Weitere Anwendungen der Newton’schen Axiome

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die in Kap. 3 eingeführten Newton’schen Axiome auch auf Reibungskräfte und Planetenbewegungen anwenden. Es war ein großes Verdienst von Newton zu erkennen, dass die Gleichungen, die Bewegungen von Gegenständen auf der Erde beschreiben, auch für die Beschreibung der Planetenbewegungen und Vorgänge im Weltall allgemein gültig sein müssen. Außerdem werden wir uns mit sogenannten Scheinkräften befassen, die auftreten, wenn man die Bewegung eines Objekts in einem Inertialsystem von einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem aus betrachtet.

Die Haftreibung, die die Straße auf die Räder ausübt, verhindert, dass das Auto in der Kurve radial nach außen wegrutscht. (© supergenijalac/Getty Images/iStock.)

? Wie funktioniert das Antiblockiersystem (ABS)? (Siehe Beispiel 4.5.)

Appendices

Im Kontext: Bremsenquietschen und Erdbeben – Probleme von Reibungsinstabilitäten

Reibung ist ein Phänomen, das uns überall begegnet: egal ob wir „zu wenig“ Reibung haben, wenn die Autoreifen durchdrehen oder „zu viel“ Reibung, wenn wir eine Schraube nicht gelöst bekommen. Auch im industriellen Bereich gibt es unzählige Problemfelder, bei denen Reibungs- und Kontaktkräfte eine zentrale Rolle spielen: Lagerreibung, Schmierung, Verschleiß, Traktion und elektrische Schalter sind dabei einige Beispiele¹. Typische Arbeitsfelder sind hier die Untersuchung von Gummireibeigenschaften für Reifenhersteller, der Kontakt zwischen Eisenbahnrad und Schiene oder Schmier- und Verschleißanalysen von Getrieben.

Reibungsphysik hat noch einiges mehr zu bieten als das Coulomb’sche Reibungsgesetz, das besagt, dass die Reibungskraft sich immer proportional zur Normalkraft verhält, so z. B. Reibungsinstabilitäten wie das plötzliche Losbrechen bestehender Reibungsverbindungen.

Diese Instabilitäten haben ihren Ursprung in der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft: In Ruhe ist die Reibungskraft in der Regel größer als bei einer Relativbewegung der Kontaktkörper.

Messung des Reibungskoeffizienten zwischen Gesteinen bei verschiedenen Relativgeschwindigkeiten sowie Fit mithilfe eines geschwindigkeitsabhängigen Reibungsgesetzes. (© Birthe Grzemba)

Dadurch kann sich eine zyklische Bewegung einstellen, die Schwingungen am Bauteil oder in der Maschine auslöst. Genau das kann bei Bremsprozessen passieren, bei denen durch Reibungsinstabilitäten die Bremsscheiben zum Schwingen angeregt werden, was sich auch akustisch äußert: Die Bremsen quietschen. Wir am deutschlandweit einzigen Lehrstuhl für Reibungsprozesse an der TU Berlin arbeiten an einem Projekt, in dem durch eine Anregung des Bremskontakts mit Ultraschallschwingungen die Instabilität und damit das Quietschen verhindert werden sollen².

Solche Phänomene treten auch bei viel größeren Systemen auf: Erdbeben sind Ereignisse, die sehr plötzlich nach einer langen Ruhephase vermeintlich unvermittelt auftreten. Sie werden ausgelöst durch mechanische Spannungen, die sich zwischen den tektonischen Platten aufbauen und sich plötzlich und ruckartig durch Abgleiten lösen. Aus der Sicht eines Reibungsphysikers ist dieser Prozess eine Reibungsinstabilität, ein sogenannter Stick-Slip-Prozess, da er aus periodisch wechselnden Haft- und Gleitphasen besteht.

Um in Zukunft bessere Frühwarnsysteme für Erdbeben zu ermöglichen, forschen wir auch an der Vorhersagbarkeit von Reibungsinstabilitäten. Wir nutzen elementare Labormodelle, die sich sehr regulär verhalten und genau vermessen lassen, um daraus Methoden zu entwickeln, die den Zeitpunkt des Losbrechens der Instabilität vorhersagen können. Dabei interessiert uns im Besonderen der langsame Kriechprozess, der der Reibungsinstabilität vorausgeht und als Vorbote verwendet werden kann³. Wir hoffen, dass daraus in der Zukunft Methoden entwickelt werden können, die auch für die Anwendung auf größere, natürliche Systeme, wie Erdbeben oder Erdrutsche geeignet sind.

• 1. Popov, V. L., Kontaktmechanik und Reibung – von der Nanotribologie bis zur Erdbebendynamik, Springer, Heidelberg/New York, 2011

• 2. Teidelt, E., Starcevic J., Popov, V. L., „Influence of Ultrasonic Oscillation on Static and Sliding Friction“, Tribology Letters 48, Issue 1, October 2012, 51–62

• 3. B. Grzemba, Predictability of Elementary Models for Earthquake Dynamics, Dissertation, Epubli Verlag, zugl. Technische Universität Berlin, 2014, ISBN 978-3-7375-1855-0

Dr.-Ing. Birthe Grzemba studierte Physikalische Ingenieurwissenschaften in Berlin und Stockholm und promovierte 2014 mit Auszeichnung am Fachgebiet für Systemdynamik und Reibungsphysik der TU Berlin. Schwerpunkt ihrer Dissertation sind Reibungsinstabilitäten und ihre Vorhersagbarkeit. Seit ihrer Promotion arbeitet sie als technische Projektleiterin und CAE Ingenieurin.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Reibung	Zwei Körper, die in direktem Kontakt stehen, üben Reibungskräfte aufeinander aus. Diese Kräfte sind parallel zu den Kontaktflächen der Körper und wirken deren Gleiten oder Bestreben zu gleiten entgegen.
	Haftreibung	$|\boldsymbol{F}_{\mathrm{R,h}}|\leq\mu_{\mathrm{R,h}}\,|\boldsymbol{F}_{\mathrm{n}}|$,   (4.2) wobei $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{n}}|$ die Normalkraft und $\mu_{\mathrm{R,h}}$ der Haftreibungskoeffizient ist.
	Gleitreibung	$|\boldsymbol{F}_{\mathrm{R,g}}|=\mu_{\mathrm{R,g}}\,|\boldsymbol{F}_{\mathrm{n}}|$,   (4.3) wobei $\mu_{\mathrm{R,g}}$ der Gleitreibungskoeffizient ist. Der Gleitreibungskoeffizient ist etwas kleiner als der Haftreibungskoeffizient.
	Rollreibung	$|\boldsymbol{F}_{\mathrm{R,r}}|=\mu_{\mathrm{R,r}}\,|\boldsymbol{F}_{\mathrm{n}}|$,   (4.4) wobei $\mu_{\mathrm{R,r}}$ der Rollreibungskoeffizient ist. Rollreibungskoeffizienten sind in der Regel um ein bis zwei Größenordnungen kleiner als die Gleitreibungkoeffizienten vergleichbarer Materialkombinationen.
2.	Widerstandskräfte	Bewegt sich ein Körper durch ein Fluid, also durch eine Flüssigkeit oder ein Gas, erfährt er eine Widerstandskraft, die seiner Bewegung entgegenwirkt. Die Widerstandskraft steigt mit wachsender Geschwindigkeit. Wenn ein Körper aus der Ruhe fallen gelassen wird, wächst seine Geschwindigkeit. Dabei geht der Betrag der Widerstandskraft gegen den der Gravitationskraft, wobei die Gesamtkraft und damit auch die Beschleunigung null werden. Die dann erreichte konstante Geschwindigkeit wird Endgeschwindigkeit genannt. Sie hängt von der Gestalt des Körpers und von dem Medium, durch das er fällt, ab.
3.	Scheinkräfte	Trägheits- oder Scheinkräfte treten auf, wenn sich der Beobachter in einem beschleunigten System befindet. Ein Beispiel dafür ist ein rotierendes System.
	Coriolis-Kraft	Sie wird von einem Beobachter in einem rotierenden System wahrgenommen und hängt von der Winkelgeschwindigkeit der Rotation $\boldsymbol{\omega}$, der Geschwindigkeit des bewegten Körpers $\boldsymbol{v}^{\text{(B)}}$ und der Richtung ab, in die der Körper sich relativ zum Beobachter und zur rotierenden Scheibe bewegt. Ruht der Beobachter im rotierenden System, gilt: $F_{\text{Cor}}=-2m\cdot\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}^{\text{(B)}}=-2m\cdot|\omega|\cdot|v^{\text{(B)}}|\cdot\sin\phi$,   (4.12) wobei $\phi$ der Winkel zwischen $\boldsymbol{\omega}$ und $\boldsymbol{v}^{\text{(B)}}$ ist.
4.	Die Kepler’schen Gesetze	Die Kepler’schen Gesetze sind aus Beobachtungen abgeleitete empirische Aussagen. Sie lassen sich zudem auch aus den Newton’schen Bewegungsgesetzen und dem Newton’schen Gravitationsgesetz herleiten.
	1. Kepler’sches Gesetz	Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, wobei die Sonne in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse steht.
	2. Kepler’sches Gesetz (Flächensatz)	Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht in gleichen Zeitabständen jeweils die gleiche Fläche.
	3. Kepler’sches Gesetz	Das Quadrat der Umlaufzeiten eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz des mittleren Abstands dieses Planeten von der Sonne: $T^{2}=C\,r^{3}\,$.   (4.15) $C$ hat für alle Planeten nahezu denselben Wert. Aus dem Newton’schen Gravitationsgesetz lässt sich der Wert von $C$ herleiten: $C=4\uppi^{2}/(\varGamma(m_{\mathrm{S}}+m_{\mathrm{P}}))$. Ist die Sonnenmasse wesentlich größer als die Planetenmasse ($m_{\mathrm{S}}\gg m_{\mathrm{P}}$), lässt sich das dritte Kepler’sche Gesetz schreiben als $T^{2}=\frac{4\uppi^{2}}{\varGamma\,m_{\mathrm{S}}}\,r^{3}\,$.
5.	Das Newton’sche Gravitationsgesetz	Das Newton’sche Gravitationsgesetz ist ein grundlegendes Naturgesetz. Es besagt, dass jeder punktförmige Körper auf jeden anderen punktförmigen Körper eine anziehende Kraft ausübt, die proportional zu den Massen der beiden Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist: $\boldsymbol{F}=-\varGamma\,\frac{m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}\,$.   (4.18)
	Universelle Gravitationskonstante	Die im Newton’schen Gravitationsgesetz auftretende Gravitationskonstante $\varGamma$ ist eine grundlegende universelle physikalische Naturkonstante. Ihr Wert ist gegeben durch $\varGamma=6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}\,$.   (4.17)
6.	Das Gravitationsfeld	Das Gravitationsfeld ist ein grundlegendes physikalisches Konzept. Es beschreibt die Kraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}$, die eine Massenverteilung auf eine Probemasse $m$ an einem beliebigem Punkt im Raum ausübt: $\boldsymbol{G}=\frac{\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}}{m}$.   (4.30)
	Gravitationsfeld der Erde	$\boldsymbol{G}(r)=\frac{\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}}{m}=-\frac{\varGamma\,m_{\mathrm{E}}}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}\qquad\text{f{\"u}r}\qquad r\geq r_{\mathrm{E}}$   (4.34)
	Gravitationsfeld einer dünnen Kugelschale	Außerhalb der Kugelschale ist das Feld dasselbe, als wäre die Gesamtmasse der Kugelschale in ihrem Mittelpunkt konzentriert. Das Feld im Inneren der Kugelschale ist null: $\boldsymbol{G}=-\frac{\varGamma\,m_{\mathrm{K}}}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}\qquad\text{f{\"u}r}\qquad r> r_{\mathrm{K}}$,   (4.33a) $\boldsymbol{G}=0\qquad\text{f{\"u}r}\qquad r<r_{\mathrm{K}}$.   (4.33b)

Antworten auf die Kurzfragen

• 4.1 Ja, das Auto würde das Gefälle hinabgleiten.

• 4.2 Ein Astronaut in der Umlaufbahn heißt schwerelos, da er und das Raumschiff auf der Umlaufbahn im freien Fall sind und dieselbe Beschleunigung erfahren. Wenn der Astronaut auf einer Waage stünde, die an dem Raumschiff befestigt wäre, wäre die Anzeige null. Der Astronaut ist jedoch nicht gewichtslos, denn wir haben das Gewicht als Betrag der Gravitationskraft definiert.

• 4.3 Die Eigenschaft eines Körpers, die für die Gravitationskraft verantwortlich ist, die dieser Körper auf andere Körper ausübt oder durch einen anderen Körper erfährt, ist die schwere Masse. Die träge Masse hingegen ist die Eigenschaft eines Körpers, mit der man den trägen Widerstand gegen eine Beschleunigung beschreibt.

• 4.4 Auf der Erde sollte man einen Körper am Äquator tangential Richtung Osten starten lassen, da man so die Rotationsgeschwindigkeit der Erde von ca. 465 m$/$s in diese Richtung ausnutzen kann. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist im Perihel nach dem dritten Kepler’schen Gesetz am größten, d. h. um das Sonnensystem zu verlassen, startet man den Körper am besten parallel zu diesem Geschwindigkeitsvektor, der einen Betrag von ca. 29,8 km$/$s hat.

• 4.5 Der Abstand zwischen den Satelliten nimmt ab.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 4.1 $35^{\circ}$

• 4.2 $1{,}1\cdot 10^{2}\text{\,N}$

• 4.3 $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|=m_{2}\,(g-a)=\text{44\,N}$

• 4.4 30,1 AE

• 4.5 Es ist eine Gerade.

• 4.6 2640 km

• 4.7 $v_{\mathrm{F}}=\sqrt{2\,\varGamma\,m_{\mathrm{M}}/r_{\mathrm{M}}}=\mathrm{4{,}25\,km/s}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

4.1

• Auf der Ladefläche eines LKW, der auf einer geradlinigen, horizontalen Straße fährt, liegen verschiedene Gegenstände. Der LKW fährt an, und seine Beschleunigung nimmt allmählich zu. Welche Kraft wirkt auf die Gegenstände und führt dazu, dass sie ebenfalls beschleunigt werden? Erläutern Sie, weshalb einige Gegenstände auf der Ladefläche liegen bleiben können, während andere nach hinten rutschen.

4.2

• Ein Block mit der Masse $m$ liegt auf einer unter einem Winkel $\theta$ zur Horizontalen geneigten Ebene. Welche Aussage gilt dann für den Haftreibungskoeffizienten zwischen Block und Ebene? a) $\mu_{\mathrm{R,h}}\geq g$, b) $\mu_{\mathrm{R,h}}=\tan\theta$, c) $\mu_{\mathrm{R,h}}\leq\tan\theta$ oder d) $\mu_{\mathrm{R,h}}\geq\tan\theta$.

4.3

• Richtig oder falsch? a) Damit das zweite Kepler’sche Gesetz (in gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen) gilt, muss die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen einem gegebenen Planeten und der Sonne sein. b) Der der Sonne am nächsten gelegene Planet hat die kürzeste Umlaufdauer. c) Die Bahngeschwindigkeit der Venus ist größer als die Bahngeschwindigkeit der Erde. d) Aus der Umlaufdauer eines Planeten lässt sich die Planetenmasse genau bestimmen.

4.4

• Die Masse eines die Erde umkreisenden Satelliten wird verdoppelt, wobei der Radius seiner Umlaufbahn jedoch gleich bleiben soll. Muss sich dazu die Geschwindigkeit des Satelliten a) um den Faktor 8 erhöhen, b) um den Faktor 2 erhöhen, c) nicht verändern, d) um den Faktor 8 verringern oder e) um den Faktor 2 verringern?

4.5

• Zwei Sterne, die ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt umkreisen, werden als Doppelsternsystem bezeichnet. Was müsste mit ihrem Abstand geschehen, wenn die Masse jedes der beiden Planeten verdoppelt würde, aber dieselbe Gravitationskraft herrschen soll? Ihr Abstand müsste a) gleich bleiben, b) sich verdoppeln, c) sich vervierfachen, d) sich halbieren. e) Mit den Angaben ist eine Antwort nicht möglich.

4.6

•• An einem Wintertag mit Glatteis sei der Haftreibungskoeffizient zwischen Autoreifen und Fahrbahn nur ein Viertel so groß wie an einem Tag, an dem die Fahrbahn trocken ist. Dadurch verringert sich die Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm{max}}$, mit der ein Auto sicher durch eine Kurve mit dem Radius $r$ fahren kann, gegenüber dem Wert von $v_{\mathrm{max,tr}}$ bei trockener Fahrbahn. Die Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm{max}}$ ist dann: a) $v_{\mathrm{max,tr}}$, b) $0{,}71\,v_{\mathrm{max,tr}}$, c) $0{,}50\,v_{\mathrm{max,tr}}$, d) $0{,}25\,v_{\mathrm{max,tr}}$ oder e) je nach der Masse des Autos unterschiedlich stark verringert?

4.7

•• Das folgende interessante Experiment können Sie auch zu Hause ausführen: Legen Sie einen Holzklotz auf den Boden oder auf eine andere ebene Fläche, befestigen Sie ein Gummiband an ihm und ziehen Sie daran behutsam in horizontaler Richtung. Bewegen Sie die Hand dabei mit konstanter Geschwindigkeit. Zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnt sich der Klotz zu bewegen. Allerdings bewegt er sich nicht gleichmäßig, sondern beginnt sich zu bewegen, hält wieder an, beginnt sich erneut zu bewegen, hält wieder an usw. Erläutern Sie, weshalb sich der Klotz auf diese Weise bewegt. (Diese Art der Bewegung wird zuweilen „Ruckgleiten“ genannt.)

4.8

•• Jemand möchte einen Rekord für die Endgeschwindigkeit beim Fallschirmspringen aufstellen. Bei der Planung des Vorhabens informiert er sich zunächst über die physikalischen Grundlagen. Danach beschließt er Folgendes: Er will (ausgerüstet mit einem Sauerstoffgerät) an einem warmen Tag aus so großer Höhe wie möglich abspringen. Dabei will er eine Stellung einnehmen, in der sein gestreckter Körper mit den Händen voran senkrecht nach unten gerichtet ist. Außerdem will er einen glatten Spezialhelm und einen abgerundeten Schutzanzug tragen. Erläutern Sie, inwiefern die einzelnen Faktoren das Vorhaben unterstützen.

4.9

•• Stellen Sie sich vor, Sie sitzen als Beifahrer in einem Rennwagen, der mit hoher Geschwindigkeit auf einer kreisförmigen horizontalen Rennstrecke seine Runden dreht. Dabei „spüren“ Sie deutlich eine „Kraft“, die Sie zur Außenseite der Rennstrecke drückt. Welche Richtung hat die auf Sie wirkende Kraft tatsächlich? Woher kommt sie? (Es wird angenommen, dass Sie auf Ihrem Sitz nicht rutschen.) Erläutern Sie mithilfe der Newton’schen Axiome das Gefühl, dass auf Sie eine nach außen gerichtete Kraft wirkt.

4.10

•• Versetzen Sie sich in die 1960er Jahre, in denen die NASA die Apollo-Mission zum Mond plante. Man wusste schon lange, dass es einen bestimmten Punkt zwischen Erde und Mond gibt, an dem ein Raumschiff für einen sehr kurzen Moment wirklich schwerelos ist. (Betrachten Sie nur den Mond sowie die Erde und das Apollo-Raumschiff; vernachlässigen Sie alle anderen Gravitationskräfte.) Erläutern Sie dieses Phänomen und bestimmen Sie, ob dieser Punkt – der Librationspunkt – näher am Mond oder in der Mitte zwischen beiden Himmelskörpern oder näher an der Erde liegt.

4.11

•• Erläutern Sie, warum das Gravitationsfeld innerhalb einer massiven gleichförmigen Kugel direkt proportional zu $r$ und nicht umgekehrt proportional zu $r$ ist.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

4.12

• Schätzen Sie die Masse unserer Galaxis (der Milchstraße). Die Sonne umkreist das Zentrum der Galaxis mit einer Umlaufdauer von 250 Millionen Jahren in einer mittleren Entfernung von 30 000 Lichtjahren. Drücken Sie die Masse der Galaxis in Vielfachen der Sonnenmasse $m_{\mathrm{S}}$ aus. (Vernachlässigen Sie die Massen, die vom Zentrum der Galaxis weiter entfernt sind als die Sonne; nehmen Sie außerdem an, dass die näher am Zentrum befindlichen Massen der Galaxis ihre Gravitationskraft so ausüben, als wären sie im Zentrum in einem Punktteilchen vereinigt.)

4.13

•• Bestimmen Sie mithilfe einer Dimensionsanalyse die Einheiten und die Dimensionen der Konstanten $b$ in der Gleichung $F_{\mathrm{W}}=b\,|v|^{n}$ für die Widerstandskraft für a) $n=1$ und b) $n=2$.  c) Newton zeigte, dass der Luftwiderstand eines fallenden Körpers mit einer kreisförmigen Querschnittsfläche (Fläche quer zur Bewegungsrichtung) näherungsweise durch $F_{\mathrm{W}}=\frac{1}{2}\,\rho\,\pi\,r^{2}\,v^{2}$ gegeben ist, wobei die Luftdichte $\rho$ etwa $\mathrm{1{,}20\,kg/m^{3}}$ beträgt. Zeigen Sie, dass dies mit der Dimensionsbetrachtung in Teilaufgabe b in Einklang steht. d) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit (vor dem Öffnen des Schirms) eines Fallschirmspringers mit einer Masse von 56,0 kg? Nehmen Sie dabei seine Querschnittsfläche näherungsweise als Kreisfläche mit einem Radius von ca. 0,30 m an. Die Luftdichte in der Nähe der Erdoberfläche sei $\mathrm{1{,}20\,kg/m^{3}}$. e) Die Luftdichte nimmt mit steigender Höhe über der Erdoberfläche ab; in 8,0 km Höhe beträgt sie nur noch $\mathrm{0{,}514\,kg/m^{3}}$. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit in dieser Höhe?

4.14

•• Schätzen Sie, in welchem Winkel man die Beine ohne Kraftaufwand und ohne in den Spagat zu rutschen, auf einer trockenen Eisfläche spreizen kann. Der Haftreibungskoeffizient von Gummi auf Eis beträgt ungefähr 0,25.

1.3 Reibung

4.15

• Ein Holzklotz wird mit konstanter Geschwindigkeit an einem horizontalen Seil über eine horizontale Fläche gezogen. Dabei wird eine Kraft von 20 N ausgeübt. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen den Oberflächen beträgt 0,3. Ist die Reibungskraft a) ohne Kenntnis der Masse des Klotzes nicht zu bestimmen, b) ohne Kenntnis der Geschwindigkeit des Klotzes nicht zu bestimmen, c) 0,30 N, d) 6,0 N oder e) 20 N?

4.16

• Ein Block mit einem Gewicht von 20 N ruht auf einer horizontalen Oberfläche. Der Haftreibungskoeffizient ist $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}80$, während der Gleitreibungskoeffizient $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}60$ ist. Nun wird am Block ein horizontaler Faden befestigt und daran mit einer konstanten Zugkraft $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|$ gezogen. Welchen Betrag hat die auf den Block wirkende Reibungskraft  a) bei $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|=\mathrm{15\,N}$  bzw.  b) bei $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|=\mathrm{20\,N}$?

4.17

• Eine Kiste mit einer Masse von 100 kg steht auf einem dicken Florteppich. Ein Arbeiter beginnt, mit einer horizontalen Kraft von 500 N dagegenzudrücken. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Kiste und Teppich beträgt 0,600, während der Gleitreibungskoeffizient 0,400 beträgt. Berechnen Sie den Betrag der Reibungskraft, die der Teppich auf die Kiste ausübt.

4.18

• Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Reifen eines Autos und einer horizontalen Straße beträgt 0,60. Der Luftwiderstand und die Rollreibung sollen vernachlässigbar sein. a) Wie hoch ist die maximal mögliche (negative) Beschleunigung, wenn das Auto bremst? b) Wie groß ist der Bremsweg des Autos mindestens, wenn es anfangs mit 30 m$/$s fährt?

4.19

•• Ein schon mit verschiedenen Dingen vollbepackter Student versucht noch, ein dickes Physikbuch unter seinem Arm geklemmt zu halten (Abb. 4.45). Die Masse des Buchs beträgt 3,2 kg, der Haftreibungskoeffizient zwischen Buch und Arm 0,320 und der zwischen Buch und T-Shirt 0,160. a) Welche horizontale Kraft muss der Student mindestens aufbringen, um zu verhindern, dass das Buch herunterfällt? b) Der Student kann nur eine Kraft von 61 N aufbringen. Wie groß ist in diesem Fall die Beschleunigung des Physikbuchs, während es unter dem Arm wegrutscht? Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Buch und Arm beträgt 0,200 und der zwischen Buch und T-Shirt 0,090.

Abb. 4.45

Zu Aufgabe 4.19

4.20

•• An einem Tag, an dem bei Temperaturen um den Gefrierpunkt Schnee fällt, findet ein Autorennen statt. Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Autoreifen und der vereisten Straße beträgt 0,080. Der Rennleiter hat Bedenken wegen einiger Hügel auf der Bahn und empfiehlt, Reifen mit Spikes zu verwenden. Um die Sache genauer zu betrachten, möchte er prüfen, welche der tatsächlich auf der Bahn vorkommenden Neigungswinkel ein Rennwagen schaffen kann. a) Welche maximale Steigung kann ein Auto mit Allradantrieb unter diesen Bedingungen mit konstanter Geschwindigkeit hinauffahren? b) Wie groß ist der steilste Neigungswinkel, den dieses Auto mit konstanter Geschwindigkeit hinabfahren kann, wenn die Strecke vereist ist?

4.21

•• Eine 50-kg-Kiste, die auf ebenem Boden liegt, soll verschoben werden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Kiste und dem Boden beträgt 0,60. Eine Möglichkeit, die Kiste zu verschieben, besteht darin, unter dem Winkel $\theta$ zur Horizontalen schräg nach unten auf die Kiste zu drücken. Eine andere Möglichkeit ist die, unter dem gleichen Winkel $\theta$ zur Horizontalen schräg nach oben an der Kiste zu ziehen. a) Erklären Sie, weshalb eines der Verfahren weniger Kraft erfordert als das andere. b) Berechnen Sie die Kraft, die bei dem jeweiligen Verfahren mindestens aufgewendet werden muss, um den Block zu verschieben. Dabei sei $\theta=30{{}^{\circ}}$. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen, die Sie in beiden Fällen für $\theta=0{{}^{\circ}}$ erhalten.

4.22

•• Das Gewicht eines Autos mit Hinterradantrieb laste zu 40 % auf seinen beiden angetriebenen Rädern. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,70. a) Ermitteln Sie die maximal mögliche Beschleunigung des Autos. b) In welcher kürzestmöglichen Zeit kann das Auto eine Geschwindigkeit von 100 km$/$h erreichen? (Nehmen Sie an, dass der Motor eine beliebig hohe Leistung abgeben kann.)

4.23

•• Eine Schildkröte mit einer Masse von 12 kg liegt im LKW einer Zoohandlung auf der Ladefläche. Der LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km$/$h auf einer Landstraße. Als der Zoohändler auf der Straße ein Reh erblickt, bremst er und hält nach gleichförmiger Verzögerung innerhalb von 12 s an. Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient zwischen der Schildkröte und der LKW-Ladefläche mindestens sein, damit das Tier nicht zu rutschen beginnt?

4.24

•• Ein Auto fährt mit 30 m$/$s eine im Winkel von 15${{}^{\circ}}$ geneigte, geradlinige Straße hinauf. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,70. a) Wie lang ist der Bremsweg mindestens? b) Wie lang wäre er mindestens, wenn das Auto bergab fahren würde?

4.25

•• Zwei durch ein Seil miteinander verbundene Blöcke (Abb. 4.46) gleiten eine um 10${}^{\circ}$ geneigte Ebene hinab. Der Block 1 hat die Masse $m_{1}=\text{0,80\,kg}$ und der Block 2 die Masse $m_{2}=\mathrm{0{,}25\,kg}$. Außerdem betragen die Gleitreibungskoeffizienten zwischen den Blöcken und der geneigten Ebene 0,30 beim Block 1 und 0,20 beim Block 2. Ermitteln Sie den Betrag a) der Beschleunigung der Blöcke und b) der Zugkraft im Seil.

Abb. 4.46

Zu den Aufgaben 4.25 und 4.26

4.26

•• Zwei miteinander verbundene Blöcke mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$, die durch einen masselosen Stab verbunden sind, gleiten eine geneigte Ebene hinab (vgl. die Abbildung zu Aufgabe 4.25). Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Oberfläche ist beim Block 1 $\mu_{\mathrm{R,g,1}}$ und beim Block 2 $\mu_{\mathrm{R,g,2}}$. a) Bestimmen Sie die Beschleunigung der beiden Blöcke. b) Ermitteln Sie die Kräfte, die der Stab auf die beiden Blöcke ausübt. Zeigen Sie, dass diese Kräfte bei $\mu_{\mathrm{R,g,1}}=\mu_{\mathrm{R,g,2}}$ beide gleich null sind, und geben Sie eine einfache, nichtmathematische Begründung hierfür.

4.27

•• Der Haftreibungskoeffizient zwischen einem Gummireifen und dem Straßenbelag sei 0,85. Welche maximale Beschleunigung kann ein allradangetriebenes Auto mit einer Masse von 1000 kg maximal erreichen, wenn es eine Steigung mit einem Winkel von 12${{}^{\circ}}$  a) hinauffährt bzw. b) hinabfährt?

4.28

••• Ein Block mit einer Masse von 10,0 kg liegt, wie Abb. 4.47 gezeigt, auf einem Winkelträger mit einer Masse von 5,0 kg. Der Winkelträger liegt auf einer reibungsfreien Fläche. Die Reibungskoeffizienten zwischen Block und Winkelträger sind $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$ bzw. $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}30$. a) Wie hoch ist die maximale Kraft $|\boldsymbol{F}|$, die auf den Block ausgeübt werden kann, damit er nicht auf dem Winkelträger gleitet? b) Wie hoch ist die ihr entsprechende Beschleunigung des Winkelträgers?

Abb. 4.47

Zu Aufgabe 4.28

4.29

••• Ein Block mit der Masse 100 kg auf einer Rampe ist, wie Abb. 4.48 gezeigt, über ein Seil mit einem Gewicht der Masse $m$ verbunden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Block und Rampe beträgt $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$, während der Gleitreibungskoeffizient $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}20$ beträgt. Die Rampe hat gegen die Horizontale den Neigungswinkel 18${{}^{\circ}}$.  a) Ermitteln Sie den Wertebereich für die Masse $m$, bei dem sich der Block auf der Rampe nicht von selbst bewegt, jedoch nach einem leichten Stoß längs der Rampe nach unten gleitet. b) Ermitteln Sie den Wertebereich für die Masse $m$, bei dem sich der Block auf der Rampe nicht von selbst bewegt, jedoch nach einem leichten Stoß längs der Rampe nach oben gleitet.

Abb. 4.48

Zu Aufgabe 4.29

4.30

••• Ein Block mit einer Masse von 0,50 kg liegt auf der schrägen Seite eines Keils mit einer Masse von 2,0 kg (Abb. 4.49). Der Keil gleitet auf einer reibungsfreien Oberfläche, wobei auf ihn eine horizontale Kraft $\boldsymbol{F}$ wirkt. a) Der Haftreibungskoeffizient zwischen Keil und Block ist $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}80$, und der Neigungswinkel gegen die Horizontale beträgt 35${{}^{\circ}}$. Zwischen welchem Mindest- und welchem Höchstwert muss die ausgeübte Kraft liegen, wenn der Block nicht rutschen soll? b) Wiederholen Sie die Teilaufgabe a mit $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$.

Abb. 4.49

Zu Aufgabe 4.30

4.31

••• Um den Gleitreibungskoeffizienten eines Holzklotzes auf einem horizontalen Holztisch zu bestimmen, werden Ihnen folgende Anweisungen erteilt: Verleihen Sie durch kurzes Anstoßen dem Holzklotz eine Anfangsgeschwindigkeit relativ zur Oberfläche des Tischs. Messen Sie mit einer Stoppuhr die Zeitspanne $\Updelta t$, die er gleitet, bis er zur Ruhe kommt, sowie die Gesamtverschiebung $\Updelta x$, die er zurücklegt. a) Zeigen Sie mithilfe der Newton’schen Axiome und eines Kräftediagramms für den Klotz, dass der Gleitreibungskoeffizient durch $\mu_{\mathrm{R,g}}=(2\,\Updelta x)/[(\Updelta t)^{2}\,g]$ gegeben ist. b) Ermitteln Sie $\mu_{\mathrm{R,g}}$, wenn der Klotz bis zum Anhalten innerhalb von 0,97 s die Strecke 1,37 m zurückgelegt hat. c) Wie groß war die Anfangsgeschwindigkeit des Klotzes?

1.4 Widerstandskräfte

4.32

• Ein Schadstoffpartikel fällt bei Windstille mit einer Endgeschwindigkeit von 0,30 mm$/$s zu Boden. Die Masse des Partikels beträgt $\mathrm{1{,}0\cdot 10^{-10}}$ g, und die Gleichung für die auf das Partikel einwirkende Luftwiderstandskraft habe die Form $b\,v$. Wie groß ist $b$?

4.33

• Ein Tischtennisball hat eine Masse von 2,3 g und in Luft eine Endgeschwindigkeit von 9,0 m$/$s. Die Gleichung für die auf Luftwiderstandskraft habe die Form $b\,v^{2}$. Welchen Wert hat $b$?

4.34

••• Kleine kugelförmige Teilchen erfahren bei langsamer Bewegung in einem Fluid eine Widerstandskraft, die durch das Stokes’sche Gesetz $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{W}}|=6\,\pi\,\eta\,r\,v$ gegeben ist. Dabei ist $r$ der Radius des Teilchens, $v$ seine Geschwindigkeit und $\eta$ die Viskosität des fluiden Mediums. a) Schätzen Sie in Luft (Viskosität $\eta=1{,}80\cdot 10^{-5}\,\mathrm{N\,s/m^{2}}$) die Endgeschwindigkeit eines kugelförmigen Schadstoffteilchens mit dem Radius $1{,}00\cdot 10^{-5}$ m und der Dichte 2000 kg$/$m${}^{3}$. b) Schätzen Sie, wie lange ein solches Teilchen braucht, um bei Windstille 100 m weit zu fallen.

4.35

••• Bei einem Praktikum in Umweltchemie erhält ein Student eine Luftprobe mit Schadstoffpartikeln, die die gleiche Größe und Dichte wie in Aufgabe 4.34 haben. Die Probe wird in einem 8,0 cm langen Reagenzglas aufgefangen. Der Student setzt das Reagenzglas in eine Zentrifuge ein, wobei die Mitte des Reagenzglases 12 cm von der Drehachse entfernt ist. Dann stellt er die Zentrifuge auf eine Drehzahl von 800 Umdrehungen pro Minute ein. a) Schätzen Sie, nach welcher Zeitspanne sich nahezu alle Schadstoffpartikel am Ende des Reagenzglases abgesetzt haben. b) Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Zeit, die es dauert, bis ein Schadstoffpartikel in ruhender Luft unter dem Einfluss der Schwerkraft und der in Aufgabe 4.34 gegebenen Widerstandskraft 8,0 cm weit fällt.

1.5 Die Kepler’schen Gesetze

4.36

• Der Radius der Erdbahn beträgt $1{,}496\cdot 10^{11}\text{\leavevmode\nobreak\ m}$ und der Radius der Uranusbahn $2{,}87\cdot 10^{12}\text{\leavevmode\nobreak\ m}$. Welche Umlaufdauer hat der Planet Uranus?

4.37

•• Im Apogäum, dem erdfernsten Punkt seiner Bahn, ist der Mittelpunkt des Monds 406 395 km vom Mittelpunkt der Erde entfernt, und im Perigäum, dem erdnächsten Punkt, beträgt der Abstand 357 643 km. Welche Bahngeschwindigkeit hat der Mond im Perigäum und welche im Apogäum? Seine Umlaufdauer um die Erde beträgt 27,3 d.

1.6 Das Newton’sche Gravitationsgesetz

4.38

• Die internationale Raumstation ISS umkreist die Erde in einer Höhe von etwa 400 km über der Erdoberfläche. Wie groß ist die Fallbeschleunigung dort?

4.39

• Zeigen Sie, dass die Gravitationskraft, mit der ein Mann von 65 kg eine Frau von 50 kg anzieht, wenn sie 0,5 m voneinander entfernt sind, gerade $8{,}67\cdot 10^{-7}$ N beträgt. (Betrachten Sie beide Personen für diese Rechnung als punktförmig.)

4.40

• Die Saturnmasse beträgt $5{,}69\cdot 10^{26}\,\mathrm{kg}$. a) Berechnen Sie die Umlaufdauer des Saturnmonds Mimas, dessen mittlerer Bahnradius $1{,}86\cdot 10^{8}$ m beträgt. b) Berechnen Sie den mittleren Bahnradius des Saturnmonds Titan, der den Saturn in $1{,}38\cdot 10^{6}$ s einmal umrundet.

4.41

•• Sie haben ein supraleitendes Gravimeter, das Änderungen des Gravitationsfelds mit einer Empfindlichkeit $\Updelta G/G=1{,}00\cdot 10^{-11}$ bestimmen kann. a) Sie verstecken sich mit dem Gerät hinter einem Baum, während Ihr 80 kg schwerer Freund von der anderen Seite auf Sie zu kommt. Wie nahe kann Ihr Freund an Sie herankommen, bevor das Messgerät eine Änderung von $G$ infolge seiner Anwesenheit feststellt? b) Sie fahren in einem Heißluftballon und verwenden das Gerät, um Ihre Steiggeschwindigkeit zu messen (nehmen Sie an, dass der Ballon eine konstante Beschleunigung nach oben erfährt). Welches ist die kleinste Höhenänderung, die Sie mit Ihrem Gerät im Gravitationsfeld der Erde bestimmen können?

4.42

•• Der Erdradius beträgt 6370 km und der Mondradius 1738 km. Die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche beträgt 1,62 m$/$s${}^{2}$. In welchem Verhältnis steht die mittlere Monddichte zur mittleren Dichte der Erde?

1.7 Schwere Masse und träge Masse

4.43

• Bei einem Probekörper, dessen Masse exakt 1,00 kg beträgt, wird ein Gewicht von 9,81 N gemessen. Am selben Ort hat ein zweiter Körper mit unbekannter Masse ein Gewicht von 56,6 N.  a) Welche Masse hat der zweite Körper? b) Haben Sie in Teilaufgabe a die schwere oder die träge Masse bestimmt?

1.8 Das Gravitationsfeld

4.44

• Das Gravitationsfeld in einem bestimmten Punkt ist gegeben durch $\boldsymbol{G}=2{,}5\cdot 10^{-6}\,\boldsymbol{\widehat{y}}\,\mathrm{N/kg}$. Welche Gravitationskraft wirkt hier auf eine Masse von 0,0040 kg?

4.45

• Eine gleichförmige dünne Kugelschale hat den Radius 2,0 m und die Masse 300 kg. Wie stark ist das Gravitationsfeld in folgenden Abständen vom Mittelpunkt der Kugelschale: a) 0,50 m, b) 1,9 m, c) 2,5 m?

4.46

•• Zeigen Sie, dass bei dem Feld in Abb. 4.50 die Feldkomponente $G_{x}$ ihren maximalen Betrag in den Punkten $x=\pm a\,\sqrt{2}$ annimmt.

Abb. 4.50

Zur Aufgabe 4.46

4.47

•• Zwei konzentrische, gleichförmige dünne Kugelschalen haben die Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ sowie die Radien $a$ bzw. $2\,a$ (Abb. 4.51). Welchen Betrag hat die Gravitationskraft auf ein punktförmiges Teilchen der Masse $m$, das sich im Abstand  a) $3\,a$,  b) $1{,}9\,a$  bzw.  c) $0{,}9\,a$  vom Mittelpunkt der Kugelschalen befindet?

Abb. 4.51

Zu den Aufgaben 4.47 und 4.48

4.48

•• Die innere Kugelschale aus Aufgabe 4.47 wird so verschoben, dass sich ihr Mittelpunkt auf der $x$-Achse bei $x=0{,}8\,a$ befindet. Welchen Betrag hat die Gravitationskraft auf eine Punktmasse $m$, die sich auf der $x$-Achse bei a) $x=3\,a$, b) $x=1{,}9\,a$ bzw. c) $x=0{,}9\,a$ befindet?

4.49

•• Sie stehen auf einer Federwaage in einem Aufzug, der mit konstanter Geschwindigkeit im senkrechten, sehr tiefen Schacht einer Mine am Äquator hinabfährt. Fassen Sie die Erde als homogene Kugel auf. a) Zeigen Sie, dass die Kraft, die allein aufgrund der Gravitation der Erde auf Sie wirkt, proportional zur Ihrem Abstand vom Erdmittelpunkt ist. b) Wiederholen Sie die Aufgabe unter Berücksichtigung der Rotation der Erde. Zeigen Sie, dass die Anzeige auf der Federwage proportional zu Ihrem Abstand vom Erdmittelpunkt ist.

4.50

•• Ein Sternhaufen ist eine etwa kugelförmige Ansammlung von bis zu mehreren Millionen Sternen, die durch ihre gegenseitige Gravitation zusammengehalten werden. Die Astronomen können die Geschwindigkeiten der Sterne in solchen Haufen messen, um eine Vorstellung von der Massenverteilung im Haufen zu gewinnen. Nehmen Sie an, dass alle Sterne des Haufens dieselbe Masse haben und in ihm gleichmäßig verteilt sind. Zeigen Sie, dass die mittlere Geschwindigkeit eines Sterns auf einer kreisförmigen Bahn um den Mittelpunkt des Sternhaufens dabei linear mit seinem Abstand vom Mittelpunkt zunimmt.

4.51

•• Der Mittelpunkt einer gleichförmigen massiven Kugel mit dem Radius $r_{0}$ befindet sich im Ursprung. Die Kugel hat eine gleichförmige Dichte $\rho_{0}$, abgesehen von einem kugelförmigen Loch mit dem Radius $r=\frac{1}{2}\,r_{0}$, dessen Mittelpunkt auf der $x$-Achse bei $x=\frac{1}{2}\,r_{0}$ liegt (Abb. 4.52). Berechnen Sie das Gravitationsfeld an Punkten auf der $x$-Achse mit $|x|> r_{0}$. (Hinweis: Betrachten Sie das Loch als eine Kugel mit der Masse $m=\frac{4}{3}\,\uppi\,r^{3}\rho_{0}$ plus einer Kugel mit der „negativen“ Masse $-m$.)

Abb. 4.52

Zu Aufgabe 4.51

4.52

••• Die Dichte einer bestimmten Kugel ist durch $\rho(r)=C/r$ definiert. Die Kugel hat den Radius 5,0 m und die Masse $1{,}0\cdot 10^{11}$ kg.  a) Bestimmen Sie die Konstante $C$.  b) Stellen Sie Ausdrücke für die Gravitationsfelder in den Bereichen $r> \mathrm{5{,}0\,m}$ und $r<\mathrm{5{,}0\,m}$ auf.

4.53

••• In die Kugel aus Aufgabe 4.52 wird ein enges, 2,0 m tiefes Loch gebohrt, das zum Mittelpunkt der Kugel gerichtet ist. Sie lassen von der Oberfläche der Kugel aus ein kleines Teilchen mit der Masse $m$ in das Loch fallen. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der das Teilchen auf dem Boden des Lochs aufschlägt.

1.9 Allgemeine Aufgaben

4.54

• Berechnen Sie die Masse der Erde aus den bekannten Werten von $\varGamma$, $g$ und $r_{\mathrm{E}}$.

4.55

•• Ein Flugkörper mit der Masse 100 kg umrundet die Erde auf einer kreisförmigen Bahn in einer Höhe $h=2\,r_{\mathrm{E}}$. a) Welche Umlaufdauer hat der Flugkörper? b) Wie hoch ist seine kinetische Energie? c) Drücken Sie seinen Drehimpuls $L$ bezüglich des Erdmittelpunkts mithilfe seiner kinetischen Energie $E_{\mathrm{kin}}$ aus und berechnen Sie den Betrag von $L$.

4.56

•• Eine Münze mit dem Gewicht 100 g liegt auf einer horizontalen Drehscheibe, die sich mit genau 1,00 Umdrehungen pro Sekunde um ihre Achse dreht. Die Münze liegt 10 cm von der Drehachse entfernt. a) Wie groß ist die Reibungskraft, die auf die Münze wirkt? b) Wie groß ist der Haftreibungskoeffizient zwischen Münze und Drehscheibe, wenn die Münze bei einem Abstand von etwas über 16,0 cm von der Drehachse weggeschleudert wird?

4.57

•• Stellen Sie sich vor, Sie fahren mit dem Fahrrad auf einer horizontalen, ebenen Kreisbahn mit dem Radius 20 m. Die Gesamtkraft, die die Straße auf das Fahrrad ausübt und die sich aus Normalkraft und Reibungskraft zusammensetzt, bildet einen Winkel von 15${{}^{\circ}}$ gegen die Vertikale. a) Welchen Betrag hat Ihre Geschwindigkeit? b) Die Reibungskraft auf das Fahrrad sei halb so groß wie der maximal mögliche Wert. Wie groß ist dann der Haftreibungskoeffizient?

4.58

•• Eine Spedition soll eine Bücherkiste mithilfe einiger Bohlen, die den Neigungswinkel 30${{}^{\circ}}$ haben, auf einen LKW verladen. Die Masse der Kiste beträgt 100 kg und der Gleitreibungskoeffizient zwischen Kiste und Bohlen 0,500. Die Arbeiter drücken horizontal mit einer Kraft $\boldsymbol{F}$ gegen die Kiste. Wie groß muss $|\boldsymbol{F}|$ sein, damit die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit weitergeschoben wird, nachdem sie erst einmal in Bewegung versetzt wurde?

4.59

•• Sally behauptet, Flughörnchen würden gar nicht richtig fliegen; stattdessen würden sie nur springen und die Hautfalten, die ihre Vorder- und Hinterbeine verbinden, wie einen Fallschirm aufspannen, um von Ast zu Ast gleiten zu können. Liz glaubt dies nicht recht und möchte Sallys Behauptung nachprüfen. Dazu berechnet sie die Endgeschwindigkeit eines flach ausgestreckten fallenden Flughörnchens. Gehen Sie bei der Konstanten $b$ im Ausdruck $b\,v^{2}$ für die Luftwiderstandskraft vom Wert für einen Menschen ($b_{\mathrm{Mensch}}=\mathrm{0{,}251\,kg/m}$) aus und treffen Sie eine sinnvolle Annahme für die Größe des Flughörnchens, um dessen (nach unten gerichtete) Endgeschwindigkeit zu schätzen. Die Konstante $b$ sei proportional zur Querschittsfläche des Körpers, auf die der Luftwiderstand wirkt. Unterstützt das Ergebnis Sallys Behauptung?

4.60

•• Ein Neutronenstern ist der hochverdichtete Überrest eines schweren Sterns in der letzten Phase seiner Entwicklung. Er besteht aus Neutronen (daher der Name), denn seine Gravitationskraft ist so hoch, dass Elektronen und Protonen zu Neutronen „verschmolzen“ sind. Nehmen Sie hypothetisch an, unsere Sonne werde zum Ende ihrer Lebensdauer zu einem Neutronenstern mit 12,0 km Radius kollabieren, ohne bei dem Prozess Masse zu verlieren. (Dieser Prozess wird jedoch in der Realität nicht ablaufen, weil die Sonne dafür nicht genug Masse hat.) a) Berechnen Sie das Verhältnis der Fallbeschleunigung an der Oberfläche nach diesem Kollaps und dem Wert auf der heutigen Sonnenoberfläche. b) Berechnen Sie das Verhältnis der Fluchtgeschwindigkeiten dieser hypothetischen „Neutronensonne“ und der heutigen Sonne.

4.61

•• Ein Satellit umkreist den Mond, der den Radius 1700 km hat, unmittelbar über der Oberfläche mit der Geschwindigkeit $v$. Mit derselben Anfangsgeschwindigkeit $v$ wird von der Mondoberfläche ein Geschoss senkrecht nach oben abgeschossen. Welche Höhe erreicht es?

4.62

•• Uranus, der siebte Planet des Sonnensystems, wurde erst 1781 von dem deutschstämmigen britischen Astronomen William Herschel entdeckt. Die Werte seiner Umlaufbahn wurden mit denen gemäß den Kepler’schen Gesetzen verglichen. Zu Beginn der 1840er Jahre stellte sich heraus, dass die Umlaufbahn des Uranus so stark von den damaligen Berechnungen abweicht, dass sich die Fehler nicht durch die Beobachtungsunsicherheit erklären ließen. Man schloss daraus, dass außer dem Einfluss der Sonne und der innerhalb der Uranusbahn liegenden Planeten noch eine weitere Kraft auf den Uranus einwirken müsse. Diese Kraft, so nahm man an, müsste von einem (damals hypothetischen) achten Planeten herrühren. Dessen Umlaufbahn wurde im Jahre 1845 von dem englischen Astronomen John Couch Adams und dem französischen Mathematiker Urbain Le Verrier unabhängig voneinander berechnet. Im September 1846 suchte der deutsche Astronom Johann Gottfried Galle in dem von ihnen angegebenen Bereich und entdeckte den Planeten Neptun. Uranus und Neptun umrunden die Erde innerhalb von 84,0 bzw. 164,8 Erdenjahren. Geben Sie die Gravitationswirkung des Neptun auf Uranus an, d. h., bestimmen Sie das Verhältnis der Gravitationskraft zwischen Neptun und Uranus zu der zwischen Uranus und Sonne, und zwar für den Zeitpunkt der dichtesten Annäherung von Neptun und Uranus (d. h., wenn sie von der Sonne aus genau hintereinander liegen). Die Massen von Sonne, Uranus und Neptun sind 333 000 bzw. 14,5 bzw. 17,1 Erdmassen.

4.63

•• Eine dicke Kugelschale mit homogener Dichte hat die Masse $m_{K}$ und den Innenradius $r_{1}$ sowie den Außenradius $r_{2}$. Geben Sie das Gravitationsfeld $G$ der Kugelschale als Funktion von $r$ für $0<r<\infty$ an. Skizzieren Sie die Funktion $G(r)$.

4.64

••• Ein Bauingenieur soll einen Kurvenabschnitt einer Straße planen. Er erhält folgende Vorgaben: Bei vereister Straße, d. h. bei einem Haftreibungskoeffizienten von 0,080 zwischen Straße und Gummireifen, darf ein stehendes Auto nicht in den Straßengraben im Inneren der Kurve rutschen. Andererseits dürfen Autos, die mit bis zu 60 km$/$h fahren, nicht aus der Kurve heraus gleiten. Luftwiderstand und Rollreibung seien zu vernachlässigen. Welchen Radius muss die Kurve mindestens haben, und unter welchem Winkel muss sie überhöht sein?

4.65

••• Bei einer Attraktion in einem Freizeitpark stehen die Fahrgäste mit dem Rücken zur Wand in einer vertikalen Trommel, die sich dreht. Plötzlich wird der Boden abgesenkt, wobei die Reibung aber verhindert, dass die Fahrgäste hinabfallen. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm eines Fahrgasts. b) Bestimmen Sie anhand dieses Kräftediagramms sowie der Newton’schen Axiome die auf einen Fahrgast mit der Masse 75 kg wirkende Reibungskraft. c) Der Zylinder hat den Radius 4,0 m, und der Haftreibungskoeffizient zwischen Fahrgast und Wand beträgt 0,55. Mit wie vielen Umdrehungen pro Minute muss sich der Zylinder drehen, damit die Fahrgäste nicht herunterfallen? Fallen schwerere Fahrgäste bei geringerer Drehzahl herunter als leichtere?

4.66

••• Eine wichtige Frage in der frühen Planetologie war die, ob die einzelnen Ringe um den Saturn massiv sind oder aus vielen kleinen Teilen bestehen, die sich jeweils auf ihrer eigenen Umlaufbahn bewegen. Man kann dies entscheiden, indem man die Geschwindigkeiten des innersten und des äußersten Teilrings misst. Ist der innerste Teilring langsamer als der äußerste, dann ist der Ring massiv; trifft das Gegenteil zu, dann besteht er aus vielen Einzelteilen. Wir wollen hier untersuchen, warum das so ist. Die radiale Breite eines bestimmten der (zahlreichen) Ringe ist $\Updelta r$, sein mittlerer Abstand vom Mittelpunkt des Saturn ist $r_{\mathrm{R}}$, und seine mittlere Geschwindigkeit ist $v_{\mathrm{m}}$.  a) Zeigen Sie, dass bei einem massiven Ring die Geschwindigkeitsdifferenz $\Updelta v$ zwischen seinem äußersten und seinem innersten Teil durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\Updelta v=v_{\mathrm{a}}-v_{\mathrm{i}}=v_{\mathrm{m}}\,\Updelta r/r_{\mathrm{R}}\end{aligned}$$

gegeben ist. Dabei ist $v_{\mathrm{a}}$ die Geschwindigkeit des äußersten und $v_{\mathrm{i}}$ die Geschwindigkeit des innersten Ringteils. b) Angenommen, der Ring besteht aus vielen kleinen Einzelteilen; zeigen Sie, dass dann bei $\Updelta r\ll r_{\mathrm{R}}$ gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\Updelta v\approx-\tfrac{1}{2}\,v_{\mathrm{m}}\,\Updelta r/r_{\mathrm{R}}\,.\end{aligned}$$

4.67

•• Viele Kommunikationssatelliten befinden sich in der geostationären Umlaufbahn. Sie ist so gewählt, dass die Umlaufzeit gerade 24 h beträgt und der Satellit so von der Erdoberfläche aus gesehen an einer festen Position am Himmel steht. a) Berechnen Sie, ausgehend von der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche von $9{,}81\text{ m}/\text{s}^{2}$ und dem Erdradius von 6370 km, den Abstand der geostationären Umlaufbahn vom Erdmittelpunkt. b) Wie müsste eine „geostationäre“ Umlaufbahn um den Erdmond beschaffen sein? Der Mondradius beträgt ca. 1738 km, die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche ist $1{,}62\,\mathrm{m/s}^{2}$. c) Begründen Sie, weshalb ein solcher mondstationärer Orbit in der Realität nicht umsetzbar ist.