Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Zusammenfassung

In Kap. 32 haben wir festgestellt, dass Elektronen und andere Teilchen Welleneigenschaften haben und daher durch eine Wellenfunktion ${\varPsi}(x,t)$ beschrieben werden können. Wir haben die Schrödinger-Gleichung als die Gleichung kennen gelernt, die diese Wellenfunktionen erfüllen. Nun wollen wir uns mit einigen Anwendungsbeispielen dieser Gleichung und den sich daraus ergebenden Lösungen beschäftigen. Dabei werden wir feststellen, dass die in Kap. 12 behandelten stehenden Wellen eine große Rolle spielen.

Mit dem Rastertunnelelektronenmikroskop können einzelne Atome auf einer Oberfläche bewegt und abgebildet werden. Besonders faszinierend sind Bilder von Quantenkäfigen, also kreisförmigen oder elliptischen Anordnungen an der Oberfläche. In ihnen können die Wellen sichtbar gemacht werden, die den Elektronen nahe der Substratoberfläche entsprechen. Dieses Bild, entstanden in den Forschungslabors der IBM, zeigt 36 Kobaltatome, die auf einer Kupferoberfläche elliptisch angeordnet sind. Ein weiteres Kobaltatom wurde an einem Brennpunkt der Ellipse platziert und verursacht Wechselwirkungen mit den Elektronenwellen an der Oberfläche. Die Wellen scheinen auch mit einem „virtuellen“ Kobaltatom am anderen Brennpunkt wechselzuwirken, das sich dort jedoch gar nicht befindet. (© IBM Corporation.)

? Könnte das nicht vorhandene Kobaltatom durch Reflexionen von Wellen an der Käfigwand der Kobaltatome vorgetäuscht werden? (Siehe Abschn. 33.4.)

Appendices

Im Kontext: Spinnetzwerke und -schäume: Auf der Suche nach einer Quantisierung der Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt die gravitative Wechselwirkung durch die Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit: Massen krümmen Zeit und Raum, und diese Krümmung beeinflusst wiederum die Bahn von Teilchen bzw. die Ausbreitung von Feldern.

Dabei ist die ART immer noch eine „klassische“ Theorie, d. h., sie berücksichtigt keinerlei Quanteneffekte. Genau wie die anderen drei Grundkräfte müsste die Gravitation allerdings – allein schon aus Gründen der Konsistenz – auch den Regeln der Quantenphysik gehorchen. Seit vielen Jahren sind Physiker daher auf der Suche nach einer Quantentheorie der gravitativen Wechselwirkung, die die ART als klassischen Grenzfall enthält.

(© Benjamin Bahr, Wikimedia Commons, Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication)

Die Gravitation unterscheidet sich dabei in einem Punkt radikal von den anderen drei Wechselwirkungen: Anders als diese wird sie nicht durch ein Feld beschrieben, das auf einer Raumzeit mit festgelegter Geometrie propagiert, sondern durch die Geometrie der Raumzeit selbst, repräsentiert durch die Lorentz’sche Metrik $g_{\mu\nu}$. Die ART ist daher „hintergrundunabhängig“, was sich auch im Prinzip der allgemeinen Kovarianz widerspiegelt.

(© Benjamin Bahr, Wikimedia Commons, Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication)

Seit dem Ende des 20. Jahrhunderts wird fieberhaft daran geforscht, das Konzept der Hintergrundunabhängigkeit mit den fundamentalen Prinzipien der Quantentheorie zu vereinen. Eine vielversprechende Kandidatin hierfür ist die Schleifenquantengravitation (loop quantum gravity, LQG). Der dreidimensionale Raum ist der LQG zufolge kein Kontinuum aus Punkten, sondern ein sogenanntes Spinnetzwerk. Die Knoten dieses Netzwerks sind demzufolge „gequantelter Raum“, und die Verbindungen geben an, welche Raumbereiche benachbart sind und welche nicht. Ein Spinnetzwerk enthält zusätzliche Quantenzahlen (ähnlich wie die Wellenfunktion des Elektrons im Wasserstoffatom), aus der man geometrische Größen wie Volumina und Flächen ablesen kann. Interessanterweise ist diese Geometrie notwendigerweise gequantelt, d. h., es gibt z. B. einen kleinsten nichtverschwindenden Flächeninhalt (von ungefähr einer Planckfläche, also $l_{\mathrm{p}}^{2}=2{,}6\cdot 10^{-70}\,\text{m}^{2}$).

Die zeitliche Entwicklung – und damit die Dynamik – eines Spinnetzwerks beschreibt einen sogenannten Spinschaum (spin foam), der seinen Namen aus der Ähnlichkeit mit einer Ansammlung unzähliger kleiner Seifenhäute bezieht.

Eines der drängenden Probleme, mit denen sich unsere Arbeitsgruppe am II. Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg beschäftigt, ist die Renormierung der LQG. Dabei geht es um die Frage, wie man die Dynamik eines Spinnetzwerks beschreiben kann, das über extrem viele Knoten verfügt. Damit verbunden ist die folgende Frage: Verhält sich die LQG im klassischen Grenzfall wie die ART? Aus zahlreichen Beispielen weiß man, dass sich Systeme mit extrem vielen einfachen Freiheitsgraden oft sehr komplex verhalten: So ordnen sich $10^{23}$ Atome – in Abhängigkeit von äußeren Parametern wie Druck und Temperatur – entweder als Flüssigkeit oder als Festkörper an. Genauso können sich Spinnetzwerke auf großen Skalen entweder wie vierdimensionale, glatte Raumzeiten verhalten oder aber völlig ungeometrisch. Es ist daher wichtig sicherzustellen, dass sie sich aufgrund der Dynamik bevorzugt in „geometrischen Phasen“ anordnen. Nur so ist die Verbindung zur ART gewährleistet.

Es gibt verschiedene Hinweise, auch aus verwandten Ansätzen zur Quantengravitation, dass das Verhalten der Spinschäume deutlich komplizierter ist als ursprünglich angenommen. So konnte man mithilfe von kausalen dynamischen Triangulierungen zeigen, dass die Dimension der vom Spinschaum beschriebenen Raumzeit von der Skala abhängt: Auf kleinen Abständen (in der Größenordnung einiger Plancklängen) faltet sich der Spinschaum so, dass es effektiv nur eine Raum- und eine Zeitdimension gibt. Erst über größere Abstände gemittelt sieht ein Spinschaum überhaupt vierdimensional aus. Was die Ursache dieses Phänomens der dimensionalen Reduktion ist, ist – wie auch viele andere Aspekte der LQG – noch nicht verstanden.

• 1. Perez, A., „Introduction to Loop Quantum Gravity and Spin Foams“, http://arxiv.org/abs/grqc/0409061 (Stand: Juni 2013).

• 2. Rovelli, C., Quantum Gravity (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

• 3. Thiemann, T., Modern Canonical Quantum General Relativity (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge, 2008.

Dr. Benjamin Bahr wurde 1980 in Eckernförde geboren und hat sich schon früh für die Grundlagen der Physik interessiert. Er studierte Physik in Kaiserslautern, Göttingen sowie Cambridge und schloss seine Doktorarbeit am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in der Schleifenquantengravitation ab. Er war Research Fellow am Peterhouse College der Universität Cambridge und leitet zur Zeit eine Emmy-Noether-Nachwuchsforschungsgruppe am II. Institut für Theoretische Physik an der Universität Hamburg.

(© Benjamin Bahr, Wikimedia Commons, Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication)

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Erlaubte Lösungen der Schrödinger-Gleichung	Eine erlaubte Wellenfunktion $\psi(x)$ muss die Schrödinger-Gleichung erfüllen, außerdem stetig sein und eine stetige erste Ableitung ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}\psi/{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x$ haben. (Eine Ausnahme liegt bei unendlich hohen Potenzialwänden vor, wobei $E\textrm{pot}$ innerhalb des Kastens null und außerhalb unendlich hoch ist). Bei dieser Potenzialfunktion ist ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}\psi/{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}t$ am Rand des Kastens nicht stetig. Da die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen (beispielsweise ein Elektron) irgendwo zu finden, gleich eins ist, muss die Wellenfunktion der Normierungsbedingung ${\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}}|\psi|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=1$ gehorchen. Diese Bedingung impliziert die Randbedingung, dass $\psi$ gegen null gehen muss, wenn $|x|$ gegen $\infty$ geht. Solche Randbedingungen führen zur Quantisierung der Energie.
2.	Eingeschlossene Teilchen	Wenn die Gesamtenergie $E$ eines Teilchens in einem bestimmten Bereich (dem klassisch erlaubten Bereich) größer als die potenzielle Energie $E_{\mathrm{pot}}(x)$ ist, jedoch außerhalb dieses Bereichs kleiner, dann oszilliert die Wellenfunktion $\psi$ innerhalb des klassisch erlaubten Bereichs, während $|\psi|$ außerhalb von ihm exponentiell abnimmt. Nur bei bestimmten Werten der Gesamtenergie $E$ geht die Wellenfunktion gegen null, wenn $|x|$ gegen $\infty$ geht. Daher ist die Energie quantisiert. Die quadratintegrablen Wellenfunktionen gebundener Systeme beschreiben stehende Wellen.
	Kasten mit unendlich hohem Potenzial	Die diskreten Energieniveaus eines Teilchens der Masse $m$ in einem Kasten der Länge $d$ mit unendlich hoher Energie an den Rändern sind gegeben durch $E_{n}=\frac{h^{2}}{8\,m\,d^{2}}\cdot n^{2}\,,{\qquad}n=0,1,2,\,\ldots\,$,   (33.8) und die dazugehörigen Wellenfunktionen innerhalb des Kastens lauten $\psi_{n}(x)=A\,\sin\left(\frac{n\,\pi\,x}{d}\right)$.   (33.11)
	Kasten mit endlich hohem Potenzial	In einem Kasten mit endlich hoher potenzieller Energie gibt es nur eine endliche Anzahl erlaubter Energien; diese sind etwas geringer als die entsprechenden Energien in einem Kasten mit unendlich hoher potenzieller Energie.
	Harmonischer Oszillator	Beim harmonischen Oszillator mit der potenziellen Energie $E_{\mathrm{pot}}(x)=\frac{1}{2}\,m\,\omega_{0}^{2}\,x^{2}$ sind die erlaubten Energien äquidistant und gegeben durch $E_{n}=\left(n+{\textstyle\frac{1}{2}}\right)\hbar\,\omega_{0}\,,{\qquad}n=0,1,2,\,\ldots$   (33.22) Die Wellenfunktion des Grundzustands $n=0$ ist gegeben durch $\psi_{0}(x)=A_{0}\,\mathrm{e}^{-ax^{2}}$.   (33.19) Darin ist $A_{0}$ die Normierungskonstante, und es ist $a={\textstyle\frac{1}{2}}\,\frac{m\,\omega_{0}}{\hbar}\,$.
3.	Reflexion und Transmission bei einer Potenzialbarriere	Wenn sich die potenzielle Energie entlang einer kleinen Strecke stark ändert, kann das Teilchen reflektiert werden, selbst wenn $E> E_{\mathrm{pot}}(x)$ ist. Es kann auch in einen Bereich mit $E<E_{\mathrm{pot}}(x)$ eindringen. Reflexion und Transmission von Elektronenwellen ähneln denen anderer Wellenarten.
4.	Die Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen	Die Wellenfunktion für ein Teilchen in einem dreidimensionalen Kasten kann folgendermaßen formuliert werden: $\psi(x,y,z)=\psi_{1}(x)\,\psi_{2}(y)\,\psi_{3}(z)\,$ Darin sind $\psi_{1}$, $\psi_{2}$ und $\psi_{3}$ Wellenfunktionen beim eindimensionalen Kasten.
	Entartung	Wenn mehr als eine Wellenfunktion dem gleichen Energieniveau entspricht, nennt man dieses Niveau entartet. Die Entartung rührt von der räumlichen Symmetrie her.
5.	Die Schrödinger-Gleichung für zwei identische Teilchen	Eine Wellenfunktion, die zwei identische Teilchen beschreibt, muss bezüglich des Austauschs der Teilchenkoordinaten entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Fermionen (darunter Elektronen, Protonen und Neutronen) werden durch antisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben und unterliegen dem Pauli’schen Ausschließungsprinzip. Nach diesem können zwei identische Teilchen nicht gleichzeitig die gleichen Werte aller Quantenzahl haben. Bosonen (darunter Alphateilchen, Deuteronen, Photonen und Mesonen) werden durch symmetrische Wellenfunktionen beschrieben und unterliegen nicht dem Pauli’schen Ausschließungsprinzip.

Antwort auf die Kurzfrage

• 33.1 Die Wellenfunktion kann nicht normiert werden.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 33.1 4,70 nm

• 33.2 Durch Einsetzen von $n_{i}=c/c_{i}=(c\cdot k_{i})/\omega$ ergibt sich die gesuchte Beziehung.

• 33.3 $E_{1,3,3}=22\,E_{0}\,$, $E_{1,4,2}=E_{1,2,4}=E_{2,2,2}=24\,E_{0}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

33.1

• Skizzieren Sie für den Zustand $n=4$ eines Teilchens in einem Kasten mit endlich hohem Potenzial a) die Wellenfunktion und b) die Wahrscheinlichkeitsdichte.

1.2 Die Schrödinger-Gleichung

33.2

•• Angenommen, $\psi_{1}(x)$ und $\psi_{2}(x)$ sind Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2\,m}\frac{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}^{2}\psi(x)}{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x^{2}}+E_{\mathrm{pot}}(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)\,.\end{aligned}$$

Zeigen Sie, dass dann auch $\psi_{3}(x)=\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)$ eine Lösung ist. Diese Beziehung beschreibt das sogenannte Superpositionsprinzip, das für die Lösungen aller linearen Differenzialgleichungen gilt.

1.3 Der harmonische Oszillator

33.3

•• Mit dem Modell des harmonischen Oszillators kann man auch Schwingungen in Molekülen annähernd beschreiben. Beispielsweise weist das Wasserstoffmolekül $\mathrm{H_{2}}$ äquidistante Energieniveaus der Schwingung auf, deren Abstand $8{,}7\cdot 10^{-20}\,\mathrm{J}$ beträgt. Wie hoch wäre dabei die Federkonstante, wenn man sich das halbe Molekül als einzelnes Wasserstoffatom vorstellt, das über eine Feder mit einer festen Wand verbunden ist? Hinweis: Der Abstand der Energieniveaus dieses halben Moleküls ist halb so groß wie der Abstand der Energieniveaus des vollständigen Moleküls. Außerdem ist die Kraftkonstante einer Feder umgekehrt proportional zu ihrer Länge im entspannten Zustand; wenn also die Hälfte der Feder die Kraftkonstante $k\textrm{F}$ hat, dann hat die gesamte Feder die Kraftkonstante $\frac{1}{2}\,k\textrm{F}$.

33.4

•• Zeigen Sie, dass im Grundzustand des harmonischen Oszillators mit der Wellenfunktion $\psi_{0}(x)=A_{0}\,\mathrm{e}^{-ax^{2}}$ und der Normierungskonstanten $A_{0}=(2\,m\,\omega_{0}/h)^{1/4}$ gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\langle x^{2}\rangle=\int x^{2}\,|\psi|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=\frac{\hbar}{2\,m\,\omega_{0}}=\frac{1}{4\,a}\,.\end{aligned}$$

Zeigen Sie damit, dass die mittlere potenzielle Energie gleich der halben Gesamtenergie ist.

33.5

••• Nach den Gesetzen der klassischen Physik ist die mittlere kinetische Energie des harmonischen Oszillators gleich seiner mittleren potenziellen Energie. Nehmen Sie an, dass dies auch für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator gilt. Bestimmen Sie unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 33.4 den Erwartungswert von $p_{x}^{2}$ (wobei $p_{x}=m\,v_{x}$ ist) für den Grundzustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators.

1.4 Reflexion und Transmission von Elektronenwellen: Barrierendurchdringung

33.6

•• Ein Teilchen mit der Energie $E$ trifft auf eine Potenzialbarriere der Höhe $W_{0}$. Wie hoch muss der Quotient $E/W_{0}$ sein, damit der Reflexionskoeffizient gleich $\frac{1}{2}$ ist?

33.7

•• Ein Elektron mit der kinetischen Energie 10 eV trifft auf eine Potenzialbarriere der Höhe 25 eV und der Breite 1,0 nm. a) Berechnen Sie mit der Beziehung

$$\begin{aligned}\displaystyle T=\mathrm{e}^{-2\alpha a}\,,{\qquad}\text{mit}{\quad}\alpha\,a\gg 1\end{aligned}$$

die Größenordnung der Wahrscheinlichkeit, mit der das Elektron durch die Barriere tunnelt. b) Wiederholen Sie die Berechnung für eine Barrierenbreite von 0,10 nm.

1.5 Die Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

33.8

•• Ein Teilchen ist in einem dreidimensionalen Kasten mit den Kantenlängen $d_{1}$ und $d_{2}=2\,d_{1}$ sowie $d_{3}=3\,d_{1}$ eingeschlossen. a) Ermitteln Sie die Quantenzahlen $n_{1}$, $n_{2}$ und $n_{3}$ des Teilchens für die zehn energetisch niedrigsten Quantenzustände. (Hierfür kann ein Tabellenkalkulationsprogramm hilfreich sein.) b) Gibt es Quantenzahlen, die entarteten Energieniveaus entsprechen, und welche sind dies gegebenenfalls? c) Geben Sie eine Wellenfunktion für den fünften angeregten Zustand an. (Es gibt nur fünf Zustände, die Energien unterhalb des Energieniveaus des fünften angeregten Zustands haben.)

33.9

•• Ein Teilchen ist darauf beschränkt, sich innerhalb eines zweidimensionalen Gebiets frei zu bewegen, das definiert ist durch $0\leq x\leq d$ und $0\leq y\leq d$. Ermitteln Sie: a) die Wellenfunktionen, die diese Bedingungen erfüllen und Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind; b) die diesen Wellenfunktionen entsprechenden Energien; c) die Quantenzahlen der zwei energetisch niedrigsten entarteten Zustände; d) die Quantenzahlen der drei energetisch niedrigsten Zustände mit gleichen Energien.

1.6 Die Schrödinger-Gleichung für zwei identische Teilchen

33.10

• Wie hoch ist die Energie des Grundzustands von sieben identischen, nicht wechselwirkenden Fermionen in einem eindimensionalen Kasten der Länge $d$? (Weil die mit dem Spin korrelierte Quantenzahl zwei Werte haben kann, kann jeder räumliche Zustand zwei Fermionen enthalten.)

1.7 Orthogonalität von Wellenfunktionen

Vorbemerkung: Das Integral zweier Funktionen über dasselbe Raumintervall weist Analogien zum Skalarprodukt zweier Vektoren auf. Wenn dieses Integral null ist, dann bezeichnet man die Funktionen als orthogonal (was zwei aufeinander senkrecht stehenden Vektoren entspricht). Die folgende Aufgabe illustriert das Prinzip, nach dem zwei Wellenfunktionen orthogonal sind, die verschiedenen Energiezuständen im selben Potenzial entsprechen. Hinweis: Das Integral $\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)$ ist gleich null, wenn $x_{1}$ gleich $-x_{2}$ und $f(x)$ gleich $-f(-x)$ ist.

33.11

•• Die Wellenfunktionen

$$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle\psi_{n}(x)=A\,\sin\frac{n\,\uppi\,x}{d}{\qquad}\text{mit}{\qquad}n=1,2,3,\ldots\end{aligned}$$

entsprechen einem Teilchen in einem Kasten, der sich von $0$ bis $d$ erstreckt und ein unendlich hohes Potenzial hat. Zeigen Sie, dass hierfür gilt: $\int_{0}^{d}\psi_{m}(x)\,\psi_{n}(x)\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=0$, wenn $m$ und $n$ ganze positive Zahlen sind und $m\neq n$ ist. Mit anderen Worten: Zeigen sie, dass die Wellenfunktionen orthogonal sind.

1.8 Allgemeine Aufgaben

33.12

•• Ein Teilchen ist in einem zweidimensionalen Kasten eingeschlossen, wobei folgende Randbedingungen gelten: $E_{\mathrm{pot}}(x,y)=0$ für $-d/2\leq x\leq d/2$ und $-3\,d/2\leq y\leq 3\,d/2$ sowie $E_{\mathrm{pot}}=\infty$ außerhalb dieser Bereiche. a) Bestimmen Sie die Energien der drei energetisch niedrigsten Zustände. Sind unter ihnen entartete Zustände? b) Ermitteln Sie die Quantenzahlen der zwei energetisch niedrigsten entarteten Zustände und berechnen Sie deren Energie.

33.13

••• In dieser Aufgabe soll der Ausdruck für die Energie des Grundzustands des harmonischen Oszillators hergeleitet werden, und zwar mit der exakten Formulierung der Heisenberg’schen Unschärferelation: $\Updelta x\,\Updelta p_{x}\geq\hbar/2$. Darin sind $\Updelta x$ und $\Updelta p_{x}$ als die Standardabweichungen definiert:

$$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle(\Updelta x)^{2}=\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\rangle{\quad}\text{und}{\quad}(\Updelta p_{x})^{2}=\langle(p_{x}-\langle p_{x}\rangle)^{2}\rangle\,.\end{aligned}$$

Gehen Sie folgenermaßen vor:

• 1. Stellen Sie den klassischen Ausdruck für die Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Position $x$ und vom Impuls $p_{x}$ auf. Verwenden Sie dabei die Beziehungen $E_{\mathrm{pot}}(x)=\frac{1}{2}\,m\,\omega_{0}^{2}\,x^{2}$ und $E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}\,p_{x}^{2}/m$.

• 2. Zeigen Sie, dass gilt:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle(\Updelta x)^{2}=\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\rangle=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}\end{aligned}$$

  und

  $$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle(\Updelta p_{x})^{2}=\langle(p_{x}-\langle p_{x}\rangle)^{2}\rangle=\langle p_{x}^{2}\rangle-\langle p_{x}\rangle^{2}\,.\end{aligned}$$

• 3. Zeigen Sie anhand der Symmetrie der Funktion der potenziellen Energie, dass $\langle x\rangle$ und $\langle p_{x}\rangle$ null sein müssen, sodass gilt:  $(\Updelta x)^{2}=\langle x^{2}\rangle$ und $(\Updelta p_{x})^{2}=\langle p_{x}^{2}\rangle$.

• 4. Setzen Sie $\Updelta p_{x}\,\Updelta x=\hbar/2$ und eliminieren Sie damit $\langle p_{x}^{2}\rangle$ aus dem Ausdruck

  $$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle\langle E\rangle=\left\langle{\textstyle\frac{1}{2}}\,p_{x}^{2}/m+{\textstyle\frac{1}{2}}\,m\,\omega_{0}^{2}\,x^{2}\right\rangle={\textstyle\frac{1}{2}}\,\langle p_{x}^{2}\rangle/m+{\textstyle\frac{1}{2}}\,m\,\omega_{0}^{2}\langle x^{2}\rangle\end{aligned}$$

  für die mittlere Energie. Drücken Sie diese aus durch $\langle E\rangle=\hbar^{2}/(8\,m\,Z)+\frac{1}{2}\,m\,\omega_{0}^{2}\,Z$,  wobei $Z=\langle x^{2}\rangle$ ist.

• 5. Setzen Sie ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}E/{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}Z=0$, um den Wert von $Z$ zu ermitteln, für den $E$ ein Minimum hat.

• 6. Zeigen Sie, dass die minimale mittlere Energie gegeben ist durch $\langle E\rangle_{\mathrm{min}}=+\frac{1}{2}\,\hbar\,\omega_{0}$.

33.14

••• Ein Teilchen mit der Masse $m$, das sich nahe der Erdoberfläche bei $z=0$ befindet, hat folgende potenzielle Energie:

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{\mathrm{pot}}&\displaystyle=m\,g\,z&\displaystyle&\displaystyle\hskip-42.679134pt\text{f{\"u}r\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ }z> 0\\ \displaystyle E_{\mathrm{pot}}&\displaystyle=\infty&\displaystyle&\displaystyle\hskip-42.679134pt\text{f{\"u}r\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ }z<0\,.\end{aligned}$$

Skizzieren Sie die Abhängigkeit der potenziellen Energie $E_{\mathrm{pot}}$ von der Höhe $z$ und zeichnen Sie für irgendeinen positiven Wert der Gesamtenergie $E$ das nach den klassischen Gesetzen erlaubte Gebiet ein. Skizzieren Sie auch die Abhängigkeit der klassischen kinetischen Energie von $z$. Die Schrödinger-Gleichung ist in diesem Fall schwierig zu lösen. Bewerten Sie die Krümmung der Wellenfunktion, wie sie durch die Schrödinger-Gleichung gegeben ist. Skizzieren Sie jeweils den Verlauf der Wellenfunktion für den Grundzustand und für die beiden ersten angeregten Zustände.

33.15

•• Der Maser wurde vor dem Laser entwickelt und arbeitet nach einem vergleichbaren Prinzip im Mikrowellenbereich. In dieser Aufgabe betrachten wir ein System, das als Modell für die Zustände eines Ammoniak-Masers verwendet werden kann. Die beiden Zustände niedrigster Energie des Ammoniakmoleküls sollen durch die Wellenfunktionen

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi_{1}(\boldsymbol{x},t)=\phi_{1}(\boldsymbol{x})e^{-iE_{1}t/\hbar}\quad\text{und}\quad\psi_{2}(\boldsymbol{x},t)=\phi_{2}(\boldsymbol{x})e^{-iE_{2}t/\hbar}\end{aligned}$$

gegeben, wobei $\boldsymbol{x}$ die Position des Wasserstoffatoms ist. Im Ammoniak beträgt der Energieunterschied zwischen den beiden relevanten Zuständen ca. $E_{2}-E_{1}\approx 9{,}87\cdot 10^{-5}$ eV. Wir bringen das System jetzt in den Überlagerungszustand

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\psi_{1}(\boldsymbol{x},t)+\psi_{2}(\boldsymbol{x},t)\Big)\,.\end{aligned}$$

a) Zeigen Sie, dass zum Zeitpunkt $t=0$ die Ortswellenfunktion $(\phi_{1}+\phi_{2})/\sqrt{2}$ vorliegt. b) Klammern Sie das zeitabhängige Exponential in $\psi_{1}$ aus dem gesamten Zustand $\psi$ aus. c) Zeigen Sie anhand des verbliebenen Ausdrucks in der Klammer, dass der Überlagerungszustand zwischen den Ortswellenfunktionen $(\phi_{1}+\phi_{2})/\sqrt{2}$ und $(\phi_{1}-\phi_{2})/\sqrt{2}$ hin und her oszilliert. d) Nach welcher Zeit hat das System eine vollständige Oszillation durchgeführt und kehrt wieder zur Ausgangsverteilung $(\phi_{1}+\phi_{2})/\sqrt{2}$ zurück? Leiten Sie daraus die Frequenz des Ammoniak-Masers ab.