Bumerang fliegt nach dem Abwurf für eine Weile gleichförmig geradlinig horizontal, wobei er sich im Flug rasch dreht. Zeichnen Sie mehrere Skizzen des Bumerangs in der Draufsicht in verschiedenen Drehstellungen auf seinem Weg parallel zur Erdoberfläche. Zeichnen Sie in jede Skizze den Ort des Massenmittelpunkts ein und verbinden Sie diese Punkte, um dessen Trajektorie zu veranschaulichen. Wie wird der Bumerang während dieses Abschnitts des Flugs beschleunigt?

7.4

•• Ein Auto wird auf ebener Straße aus dem Stand beschleunigt, ohne dass die Räder durchdrehen. Erläutern Sie anhand des Zusammenhangs zwischen Gesamtmassenmittelpunktsarbeit und kinetischer Energie der Translation sowie von Kräftediagrammen genau, welche Kraft bzw. welche Kräfte für die Zunahme an kinetischer Energie der Translation des Autos und der Fahrerin direkt verantwortlich ist bzw. sind. Hinweis: Der Zusammenhang betrifft nur äußere Kräfte, sodass z. B. bei der Beschleunigung des Autos die Antwort „die Motorkraft“ nicht richtig ist. Betrachten Sie jeweils das richtige System.

7.5

•• Ein fleißiger Student stolpert über die Frage: „Wenn nur äußere Kräfte den Massenmittelpunkt eines Teilchensystems beschleunigen können, wie kann sich dann ein Auto bewegen? Normalerweise glauben wir, dass der Motor des Wagens die Beschleunigungskraft liefert, aber ist das auch wahr?“ Erläutern Sie, welche äußere Ursache die Kraft zur Beschleunigung des Wagens liefert, und erklären Sie, was der Motor mit dieser Ursache zu tun hat.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

7.6

•• Ein Holzklotz und ein Revolver sind an den entgegengesetzten Enden eines langen Gleiters befestigt, der sich reibungsfrei auf einer Luftkissenbahn bewegen kann (Abb. 7.46). Der Holzklotz und der Revolver haben voneinander den Abstand $l$. Das System ist anfangs in Ruhe. Wenn der Revolver abgefeuert wird, verlässt die Kugel den Lauf mit der Geschwindigkeit $v_{\mathrm{K}}$, trifft auf den Holzklotz und bleibt darin stecken. Die Kugel hat die Masse $m_{\mathrm{K}}$, und das System aus Holzklotz, Revolver und Gleiter (ohne Kugel) hat die Masse $m_{\mathrm{G}}$.  a) Welche Geschwindigkeit hat der Gleiter, unmittelbar nachdem die Kugel den Lauf verlassen hat? b) Welche Geschwindigkeit hat der Gleiter, unmittelbar nachdem die Kugel im Holzklotz steckengeblieben ist? c) Wie weit bewegt sich der Gleiter in der Zeit, in der die Kugel sich zwischen dem Revolverlauf und dem Holzklotz befindet?

Abb. 7.46

Zu Aufgabe 7.6

1.3 Mehrkörperprobleme

7.7

•• Zwei Blöcke der Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ sind durch ein masseloses Seil miteinander verbunden. Sie werden, wie in Abb. 7.47 gezeigt, beide gleichmäßig durch die Zugkraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{S,2}}$ in einem weiteren horizontalen Seil auf einer reibungsfreien Fläche gezogen. a) Zeichnen Sie separat die Kräftediagramme beider Blöcke und zeigen Sie, dass gilt:

$$\frac{|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S,1}}|}{|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S,2}}|}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,.$$

b) Ist diese Beziehung plausibel? Erläutern Sie Ihre Antwort. Überprüfen Sie, dass die Beziehung sowohl im Grenzfall $m_{2}/m_{1}\gg 1$ als auch im Grenzfall $m_{2}/m_{1}\ll 1$ sinnvoll ist.

Abb. 7.47

Zu Aufgabe 7.7

7.8

•• Ein Block der Masse $m_{2}=\text{3,5\,kg}$ liegt auf einem reibungsfreien, horizontalen Brett und ist über zwei Seile mit zwei Blöcken der Massen $m_{1}=\text{1,5\,kg}$ und $m_{3}=\text{2,5\,kg}$ verbunden (Abb. 7.48). Beide Rollen seien reibungsfrei und masselos. Das System wird aus der Ruhe losgelassen. Ermitteln Sie für diesen Zustand a) die Beschleunigung der Blöcke und b) die Zugkräfte in den beiden Seilen.

Abb. 7.48

Zu Aufgabe 7.8

7.9

•• Ein Block der Masse $m$ wird durch ein homogenes Seil der Masse $m_{\mathrm{S}}$ und der Länge $l_{\mathrm{S}}$ vertikal angehoben. Das Seil wird durch eine Kraft ${\boldsymbol{F}}_{\mathrm{S}}$ an seinem oberen Ende nach oben gezogen, wobei das Seil und der Block mit der Beschleunigung $a$ gemeinsam nach oben beschleunigt werden. Zeigen Sie, dass der Betrag der Zugkraft im Seil in einer Höhe $x$ (mit $x<l_{\mathrm{S}}$) über dem Block durch

$$(a+g)\left(m+\frac{x}{l_{\mathrm{S}}}\;m_{\mathrm{S}}\right)$$

gegeben ist.

7.10

•• Zwei Körper sind, wie in in Abb. 7.49 gezeigt, über ein masseloses Seil miteinander verbunden. Die geneigte Ebene und die Rolle seien reibungsfrei. Ermitteln Sie den Betrag der Beschleunigung der Körper und der Zugkraft im Seil a) allgemein in Abhängigkeit von $\theta$, $m_{1}$ und $m_{2}$ sowie b) für $\theta=30{{}^{\circ}}$ und $m_{1}=m_{2}=\text{5,0\,kg}$.

Abb. 7.49

Zu Aufgabe 7.10

7.11

•• Die Apparatur in Abb. 7.50 wird Atwood’sche Fallmaschine genannt und dient zum Messen der Erdbeschleunigung $g$. Dazu wird die Beschleunigung der beiden mittels eines Seils über eine Rolle verbundenen Körper gemessen. Nehmen Sie eine masselose, reibungsfreie Rolle sowie ein masseloses Seil an. a) Zeichnen Sie für jeden Körper das Kräftediagramm. b) Zeigen Sie anhand der Kräftediagramme beider Körper und mithilfe des zweiten Newton’schen Axioms, dass für die Beträge der Beschleunigung der Körper und der Zugkraft im Seil gilt:

$$a=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,g\qquad\text{und}\qquad F_{\mathrm{S}}=\frac{2\,m_{1}\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,g\,.$$

c) Überprüfen Sie, dass diese Formeln für $m_{1}=m_{2}$ sowie für die Grenzfälle $m_{1}\gg m_{2}$ und $m_{1}\ll m_{2}$ sinnvolle Ergebnisse liefern.

Abb. 7.50

Zu Aufgabe 7.11 bis 7.13

7.12

•• Eine der Massen in der Atwood’schen Fallmaschine aus Abb. 7.50 sei 1,2 kg. Wie groß muss dann die andere Masse sein, damit der Betrag der Verschiebung jeder der beiden Massen in der ersten Sekunde nach dem Loslassen 0,30 m beträgt?

7.13

••• Die Schwerebeschleunigung $g$ kann dadurch bestimmt werden, dass die Zeit $t$ gemessen wird, die es dauert, bis die Masse $m_{2}$ in der Atwood’schen Fallmaschine von Aufgabe 7.11 aus der Ruhe um eine Strecke $l$ fällt. a) Ermitteln Sie anhand der Formeln in Aufgabe 7.11 einen Ausdruck für $g$ als Funktion von $l,t,m_{1}$ und $m_{2}$. Beachten Sie, dass die Beschleunigung konstant ist. b) Zeigen Sie, dass ein kleiner Fehler ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}t$ in der Zeitmessung zu einem relativen Fehler ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}g/g=-2\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}t/t$ in $g$ führt. c) Nehmen Sie an, dass die einzige maßgebende Unsicherheit der Messwerte in der Fallzeit liegt. Es sei $l=\text{3,00\,m}$ und $m_{1}=\text{1,00\,kg}$. Ermitteln Sie denjenigen Wert von $m_{2}$, bei dem $g$ mit einer Genauigkeit von $\pm 5\,\%$ gemessen werden kann, wenn die Zeitmessung auf $\pm\text{0,1\,s}$ genau ist.

Abb. 7.51

Zu Aufgabe 7.14

7.14

••• Abb. 7.51 zeigt einen 20-kg-Block, der auf einem 10-kg-Block gleiten kann. Alle Oberflächen seien reibungsfrei, und die Rolle sei masselos und ebenfalls reibungsfrei. Gesucht sind die Beschleunigungen beider Blöcke sowie die Zugkraft im Seil, das die Blöcke verbindet.

1.4 Massenmittelpunktsystem

7.15

• Eine Masse von 4,0 kg befindet sich im Koordinatenursprung und eine Masse von 2,0 kg auf der $x$-Achse bei $x=\mathrm{6{,}0\,cm}$. Wie lautet die Koordinate $x_{\mathrm{S}}$ des Massenmittelpunkts?

7.16

• Drei Kugeln A, B und C mit den Massen 3,0 kg, 1,0 kg bzw. 1,0 kg sind, wie in Abb. 7.52 gezeigt, durch masselose Stäbe miteinander verbunden. Welche Koordinaten hat der Massenmittelpunkt?

Abb. 7.52

Zu Aufgabe 7.16

7.17

• Bestimmen Sie mithilfe von Symmetrieüberlegungen den Massenmittelpunkt einer homogenen Platte in Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$. Ein Eckpunkt befindet sich auf der $y$-Achse, und die beiden anderen Eckpunkte liegen bei $(-\frac{a}{2},0)$ und $(+\frac{a}{2},0)$.

7.18

• Zwei gleiche Teilchen der Masse 3,0 kg haben die Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}_{1}=\mathrm{(2{,}0\,m/s)}\;\boldsymbol{\widehat{x}}+\mathrm{(3{,}0\,m/s)}\;\boldsymbol{\widehat{y}}$ bzw. $\boldsymbol{v}_{2}=\mathrm{(4{,}0\,m/s)}\;\boldsymbol{\widehat{x}}-\mathrm{(6{,}0\,m/s)}\;\boldsymbol{\widehat{y}}$. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor des Massenmittelpunkts des Systems.

7.19

• Beschreiben Sie im Schwerpunktsystem einen vollständig inelastischen zentralen Stoß zwischen zwei gleichen Autos.

7.20

•• Eine zylinderförmige Dose der Masse $m$ und der Höhe $h$ ist mit Wasser gefüllt. Anfangs hat das Wasser in der Dose ebenfalls die Masse $m$. Jetzt wird ein kleines Loch in den Boden geschlagen, und das Wasser tropft heraus. a) Geben Sie einen Ausdruck für die Höhe des Massenmittelpunkts an, wenn der Wasserspiegel die Höhe $x$ hat. b) Welche Höhe unterschreitet der Massenmittelpunkt nicht, wenn das Wasser herausläuft?

7.21

•• Ein Auto fährt nachts auf einer Landstraße. Gerade als es aus einer 90-km$/$h-Zone in eine 80-km$/$h-Zone fährt, springt plötzlich ein Reh aus dem Wald und bleibt mitten auf der Fahrbahn stehen. Genau beim Schild mit der Geschwindigkeitsbegrenzung auf 80 km$/$h bremst der Fahrer scharf, sodass die Bremsen blockieren. Das Auto kommt wenige Zentimeter vor dem erschrockenen Reh zum Stehen. Als sich der Fahrer von seinem Schreck erholt hat, hält hinter ihm ein Streifenwagen an. Der Polizeibeamte verpasst dem Fahrer einen Strafzettel, da er mit 92 km$/$h in einer 80-km$/$h-Zone gefahren sein soll. Der Fahrer, der sich in Physik auskennt, verweist auf die 25 m langen Bremsspuren seines Autos und bestreitet, mit überhöhter Geschwindigkeit gefahren zu sein. Wie geht er dabei vor? Für die Lösung benötigen Sie den Gleitreibungskoeffizienten zwischen den Autoreifen und trockenem Beton ($\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}80$).

7.22

•• Ein Block von 3,0 kg bewegt sich mit 5,0 m$/$s nach rechts (in die positive $x$-Richtung) und ein zweiter Block von 3,0 kg mit 2,0 m$/$s nach links. a) Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie der beiden Blöcke. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts des Systems aus den beiden Blöcken. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Blöcke bezüglich des Massenmittelpunkts. d) Berechnen Sie die kinetischen Energien der beiden Blöcke bezüglich des Massenmittelpunkts. e) Zeigen Sie, dass der in Teilaufgabe a erhaltene Wert größer ist als der in Teilaufgabe d erhaltene, und zwar um einen Betrag, der gleich der kinetischen Energie ist, die mit der Bewegung des Massenmittelpunkts zusammenhängt.

7.23

•• Wiederholen Sie die vorige Aufgabe, wobei der zweite Block jedoch eine Masse von 5,0 kg hat und sich mit 3,0 m$/$s nach rechts bewegt.

7.24

•• Im Schwerpunktsystem stößt ein Teilchen mit der Masse $m_{1}$ und dem Impuls $p_{1}$ elastisch zentral mit einem zweiten Teilchen zusammen, das die Masse $m_{2}$ und den Impuls $p_{2}=-p_{1}$ hat. Nach dem Stoß hat das erste Teilchen den Impuls $p_{1}^{\prime}$. Geben Sie die anfängliche kinetische Gesamtenergie in Abhängigkeit von $m_{1}$, $m_{2}$ und $p_{1}$ sowie die kinetische Gesamtenergie nach dem Stoß in Abhängigkeit von $m_{1}$, $m_{2}$ und $p_{1}^{\prime}$ an. Zeigen Sie, dass $p_{1}^{\prime}=\pm p_{1}$ gilt. Bei $p_{1}^{\prime}=-p_{1}$ kehrt sich für das Teilchen nur die Bewegungsrichtung um, aber der Betrag seiner Anfangsgeschwindigkeit bleibt gleich. Welche Situation liegt bei der Lösung mit $p_{1}^{\prime}=+p_{1}$ vor?

Abb. 7.53

Zu Aufgabe 7.25

7.25

••• In einer Atwood’schen Fallmaschine aus Abb. 7.53 gleitet das Seil reibungsfrei über die Oberfläche eines festen Zylinders der Masse $m_{\mathrm{Z}}$, der sich nicht dreht. a) Ermitteln Sie die Beschleunigung des Massenmittelpunkts des Gesamtsystems aus den zwei Klötzen und dem Zylinder. b) Ermitteln Sie mithilfe des zweiten Newton’schen Axioms für Systeme die Kraft $F$, die von der Aufhängung ausgeübt wird. c) Ermitteln Sie die Zugkraft $|F_{\mathrm{S}}|$ des Seils zwischen den beiden Klötzen und zeigen Sie, dass gilt: $|F|=m_{\mathrm{Z}}\,g+2\,F_{\mathrm{S}}$.

7.26

•• Ein Gleiter A bewegt sich auf einer reibungsfreien ebenen Luftkissenbahn mit 1,0 m$/$s in positiver $x$-Richtung. Auf der Luftkissenbahn befindet sich vor dem Gleiter A ein identischer Gleiter B. Beide Gleiter haben eine Masse von je 1,0 kg. Wir betrachten das System aus den beiden Gleitern. a) Welche Geschwindigkeit hat der Massenmittelpunkt, und welche Geschwindigkeit haben die Gleiter bezüglich des Massenmittelpunkts? b) Welche kinetische Energie hat jeder der beiden Gleiter bezüglich des Massenmittelpunkts? c) Wie groß ist die kinetische Gesamtenergie bezüglich des Massenmittelpunkts? d) Die Gleiter stoßen zusammen und bleiben aneinander haften. Wie groß ist dann die kinetische Gesamtenergie bezüglich des Massenmittelpunkts?

1.5 Raketen- und Strahlantrieb

7.27

•• Ein frei rollender Eisenbahnwaggon passiert eine Getreideverladeeinrichtung, die mit konstanter Rate (Masse pro Zeiteinheit) Getreide in den Waggon befördert. a) Wird der Waggon wegen der Impulserhaltung langsamer, während er die Ladeeinrichtung passiert? Das Gleis soll reibungsfrei und völlig eben sein, und das Getreide soll vertikal in den Waggon hineinfallen. b) Wenn der Waggon langsamer wird, muss es eine äußere Kraft geben, die ihn abbremst. Woher kommt diese Kraft? c) Nachdem der Waggon beladen ist, entsteht in seinem Boden ein Loch, und das Getreide fällt mit konstanter Rate (Masse pro Zeiteinheit) nach unten heraus. Wird der Waggon schneller, während er seine Ladung verliert?

7.28

•• Eine Rakete verbrennt 200 kg Treibstoff pro Sekunde und stößt die Gase mit einer Geschwindigkeit von 6,00 km$/$s relativ zur Rakete aus. Wie stark ist der Schub der Rakete?

7.29

•• Eine Rakete hat eine Startmasse von 30 000 kg, wovon 80 % Treibstoff sind. Sie verbrennt den Treibstoff mit einer Rate von 200 kg$/$s und stößt die Gase mit einer relativen Geschwindigkeit von 1,80 km$/$s aus. Berechnen Sie a) die Schubkraft der Rakete, b) die Zeitdauer bis zum Brennschluss und c) die Geschwindigkeit beim Brennschluss unter der Voraussetzung, dass die Rakete senkrecht nach oben fliegt und so dicht an der Erdoberfläche bleibt, dass die Erdbeschleunigung $g$ praktisch konstant ist. Vernachlässigen Sie die Auswirkungen des Luftwiderstands.

7.30

• Wir betrachten eine einstufige Rakete, deren Startmasse zu 90 % vom Treibstoff herrühren soll. Um welchen Faktor kann die Endgeschwindigkeit der Rakete erhöht werden, wenn bei gleichem Leergewicht die doppelte Treibstoffmenge mitgeführt wird? Die Rakete befinde sich im freien Raum, d. h., die Erdanziehung soll vernachlässigt werden.

1.6 Allgemeine Aufgaben

7.31

•• An einer 1,5 m langen homogenen Kette, die an der Decke befestigt ist, hängt ein Block mit der Masse 50 kg. Die Eigenmasse der Kette beträgt 20 kg. Bestimmen Sie die Zugkraft in der Kette a) an dem Punkt, in dem sie am Block befestigt ist, b) in der Mitte der Kette und c) am Befestigungspunkt an der Decke.

7.32

•• Eine reibungsfreie Fläche ist unter dem Winkel $30{,}0{{}^{\circ}}$ gegen die Horizontale geneigt. Ein 270-g-Block auf der geneigten Ebene ist über ein Seil und eine Rolle mit einem frei hängenden Gewicht mit der Masse 75,0 g verbunden (Abb. 7.54). a) Zeichnen Sie separat die Kräftediagramme für den 270-g-Block und für das 75,0-g-Gewicht. b) Berechnen Sie die Zugkraft im Seil und die Beschleunigung des 270-g-Blocks. c) Der 270-g-Block, der anfangs ruht, wird nun losgelassen. Wie lange dauert es, bis er 1,00 m weit gerutscht ist? Gleitet er auf der geneigten Ebene nach oben oder nach unten?

Abb. 7.54

Zu Aufgabe 7.32

7.33

•• Ein 2,0-kg-Block ruht auf einem reibungsfreien Keil mit dem Neigungswinkel $60{{}^{\circ}}$. Der Keil wird mit einer Beschleunigung $\boldsymbol{a}$ nach rechts beschleunigt, deren Betrag so groß ist, dass der Block seine Lage relativ zum Keil beibehält (Abb. 7.55). a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Blocks und bestimmen Sie anhand dessen den Betrag der Beschleunigung ${\boldsymbol{a}}$.  b) Was geschähe, wenn der Keil stärker beschleunigt würde? Was geschähe, wenn er schwächer beschleunigt würde?

Abb. 7.55

Zu Aufgabe 7.33

7.34

•• Eine kleine Kugel mit der Masse $m_{1}$ bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ auf einer reibungsfreien horizontalen Tischplatte (Abb. 7.56). Über einen Faden, der durch ein Loch in der Tischplatte verläuft, ist sie mit einem Gewicht mit der Masse $m_{2}$ verbunden. Wie hängt $r$ von $m_{1}$ und $m_{2}$ sowie von der Zeit $T$ für einen Umlauf ab?

Abb. 7.56

Zu Aufgabe 7.34

7.35

•• Aus einer kreisförmigen Platte vom Radius $r$ ist ein kreisförmiges Loch vom Radius $r/2$ herausgeschnitten (Abb. 7.57). Ermitteln Sie den Massenmittelpunkt der Platte. Hinweis: Die gelochte Platte kann als zwei übereinandergelegte Scheiben modelliert werden, wobei das Loch als Scheibe mit negativer Masse betrachtet wird.

Abb. 7.57

Zu Aufgabe 7.35

7.36

••• Die Rolle in einer idealen Atwood’schen Fallmaschine wird mit einer Beschleunigung $\boldsymbol{a}$ nach oben beschleunigt (Abb. 7.58). Ermitteln Sie Ausdrücke für die Beschleunigungen der Gewichte und für die Zugkraft im Verbindungsseil. In dieser Situation sind die Geschwindigkeiten beider Blöcke nicht gleich.

Abb. 7.58

Zu Aufgabe 7.36