Quellen des Magnetfelds

Zusammenfassung

Wie Sie aus Kap. 23 wissen, kennt man die besonderen Eigenschaften von Permanentmagneten schon seit rund 1000 Jahren. Den Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus entdeckte aber erst 1819 Hans Christian Ørsted, der beobachtete, dass eine Kompassnadel von einem elektrischen Strom abgelenkt wird. Bereits einen Monat später berichteten Jean-Baptiste Biot und Félix Savart über ihre Messungen des Drehmoments, das ein Magnet in der Nähe eines langen, stromführenden Drahts erfährt. Ihre Ergebnisse analysierten sie anhand des von jedem einzelnen Stromelement erzeugten Magnetfelds. André-Marie Ampère wies in weiteren Experimenten nach, dass umgekehrt auch auf Stromelemente in Anwesenheit eines Magnetfelds eine Kraft wirkt und dass zwei Stromelemente aufeinander eine Kraft ausüben.

Werden stromdurchflossene Leiter in Form von Spulen oder Wicklungen angeordnet, lassen sich starke Magnetfelder erzeugen. In dem abgebildeten Herstellungsprozess werden Wicklungen aus Kupferdraht in den feststehenden Teil eines Elektromotors eingebaut. (© Smoczyslaw/Getty Images/iStock.)

? Wissen Sie, wie man die Stärke des Magnetfelds einer stromdurchflossenen Spule berechnet? (Siehe Beispiel 24.2.)

Appendices

Im Kontext: Magnetfelder für die Forschung

Magnetfelder wirken auf bewegliche Ladungsträger und die magnetischen Freiheitsgrade eines Materials. Sie können somit das Verhalten von Materialien ebenso vielfältig beeinflussen wie z. B. Temperatur und Druck. Hohe Magnetfelder erlauben deshalb in der Physik und vielen anderen Forschungsdisziplinen grundlegende Untersuchungen der elektronischen und magnetischen Eigenschaften der Materie. So sind mehr als 15 Nobelpreise in Physik, Chemie und Medizin eng mit der Forschung in Magnetfeldern verknüpft. Nicht nur deshalb wächst die wissenschaftliche Nachfrage nach Forschungsanlagen, in denen Experimente in hohen Magnetfeldern möglich sind.

Weltweit existieren eine Reihe von Hochfeld-Magnetlaboratorien, die den verfügbaren Magnetfeldbereich für wissenschaftliche Fragestellungen erweitern sollen. In Deutschland gibt es ein solches Labor: das Hochfeld-Magnetlabor Dresden (HLD) am Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, in dem wir gepulste Magnetfelder für Flussdichten bis etwa 100 T zerstörungsfrei erzeugen. Solche Magnetfelder benutzen wir für eigene Forschungsvorhaben und stellen sie Wissenschaftlern aus der ganzen Welt zur Verfügung.${}^{1,2}$

Hohe Magnetfelder erzeugt man in der Forschung und der Anwendung, z. B. für die Magnetresonanztomografie, meist durch supraleitende Spulen. Damit sind zurzeit Magnetfelder bis 22 T, in einer Rekordspule mit Hochtemperatursupraleitern sogar bis 32 T erreicht worden. Da der supraleitende Zustand in hohen Magnetfeldern jedoch zusammenbricht, werden noch höhere Magnetfelder mit resistiven Spulen erzeugt. Deren Betrieb erfordert allerdings enorme elektrische Leistungen (einige 10 MW) und verursacht hohe laufende Kosten. Solche Spulen erzeugen Magnetfelder von maximal etwa 35–42 T. Dabei muss die entstehende Verlustleistung durch leistungsfähige Wasserkühlung abgeführt werden. Kombiniert man eine äußere supraleitende mit einer inneren resistiven Spule, dann sind statische Magnetfelder bis etwa 45 T erreichbar. (Das amerikanische Hochfeldlabor in Tallahassee besitzt so einen zurzeit weltweit einmaligen Hybridmagneten.)

Hochenergie-Kondensatorbank (© Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf)

Deutlich höhere Feldstärken können nur mit gepulst betriebenen Spulen realisiert werden; nur dann sind die entstehenden thermischen Lasten beherrschbar. Bei einem Magnetpuls erwärmen sich die mit flüssigem Stickstoff bei 77 K gekühlten Spulen innerhalb weniger 10 ms auf etwa Raumtemperatur. Diese Zeitspanne ist ausreichend, um mit moderner Elektronik auch sehr kleine Signale hochaufgelöst zu messen.

Um innerhalb dieser kurzen Zeiten den benötigten starken Strom für die Spulen bereitzustellen, verwenden wir am HLD die modernste Variante, eine Hochenergie-Kondensatorbank (siehe Abbildung). Sie enthält 500 Kondensatoren mit einer Kapazität von jeweils 350 $\upmu$F und kann eine Gesamtenergie von 50 MJ aufnehmen. Vor einem Magnetfeldpuls werden die benötigten Kondensatoren mit niedriger Leistung kostengünstig aus dem Stromnetz bis auf eine maximale Spannung von 24 kV aufgeladen. Über elektronische Schalter (Thyristoren) wird die Energie dann den Spulensystemen zugeführt. Unsere Kondensatorbank kann sehr hohe Entladeströme von einigen 100 kA bei elektrischen Leistungen von bis zu 5 GW bereitstellen. In der Tat sind die durch solche Ströme in den Zuleitungen entstehenden Magnetfelder bereits so groß, dass beim Test der Anlage mit 250 kA nahe gelegene mechanische Schalter öffneten und mit einem großen Lichtbogen und Knall versagten. Dies war eine direkte Folge der Lorentz-Kraft auf den stromdurchflossenen Schalter. Seit dem Wiedereinbau von um 180${}^{\circ}$ gedrehten Schaltern funktioniert die Kondensatorbank einwandfrei.

Die Lorentz-Kraft ist übrigens auch der Grund, warum der Bau von Spulen für sehr hohe Magnetfelder eine große technische Herausforderung ist. Da das Magnetfeld, $B$, proportional zum Strom und die Lorentz-Kraft proportional zum Magnetfeld mal Strom ist, wachsen die Kräfte in den Spulendrähten mit $B^{2}$. In einfachster Näherung ist der Druck auf den Draht im Inneren einer Spule durch $P=B^{2}/2\mu_{0}$ gegeben. Damit müsste des Leitermaterial im Inneren einer 100-T-Spule einen Druck von ca. 4 GPa ($=40\,000\,\text{Atmosph{\"a}ren}$) aushalten. Nur durch den Einsatz spezieller nicht leitender Kunstfasern als Verstärkung können solche Kräfte aufgefangen werden${}^{3,4}$

• 1. www.hzdr.de/hld (Stand: September 2014).

• 2. Herrmannsdörfer, T., Wosnitza, J., „100 Tesla für die Forschung“ Physik in Unserer Zeit 38, 2007, 242

• 3. Zherlitsyn, S., Wustmann, B., Herrmannsdörfer, T., Wosnitza, J., „Status of the Pulsed Magnet-Development Program at the Dresden High Magnetic Field Laboratory“ IEEE Trans. Appl. Supercon. 22, 2012, 4300603.

• 4. Zherlitsyn, S., Wustmann, B., Herrmannsdörfer, T., Wosnitza, J., „Magnet-Technology Development at the Dresden High Magnetic Field Laboratory“ J. Low Temp. Phys. 170, 2013, 447.

Prof. Dr. Joachim Wosnitza studierte an der RWTH Aachen Physik und diplomierte 1985. 1988 promovierte er an der Universität Karlsruhe (jetzt KIT) in Physik und habilitierte 1995 dort auch. Seit 2001 ist er Professor an der TU Dresden, seit 2004 gleichzeitig Direktor des Hochfeld-Magnetlabor Dresden.

Zusammenfassung

• 1. Magnetfelder werden von bewegten Ladungen, also von Strömen, erzeugt.

• 2. Das Biot-Savart’sche Gesetz gibt das von einem Stromelement erzeugte Magnetfeld an.

• 3. Das Ampère’sche Gesetz erfasst den Zusammenhang zwischen dem Linienintegral des Magnetfelds entlang einer geschlossenen Kurve und dem Strom, der durch eine beliebige, von dieser Kurve umschlossene Fläche tritt.

• 4. Der Magnetisierungsvektor $\mathbf{\boldsymbol{M}}$ beschreibt das magnetische Moment eines Stoffs pro Volumeneinheit.

• 5. Die klassische Beziehung $\boldsymbol{\mu}=\left(q/\left(2\,m\right)\right)\boldsymbol{L}$ folgt aus den Definitionen des Drehimpulses und des magnetischen Moments.

• 6. Das Bohr’sche Magneton ist eine für magnetische Momente von Atomen und Atomkernen geeignete Einheit.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Magnetfeld $\boldsymbol{B}$
	Einer bewegten Punktladung	$\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\,\uppi}\frac{q\,\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\widehat{r}}}{r^{2}}$   (24.1) $\boldsymbol{\widehat{r}}$ ist ein Einheitsvektor, der von der Ladung $q$ zum Punkt $P$ des Felds zeigt; $q$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$; der Proportionalitätsfaktor $\mu_{0}$ heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums): $\mu_{0}=4\,\uppi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m\cdot A}^{-1}=4\,\uppi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{N\cdot A}^{-2}\,$   (24.2)
	Eines Stromelements (Biot-Savart’sches Gesetz)	$\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\,\uppi}\frac{I\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{\widehat{r}}}{r^{2}}$   (24.3)
	Auf der Achse einer Leiterschleife	$B_{z}=\frac{\mu_{0}}{4\,\uppi}\frac{2\,\uppi\,r_{\mathrm{LS}}^{2}\,I}{\left(z^{2}+r_{\mathrm{LS}}^{2}\right)^{3/2}}$   (24.6)
	Im Inneren einer langen Spule, weit von den Enden entfernt	$B_{z}=\mu_{0}\,(n/l)\,I$   (24.10) mit $(n/l)$ als der Anzahl der Windungen pro Längeneinheit.
	Eines geraden Leiterabschnitts	$B=\frac{\mu_{0}}{4\,\uppi}\frac{I}{r_{\bot}}\left(\cos\phi_{1}-\cos\phi_{2}\right)$  (24.12) $r_{\bot}$ ist der senkrechte Abstand zwischen dem Feldpunkt $P$ und der Achse des Leiters, $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ sind die Winkel, die die Verbindungslinien zwischen $P$ und den Endpunkten des Leiters mit der Achse einschließen.
	Eines langen, geraden Leiters	Es gilt Gl. 24.12 mit $\phi_{1}=0^{\circ}$ und $\phi_{2}=180^{\circ}$; alternativ kann die Beziehung aus dem Ampère’schen Gesetz hergeleitet werden. Die Richtung von $\boldsymbol{B}$ ist wie folgt gegeben: Die Magnetfeldlinien bilden Kreise um den Leiter in Richtung der Finger der rechten Hand, wenn der Daumen in die Stromrichtung zeigt.
	Im Inneren einer dicht gewickelten Ringspule	$B=\frac{\mu_{0}}{2\,\uppi}\frac{n\,I}{r}$   (24.18)
2.	Magnetfeldlinien	Magnetfeldlinien beginnen und enden nicht an einem Punkt des Raums, sondern bilden entweder geschlossene Schleifen oder setzen sich bis ins Unendliche fort.
3.	Gauß’scher Satz für Magnetfelder	$\varPhi_{\mathrm{mag}}={\displaystyle\oint\limits_{A}}\,\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\widehat{n}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A={\displaystyle\oint\limits_{A}}\,B_{\mathrm{n}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A=0$   (24.15)
4.	Magnetische Pole	Magnetische Pole treten stets paarweise auf (Nord- und Südpol). Isolierte Monopole wurden bisher noch nicht nachgewiesen.
5.	Ampère’sches Gesetz	${\displaystyle\oint\limits_{C}}B_{\mathrm{t}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}l={\displaystyle\oint\limits_{C}}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_{0}\,I_{C}$   (24.16) $C$ ist eine geschlossene Kurve.
	Gültigkeit des Ampère’schen Gesetzes	Das Ampère’sche Gesetz gilt nur für kontinuierliche, im Raum stetige Ströme. Es kann angewandt werden zur Herleitung von Ausdrücken für das Magnetfeld in Situationen mit einem hohen Grad an Symmetrie (wie einem langen, geraden, stromdurchflossenen Leiter oder einer langen, dicht gewickelten Zylinderspule).
6.	Magnetismus in Materie	Nach ihrem Verhalten in Magnetfeldern unterscheidet man paramagnetische, ferromagnetische und diamagnetische Materialien.
	Magnetisierung	Ein magnetisiertes Material wird durch seinen Magnetisierungsvektor $\mathbf{\boldsymbol{M}}$ beschrieben, definiert als das resutierende magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit des Materials: $\mathbf{\boldsymbol{M}}=\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{\mu}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}V}\,$   (24.19) Das Magnetfeld eines homogen magnetisierten Zylinders entspricht dem Feld, das der Zylinder erzeugen würde, wenn an seiner Oberfläche ein Strom $I$ pro Längeneinheit fließen würde, der die Magnetisierung $M$ bewirkt. Dieser Oberflächenstrom ist auf die Bewegung atomarer Ladungen innerhalb des Zylinders zurückzuführen und wird Ampère’scher Strom genannt.
7.	$\boldsymbol{B}$ in magnetischen Materialien	$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_{\mathrm{aus}}+\mu_{0}\mathbf{\boldsymbol{M}}$   (24.22)
	Magnetische Suszeptibilität $\chi_{\mathrm{mag}}$	$\mathbf{\boldsymbol{M}}=\chi_{\mathrm{mag}}\,\frac{\boldsymbol{B}_{\mathrm{aus}}}{\mu_{0}}$   (24.23) Für paramagnetische Materialien nimmt $\chi_{\mathrm{mag}}$ kleine positive Werte an und hängt von der Temperatur ab. Für diamagnetische Materialien (mit Ausnahme von Supraleitern) nimmt $\chi_{\mathrm{mag}}$ kleine, negative, nicht von der Temperatur abhängige Werte an. Für Supraleiter ist $\chi_{\mathrm{mag}}=-1$. Bei ferromagnetischen Materialien hängt die Magnetisierung nicht nur vom äußeren Feld (vom magnetisierenden Strom) ab, sondern auch von der Vorgeschichte des Materials.
	Relative Permeabilität	$\boldsymbol{B}=\mu_{\mathrm{rel}}\,\boldsymbol{B}_{\mathrm{aus}}$   (24.24) mit $\mu_{\mathrm{rel}}=1+\chi_{\mathrm{mag}}$   (24.25)
8.	Magnetische Momente von Atomen	$\boldsymbol{\mu}=\frac{q}{2\,m}\boldsymbol{L}$   (24.28) mit $\boldsymbol{L}$ als Bahndrehimpuls des Teilchens.
	Bohr’sches Magneton	$\mu_{\mathrm{Bohr}}=\frac{e\,\hbar}{2\,m_{\mathrm{e}}}=9{,}27\cdot 10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m}^{2}$ $\phantom{\mu_{\mathrm{Bohr}}}=9{,}27\cdot 10^{-24}\,\mathrm{J\cdot T}^{-1}=5{,}79\cdot 10^{-5}\,\mathrm{eV\cdot T}^{-1}$
9.	Paramagnetismus	Paramagnetische Materialien besitzen permanente magnetische Momente, deren Orientierungen in Abwesenheit eines äußeren Magnetfelds zufällig auf alle Richtungen verteilt sind. Liegt ein Feld an, so richten sich die Dipole teilweise aus und liefern einen kleinen Beitrag zum Gesamtfeld, der zum äußeren Feld addiert wird. Der Grad der Ausrichtung ist gering, wenn das äußere Feld nicht sehr stark und die Temperatur nicht sehr niedrig ist. Bei Zimmertemperatur wird die zufällige Orientierung durch die thermische Bewegung aufrechterhalten.
	Curie’sches Gesetz	In schwachen Feldern ist die Magnetisierung näherungsweise proportional zum äußeren Feld und umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur: $M=\frac{1}{3}\frac{\mu\,B_{\mathrm{aus}}}{k_{\text{B}}\,T}M_{\mathrm{S}}\,$   (24.31)
10.	Ferromagnetismus	In ferromagnetischen Materialien existieren kleine Gebiete, die Weiß’schen Bezirke, in denen die permanenten magnetischen Momente der Atome ausgerichtet sind. In unmagnetisiertem Zustand sind die Orientierungen der einzelnen Weiß’schen Bezirke zufällig verteilt, weshalb das resultierende Feld null ist. Durch eine Magnetisierung richten sich die Weiß’schen Bezirke am äußeren Feld aus und erzeugen ein starkes zusätzliches Magnetfeld. Die Ausrichtung kann in magnetisch harten Materialien auch nach Abschaltung des äußeren Felds bestehen bleiben; es entsteht ein Permanentmagnet.
11.	Diamagnetismus	In diamagnetischen Materialien heben die magnetischen Momente aller Elektronen der Atome einander auf. Liegt kein äußeres Feld an, so ist das resultierende magnetische Moment null. Durch ein äußeres Feld wird ein sehr kleines magnetisches Moment induziert, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist und dieses folglich abschwächt. Dieser Effekt hängt nicht von der Temperatur ab. Supraleiter sind Diamagneten mit einer magnetischen Suszeptibilität von $-1$.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 24.1 $\boldsymbol{B}=0$, $\boldsymbol{B}=\left(3{,}2\cdot 10^{-14}\,\mathrm{T}\right)\,\boldsymbol{\widehat{z}}$

• 24.2 $25\,\text{A}$

• 24.3 $1{,}48\cdot 10^{-2}\,\mathrm{T}$; das sind rund 2 % weniger als das Ergebnis aus Schritt 3.

• 24.4 Das Magnetfeld im Mittelpunkt der kreisrunden Schleife ist um etwa 10 % stärker.

• 24.5 $r=4{,}0\,\mathrm{cm}$

• 24.6 0

• 24.7 $\boldsymbol{B}=(2{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{T})\,\boldsymbol{\widehat{y}}$

• 24.8 $M/M_{\mathrm{S}}=1{,}12\cdot 10^{-3}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

24.1

• Skizzieren Sie die Feldlinien der beiden in Abb. 24.46 dargestellten Dipole. Vergleichen Sie die Erscheinungsbilder der Feldlinien in unmittelbarer Nähe des Mittelpunkts der Dipole.

Abb. 24.46

Zu Aufgabe 24.1

24.2

• Zwei in der Papierebene liegende Leiter werden in entgegengesetzten Richtungen von gleich starken Strömen durchflossen (Abb. 24.47). Betrachten Sie den von beiden Leitern gleich weit entfernten Punkt. Welche Aussage über das Magnetfeld an diesem Punkt trifft zu?  a) Es ist null.  b) Es zeigt in die Papierebene hinein.  c) Es zeigt aus der Papierebene heraus.  d) Es zeigt zum oberen oder zum unteren Seitenende.  e) Es zeigt in Richtung eines der beiden Leiter.

Abb. 24.47

Zu Aufgabe 24.2

24.3

• Diskutieren Sie Übereinstimmungen und Unterschiede des Gauß’schen Satzes für das elektrische Feld gegenüber dem für das Magnetfeld.

24.4

• Wie müsste Ihrer Meinung nach der Gauß’sche Satz für das Magnetfeld abgewandelt werden, falls doch noch die Existenz isolierter magnetischer Monopole nachgewiesen würde?

24.5

• Stellen Sie sich vor, Sie blicken entlang der Längsachse einer langen, stromdurchflossenen Spule, deren Magnetfeld von Ihnen weg zeigt. Wie fließt aus Ihrer Sicht der Strom durch die Windungen: im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn?

24.6

• Die beiden Enden einer elektrisch leitenden Schraubenfeder werden mit den Klemmen einer Batterie verbunden. Wird der Abstand zwischen den einzelnen Windungen der Feder größer oder kleiner, oder bleibt er gleich, wenn der Strom zu fließen beginnt? Erläutern Sie Ihre Antwort.

24.7

• In einem langen, geraden Leiter mit kreisförmigem Querschnitt herrscht eine konstante und homogene Stromdichte. Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind richtig? a) Die Stärke des vom Leiter erzeugten Magnetfelds ist an der Oberfläche des Leiters maximal. b) Die Stärke des Magnetfelds ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands des betrachteten Feldpunkts von der Längsachse des Leiters. c) An allen Punkten auf der Längsachse des Leiters ist das Magnetfeld null. d) Innerhalb des Leiters nimmt die Stärke des Magnetfelds linear mit dem Abstand von der Längsachse des Leiters ab.

24.8

• Welche der vier Gase Kohlendioxid, Sauerstoff, Stickstoff und Wasserstoff sind diamagnetisch, welche paramagnetisch?

1.2 Das Magnetfeld von Punktladungen und Strömen

24.9

• Ein Proton, das sich mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}=(1{,}0\cdot 10^{2}\,\boldsymbol{\widehat{x}}+2{,}0\cdot 10^{2}\,\boldsymbol{\widehat{y}}\,)\,\mathrm{m/s}$ bewegt, befindet sich zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ in der Ebene mit $z=0$ im Punkt $x=3{,}0\,\mathrm{m}$, $y=4{,}0\,\mathrm{m}$. Berechnen Sie das Magnetfeld des Protons in folgenden Punkten in derselben Ebene: a) $x=2{,}0\,\mathrm{m}$, $y=2{,}0\,\mathrm{m}$, b) $x=6{,}0\,\mathrm{m}$, $y=4{,}0\,\mathrm{m}$ und c) $x=3{,}0\,\mathrm{m}$, $y=6{,}0\,\mathrm{m}$.

24.10

• In einem klassischen Modell des Wasserstoffatoms bewegt sich das Elektron auf einer Kreisbahn mit einem Radius von $5{,}29\cdot 10^{-11}$ m um das Proton. Berechnen Sie die Stärke des Magnetfelds, das nach diesem Modell durch die Bahnbewegung des Elektrons am Ort des Protons erzeugt wird. Vernachlässigen Sie die Eigenbewegung des Protons.

24.11

• Ein kleines, 2,0 mm langes Stromelement, das von einem Strom $I=2{,}0\,\mathrm{A}$ in $+z$-Richtung durchflossen wird, liegt mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Berechnen Sie das Magnetfeld $\boldsymbol{B}$ in folgenden Punkten: a) auf der $x$-Achse bei $x=3{,}0\,\mathrm{m}$, b) auf der $x$-Achse bei $x=-6{,}0\,\mathrm{m}$, c) auf der $z$-Achse bei $z=3{,}0\,\mathrm{m}$ und d) auf der $y$-Achse bei $y=3{,}0\,\mathrm{m}$.

1.3 Leiterschleifen

24.12

• Zeigen Sie, dass sich der Ausdruck für das Magnetfeld auf der Achse einer Leiterschleife an der Position $z$,

$$B_{z}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{2\pi r_{\mathrm{LS}}^{2}\,I}{\left(z^{2}+r_{\mathrm{LS}}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\> ,$$

im Mittelpunkt der Leiterschleife auf $B_{z}=\mu_{0}\,I/2\,r_{\mathrm{LS}}$ reduziert.

24.13

• Durch eine einzelne kreisrunde Leiterschleife mit einem Radius von 3,0 cm fließt ein Strom von 2,6 A. Berechnen Sie die Stärke des Magnetfelds an folgenden Positionen auf der Achse, die senkrecht zur Ebene der Leiterschleife durch deren Mittelpunkt verläuft: a) im Mittelpunkt der Schleife, b) 1,0 cm vom Mittelpunkt entfernt, c) 2,0 cm vom Mittelpunkt entfernt, d) 35 cm vom Mittelpunkt entfernt.

24.14

••• Der Abstand zwischen zwei identischen Spulen mit je 250 Windungen sei gleich dem Radius der Spulen, nämlich 30 cm. Die Spulen sind koaxial angeordnet und werden von gleichen Strömen ($I=15\,\mathrm{A}$) so durchflossen, dass ihre axialen Magnetfelder gleichgerichtet sind. Eine besondere Eigenschaft solcher sogenannter Helmholtz-Spulen ist die bemerkenswerte Homogenität des Magnetfelds im Bereich zwischen den Spulen. Berechnen Sie mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms dieses Magnetfeld als Funktion von $z$, d. h. dem Abstand vom Mittelpunkt der Anordnung auf der gemeinsamen Achse der Spulen, für $-30\,\mathrm{cm}<z<+30\,\mathrm{cm}$. Wie groß ist der Bereich von $z$, in dem sich die Feldstärke um nicht mehr als 20 % ändert? Skizzieren Sie die Abhängigkeit des Magnetfelds von $z$.

24.15

••• Die Achsen zweier Helmholtz-Spulen aus Aufgabe 24.14, jeweils mit dem Radius $r$, liegen auf der $z$-Achse. Eine Spule liegt in der Ebene mit $z=-\tfrac{1}{2}\,r$, die andere in der Ebene mit $z=+\tfrac{1}{2}\,r$. Zeigen Sie, dass auf der $z$-Achse bei $z=0$ gilt: $\mskip 2.0mu\mathrm{d}B_{z}/\mskip 2.0mu\mathrm{d}z=0$, $\mskip 2.0mu\mathrm{d}^{2}B_{z}/\mskip 2.0mu\mathrm{d}z^{2}=0$ und $\mskip 2.0mu\mathrm{d}^{3}B_{z}/\mskip 2.0mu\mathrm{d}z^{3}=0$. (Anmerkung: Das Resultat soll zeigen, dass das Magnetfeld in Punkten beiderseits nahe der Mitte der Anordnung in Betrag und Richtung annähernd dem Feld im Mittelpunkt selbst entspricht.)

1.4 Geradlinige Leiterabschnitte

Die Aufgaben  24.16 und 24.17 beziehen sich auf die Anordnung in Abb.  24.48 : Zwei lange, gerade Leiter liegen parallel zur x -Achse in der x - y -Ebene. Ein Leiter befindet sich bei $y=+6{,}0$  cm, der andere bei $y=-6{,}0$  cm. Die Stromstärke in den Leitern betrage jeweils 20 A.

Abb. 24.48

Zu den Aufgaben 24.16 und 24.17

24.16

• Die Ströme in Abb. 24.48 fließen in $-x$-Richtung. Berechnen Sie $\boldsymbol{B}$ in folgenden Punkten auf der $y$-Achse: a) $y=-3{,}0\,\mathrm{cm}$, b) $y=0$, c) $y=+3{,}0\,\mathrm{cm}$, d) $y=+9{,}0\,\mathrm{cm}$.

24.17

•• Betrachten Sie Abb. 24.48 zu dieser und zur vorigen Aufgabe. Der Strom in dem Leiter bei $y=-6{,}0\,\mathrm{cm}$ fließt in $-x$-Richtung, der in dem Leiter bei $y=+6{,}0\,\mathrm{cm}$ dagegen in $+x$-Richtung. Berechnen Sie $\boldsymbol{B}$ in folgenden Punkten auf der $y$-Achse: a) $y=-3{,}0\,\mathrm{cm}$, b) $y=0$, c) $y=+3{,}0\,\mathrm{cm}$, d) $y=+9{,}0\,\mathrm{cm}$.

24.18

•• Nehmen Sie an, Sie bereiten einen Demonstrationsversuch zum Thema „Berührungsfreie magnetische Aufhängung“ vor. Sie wollen einen 16 cm langen, starren Draht an leichten Anschlussleitungen über einem zweiten, langen, geraden Draht beweglich aufhängen. Wenn die Leiter von Strömen gleicher Stärke, aber entgegengesetzten Richtungen durchflossen werden, soll der 16-cm-Draht spannungsfrei (ohne Last auf den Befestigungen) im Abstand $h$ über dem zweiten Draht schweben. Wie müssen Sie die Stromstärke wählen, wenn der 16-cm-Draht eine Masse von 14 g hat und $h$, der senkrechte Abstand zwischen den Längsachsen der beiden Leiter, $1{,}5\,\mathrm{mm}$ betragen soll?

24.19

•• Ein unendlich langer, isolierter Draht liegt auf der $x$-Achse eines Koordinatensystems und wird in $+x$-Richtung von einem Strom $I$ durchflossen. Ein zweiter, ebensolcher Draht liegt auf der $y$-Achse, und der Strom $I$ durchfließt ihn in $+y$-Richtung. An welchem Punkt (oder an welchen Punkten) in der Ebene mit $z=0$ ist das resultierende Magnetfeld null?

24.20

•• Drei lange parallele Drähte verlaufen senkrecht durch drei Eckpunkte des in Abb. 24.49 gezeigten Quadrats. Durch jeden Draht fließt ein Strom $I$. Geben Sie, in Abhängigkeit von $I$ und $l$, das Magnetfeld $\boldsymbol{B}$ im unbesetzten Eckpunkt unter folgenden Bedingungen an: a) Alle Stromrichtungen zeigen in die Papierebene hinein, b) $I_{1}$ und $I_{3}$ verlaufen in die Papierebene hinein und $I_{2}$ verläuft heraus, c) $I_{1}$ und $I_{2}$ verlaufen in die Papierebene hinein und $I_{3}$ verläuft heraus.

Abb. 24.49

Zu Aufgabe 24.20

1.5 Das Magnetfeld einer Zylinderspule

24.21

• Durch eine Zylinderspule mit einer Länge von $2{,}7\,\mathrm{m}$, einem Radius von $0{,}85\,\mathrm{cm}$ und 600 Windungen fließt ein Strom von $2{,}5\,\mathrm{A}$. Berechnen Sie $B$ im Inneren der Spule, weit entfernt von ihren Enden.

24.22

•• Durch eine Zylinderspule mit einer Länge von $30\,\mathrm{cm}$, einem Radius von $1{,}2\,\mathrm{cm}$ und 300 Windungen fließt ein Strom von $2{,}6\,\mathrm{A}$. Berechnen Sie $B$ auf der Achse der Spule, und zwar a) in der Mitte der Spule bzw. b) an einem Ende der Spule.

24.23

•• Durch eine Spule mit $n/l$ Windungen pro Längeneinheit, dem Radius $r$ und der Länge $l$ fließt ein Strom $I$. Ihre Achse ist die $z$-Achse, und ihre Enden liegen in den Punkten $z=-\tfrac{1}{2}\,l$ und $z=+\tfrac{1}{2}\,l$. Zeigen Sie, dass das Magnetfeld $B$ in einem Punkt auf der $z$-Achse im Bereich $z> \tfrac{1}{2}\,l$, also außerhalb der Spule, gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle B=\tfrac{1}{2}\,\mu_{0}\,\frac{n}{l}\,I\left(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2}\right)\,,\end{aligned}$$

wobei aufgrund der geometrischen Gegebenheiten gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\cos\theta_{1}=\frac{z+\frac{1}{2}\,l}{\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\,l\right)^{2}+r^{2}}}\,,{\quad}\cos\theta_{2}=\frac{z-\frac{1}{2}\,l}{\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\,l\right)^{2}+r^{2}}}\,.\end{aligned}$$

1.6 Das Ampère’sche Gesetz

24.24

• Durch einen langen, geraden, dünnwandigen Hohlzylinder mit dem Radius $r$ fließt parallel zu seiner Längsachse ein Strom $I$. Beschreiben Sie die Magnetfelder (hinsichtlich Betrag und Richtung) innerhalb und außerhalb des Hohlzylinders.

24.25

•• Zeigen Sie, dass es homogene Magnetfelder ohne Streufelder an den Rändern, wie in Abb. 24.50 dargestellt, nicht geben kann, weil hierbei das Ampère’sche Gesetz verletzt würde. Wenden Sie dazu das Ampère’sche Gesetz auf den gestrichelt eingezeichneten rechteckigen Weg an.

Abb. 24.50

Zu Aufgabe 24.25

24.26

•• Abb. 24.51 zeigt eine Zylinderspule mit $n/l$ Windungen pro Längeneinheit, durch die ein Strom $I$ fließt. Leiten Sie einen Ausdruck für die Magnetfeldstärke unter der Bedingung her, dass $\boldsymbol{B}$ im Inneren der Spule homogen und parallel zur Längsache der Spule gerichtet, jedoch außerhalb der Spule null ist. Wenden Sie dazu das Ampère’sche Gesetz auf den eingezeichneten rechteckigen Weg an.

Abb. 24.51

Zu Aufgabe 24.26

1.7 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität

24.27

• Durch eine eng gewickelte, 20,0 cm lange Zylinderspule mit 400 Windungen fließt ein Strom von 4,00 A; das axiale Magnetfeld der Spule zeigt in $+z$-Richtung. Berechnen Sie $B$ und $B_{\mathrm{aus}}$ in der Mitte der Spule, wenn diese a) keinen Kern bzw. b) einen Weicheisenkern mit der Magnetisierung $M=1{,}2\cdot 10^{6}\,\mathrm{A/m}$ hat.

24.28

• Durch eine lange Spule mit Wolframkern fließt ein Strom. a) Der Kern wird bei konstant gehaltenem Strom entfernt. Wird das Magnetfeld im Inneren der Spule dadurch stärker oder schwächer? b) Um wie viel Prozent ändert sich die Magnetfeldstärke im Spuleninneren bei diesem Vorgang?

24.29

•• Stellen Sie sich vor, Sie bringen während eines Praktikumsversuchs eine zylindrisch geformte Probe eines unbekannten magnetischen Materials in eine lange Spule mit $n/l$ Windungen pro Längeneinheit, durch die ein Strom $I$ fließt. In der Tabelle finden Sie Messwerte für die Feldstärke $B$ innerhalb des Zylinders für verschiedene Werte von $(n/l)\,I$.

$(n/l)\,I$, A$/$m	$0$	$50$	$100$	$150$
$B$, T	$0$	$0{,}04$	$0{,}67$	$1{,}00$
$(n/l)\,I$, A$/$m	$200$	$500$	$1000$	$10\,000$
$B$, T	$1{,}2$	$1{,}4$	$1{,}6$	$1{,}7$

Skizzieren Sie mithilfe dieser Angaben $B$ als Funktion von $B_{\mathrm{aus}}$ und $\mu_{\mathrm{rel}}$ als Funktion von $(n/l)\,I$. Dabei ist $B_{\mathrm{aus}}$ das von $I$ hervorgerufene Feld, und $\mu_{\mathrm{rel}}$ ist die relative Permeabilität Ihrer Probe.

1.8 Magnetische Momente von Atomen

24.30

•• Nickel hat eine Dichte von $8{,}70\,\mathrm{g/cm}^{3}$ und eine molare Masse von $58{,}7\,\mathrm{g/mol}$ sowie eine Sättigungsmagnetisierung von $\mu_{0}\,M_{\mathrm{S}}=0{,}610\,\mathrm{T}$. Geben Sie das magnetische Moment eines Nickelatoms in Vielfachen des Bohr’schen Magnetons an.

1.9 *Paramagnetismus

24.31

•• Vereinfacht können wir uns die Situation in einem paramagnetischen Material folgendermaßen vorstellen: Die magnetischen Momente eines Anteils $f$ der Atome oder Moleküle sind in Feldrichtung orientiert, während die magnetischen Momente aller anderen Moleküle zufällig ausgerichtet sind und daher nicht zum Gesamtmagnetfeld beitragen. a) Zeigen Sie im Rahmen dieses Modells mithilfe des Curie’schen Gesetzes, dass der Anteil ausgerichteter Moleküle bei der Temperatur $T$ und dem äußeren Magnetfeld $B$ gegeben ist durch $f=\mu\,B/(3\,k_{\mathrm{B}}\,T)$.  b) Berechnen Sie $f$ für eine Probentemperatur von 300 K und ein äußeres Feld von 1,00 T; außerdem sei $\mu=1{,}00\,\mu_{\mathrm{Bohr}}$.

24.32

•• Eine vom Strom $I$ durchflossenene Ringspule mit $n$ Windungen hat den mittleren Radius $r_{\mathrm{RS}}$ und den Querschnittsradius $r$, wobei $r\ll r_{\mathrm{RS}}$ ist (Abb. 24.52). Ist die Ringspule mit einem Material gefüllt, so nennt man sie auch Rowland-Ring. Berechnen Sie $B_{\mathrm{aus}}$ und $B$ in einem solchen Ring, wenn die Magnetisierung überall parallel zu $B_{\mathrm{aus}}$ ist.

Abb. 24.52

Zu Aufgabe 24.32

1.10 *Ferromagnetismus

24.33

•• Die Sättigungsmagnetisierung von gehärtetem Eisen wird bei $B_{\mathrm{aus}}=0{,}201\,\mathrm{T}$ erreicht. Berechnen Sie für diese Situation die Permeabilität und die relative Permeabilität.

24.34

•• Durch eine lange, dünne Spule mit 50 Windungen pro Zentimeter fließt ein Strom von 2,00 A. Nachdem ein Eisenkern in die Spule gebracht wurde, wird eine Magnetfeldstärke von 1,72 T gemessen. Berechnen Sie unter Vernachlässigung von Randeffekten a) $B_{\mathrm{aus}}$, b) die Magnetisierung und c) die relative Permeabilität.

24.35

••• Ein langer, gerader Draht mit kreisrundem Querschnitt und einem Radius von 1,00 mm ist mit einer 3,00 mm dicken Schicht eines ferromagnetischen Materials mit einer relativen Permeabilität von 400 überzogen. Das Material des Drahts selbst ist nicht magnetisch, und die Anordnung befindet sich in Luft. Durch den Draht fließt ein Strom von 40,0 A. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom senkrechten Abstand $r$ zwischen dem betrachteten Feldpunkt und der Längsachse: a) das Magnetfeld im Inneren des Drahts, b) das Magnetfeld im Inneren der ferromagnetischen Schicht und c) das Magnetfeld außerhalb von Draht und Schicht. d) Wie groß müssen die Beträge der Ampère’schen Ströme an den Oberflächen des ferromagnetischen Materials (also an dessen Innen- und Außenseite) sein, und welche Richtungen müssen die Ströme haben, um die beobachteten Magnetfelder hervorzurufen?

1.11 Allgemeine Aufgaben

24.36

•• Ein Draht mit der Länge $l$ ist zu einer kreisrunden Spule mit $n$ Windungen aufgewickelt. Durch diese fließt ein Strom $I$. Zeigen Sie, dass das Magnetfeld in der Mitte der Spule gegeben ist durch $B=\mu_{0}\,\uppi\,n^{2}\,I/l$.

24.37

•• Ein 2,0 m unter der Erdoberfläche verlegtes Starkstromkabel führt einen Strom von 50 A. Die genaue Lage und die Richtung des Kabels sind nicht bekannt. Wie könnten Sie beides mithilfe eines Kompasses ermitteln? Das Kabel befinde sich in unmittelbarer Nähe des Äquators, wo das Erdmagnetfeld mit einer Stärke von $0{,}700\,\mathrm{G}$ nach Norden zeigt.

24.38

•• In Abb. 24.53 sehen Sie eine geschlossene Leiterschleife. Sie führt einen Strom von 8,0 A, der entgegen dem Uhrzeigersinn fließt. Der Radius des äußeren Bogens ist 0,60 m, der des inneren Bogens 0,40 m. Wie stark ist das Magnetfeld im Punkt $P$?

Abb. 24.53

Zu Aufgabe 24.38

24.39

•• Durch einen sehr langen geraden Leiter fließt ein Strom von 20,0 A. In 1,00 cm Entfernung vom Draht bewegt sich ein Elektron mit einer Geschwindigkeit von $5{,}00\cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$. Welche Kraft wirkt auf das Elektron, wenn es sich a) direkt vom Draht weg, b) parallel zum Draht in Stromrichtung bzw. c) senkrecht zum Draht auf einer Tangente an einen zum Draht koaxialen Kreis bewegt?

24.40

•• Eine Kompassnadel in Form eines homogenen Stäbchens hat eine Länge von 3,00 cm, einen Radius von 0,850 mm und eine Dichte von $7{,}96\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$. Sie ist in der Waagerechten frei drehbar. Die horizontale Komponente des Erdmagnetfelds beträgt $0{,}600\,\mathrm{G}$. Nach einer geringen Auslenkung führt die Nadel mit einer Frequenz von $1{,}40\,\mathrm{Hz}$ eine einfache harmonische Schwingung um die Gleichgewichtslage aus. a) Geben Sie das magnetische Dipolmoment der Nadel an. b) Wie groß ist die Magnetisierung? c) Berechnen Sie den Ampère’schen Strom an der Oberfläche der Nadel.

Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass ein langer dünner und reibungsfrei gelagerter Stabmagnet nach einer geringen Auslenkung aus seiner Gleichgewichtslage um einen kleinen Winkel $\theta$ mit der Frequenz $\nu=\frac{1}{2\uppi}\,\sqrt{\mu\,B/I_{\mathrm{T}}}$ zu schwingen beginnt. Darin ist $I_{\mathrm{T}}$ das Trägheitsmoment bezüglich des Lagerungspunkts und $\mu=|\boldsymbol{\mu}|$ das parallel zu seiner Längsachse stehende magnetische Moment des Stabmagneten.

24.41

•• Am magnetischen Nordpol der Erde herrscht ein Magnetfeld mit einer Feldstärke von rund 0,600 G, das senkrecht nach unten zeigt. Angenommen, dieses Feld würde von einem elektrischen Strom erzeugt, der eine Leiterschleife mit dem Radius des inneren Eisenkerns der Erde (etwa 1300 km) durchfließt. a) Wie groß müsste die Stromstärke in der Leiterschleife sein? b) In welcher Richtung müsste der Strom durch die Leiterschleife fließen – in Richtung der Erdrotation oder entgegengesetzt? Erläutern Sie Ihre Antwort.

24.42

•• a) Geben Sie das Magnetfeld im Punkt $P$ für den in Abb. 24.54 skizzierten, einen Strom $I$ führenden Leiter an. b) Leiten Sie unter Verwendung Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe a einen Ausdruck für das Magnetfeld im Mittelpunkt eines $n$-seitigen Vielecks her. c) Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck für sehr großes $n$ in die Beziehung für das Magnetfeld im Mittelpunkt einer kreisförmigen Leiterschleife übergeht.

Abb. 24.54

Zu Aufgabe 24.42

24.43

•• Durch einen langen zylindrischen Leiter mit dem Radius $r_{\mathrm{LZ}}=10\,\mathrm{cm}$ fließt ein Strom, dessen Stärke vom senkrechten Abstand $r$ von der Leiterachse abhängt, wobei gilt: $I(r)=\left(50\,\mathrm{A/m}\right)r$. Berechnen Sie das Magnetfeld für a) $r=5{,}0$ cm, b) $r=10$ cm und c) $r=20$ cm.

24.44

••• Auf einer nicht leitfähigen Scheibe mit dem Radius $r_{\mathrm{LS}}$ herrscht eine homogene Flächenladungsdichte $\sigma$. Die Scheibe rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$.  a) Betrachten Sie einen ringförmigen Streifen mit dem Radius $r$ und der Breite $\mskip 2.0mu\mathrm{d}r$, der die Ladung $\mskip 2.0mu\mathrm{d}q$ trägt. Zeigen Sie, dass dieser rotierende Streifen den Strom $\mskip 2.0mu\mathrm{d}I=\omega\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}q/(2\,\uppi)=\omega\,\sigma\,r\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}r$ erzeugt. b) Zeigen Sie mithilfe Ihres Ergebnisses von Teilaufgabe a, dass das Magnetfeld im Mittelpunkt der Scheibe gegeben ist durch $B=\tfrac{1}{2}\,\mu_{0}\,\sigma\,\omega\,r_{\mathrm{LS}}$.  c) Ermitteln Sie mithilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe a einen Ausdruck für das Magnetfeld in einem Punkt auf der Achse der Scheibe in einem Abstand $z$ von deren Mittelpunkt.

24.45

••• Eine quadratische Leiterschleife mit der Seitenlänge $l$ liegt in der $z=0$-Ebene mit ihrem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Durch die Schleife fließt der Strom $I$. a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Magnetfeldstärke $B$ in beliebigen Punkten auf der $z$-Achse her. b) Zeigen Sie, ausgehend von Ihrem Resultat, dass für $z\gg l$ gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle B\approx\frac{\mu\,\mu_{0}}{2\,\uppi\,z^{3}}\,,\end{aligned}$$

wobei $\mu=I\,l^{2}$ das magnetische Moment der Schleife ist.