Elektrischer Strom – Gleichstromkreise

Zusammenfassung

Wenn wir Licht einschalten, verbinden wir die Glühlampe mit den Polen einer Spannungsquelle, zwischen denen eine Potenzialdifferenz – eine elektrische Spannung – besteht. Diese Potenzialdifferenz bewirkt, dass elektrische Ladungen durch den Glühdraht fließen, ähnlich wie Wasser, das infolge des Druckunterschieds durch einen Gartenschlauch strömt, sobald wir den Wasserhahn aufdrehen. Einen Fluss elektrischer Ladungen bezeichnet man als elektrischen Strom. Wir denken dabei normalerweise an Ladungsträger, die sich durch einen leitfähigen Draht bewegen. Weniger alltägliche Beispiele sind der Elektronenstrahl einer Bildröhre und der Ionenstrahl in einem Teilchenbeschleuniger.

Manchmal ist es nützlich, sich mit der Funktionsweise von Gleichstromkreisen auszukennen – zum Beispiel, wenn man bei leerer Batterie sein Auto fremdstarten möchte, ohne die Batterie und sich selbst zu gefährden. (© Daisy-Daisy/Getty Images/iStock.)

? Welcher Anschluss des Überbrückungskabels gehört an welchen Pol der Batterie? (Siehe Beispiel 22.10)

Appendices

Im Kontext: Autoelektrik – ein Thema in Bewegung

Seit den 1930er Jahren betrieb man das elektrische Bordnetz von Automobilen mit einer Nennspannung von 6 V, was eine Ladespannung der Akkumulatoren von 7 V erforderte. Gegen Mitte der 1950er Jahre stellte sich heraus, dass diese Spannung zum Betrieb der Autoelektrik künftig nicht mehr ausreichen würde. Die neuen 12-V-Akkumulatorblöcke mit einer Ladespannung von 14 V lieferten eine Ladeschlussspannung (Nennspannung während der Fahrt) von 14 V.¹ Bis die Autoindustrie sich entsprechend umgestellt hatte, vergingen etliche Jahre.²

In den 1960er Jahren bestand die von Batterie bzw. Lichtmaschine zu versorgende Autoelektrik im Wesentlichen aus Anlasser, Zündung, Beleuchtung, Hupe, Radio und bestenfalls (in Luxuslimousinen) noch einer Standheizung und einem Gebläse.³ Inzwischen bieten schon Mittelklassewagen zahlreiche elektrische und elektronische Systeme⁴, z. B. Crash-Sensoren, Automatikbremsen, elektrisch verstellbare Sitze, Servolenkung, Bremskraftverstärker, Klimaanlage, Scheibenwischer mit Intervallbetrieb, Unterhaltungselektronik mit Videodisplay, Motorsteuerung, Tempomat und elektrische Fensterheber. In komfortablen Autos der Oberklasse findet man darüber hinaus Radare zur Abstandsmessung⁵, elektronische Gaspedale, Stabilitäts- und Fahrwerksregelungen oder Sitzheizungen⁶. Ein Auto nimmt heute eine Leistung von 1,5 bis 2 kW auf; in näherer Zukunft rechnet man mit 3,5 kW oder mehr.⁷ Auf die Bordelektrik und -elektronik entfällt mittlerweile über ein Fünftel der Herstellungskosten eines durchschnittlichen Fahrzeugs.⁸

(© Graham Harrison/Alamy)

Dass die Anforderungen an das Bordnetz deutlich weiter steigen werden, lässt sich heute schon absehen.⁹ Man diskutiert deshalb seit einiger Zeit über den Einsatz von 36-V-Batterien zum Betrieb von 42-V-Netzen. Die Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom; wenn also die Spannung steigt, muss der Strom sinken, wenn die Leistung gleich bleiben soll. Reizvoll an dieser Idee ist deshalb, dass man zur Verkabelung der Geräte dann dünnere, leichtere Drähte verwenden kann.¹⁰ Die höhere Spannung würde außerdem kleinere, leichtere Anlassermotoren und Lichtmaschinen zulassen. Der Umstieg auf die höhere Bordnetzspannung erweist sich jedoch als komplizierter, als zunächst angenommen wurde. In einer Designstudie konnte das 42-V-System nur mit maßgeschneiderten Spezialteilen verwirklicht werden.¹¹ Bei einem 14-V-System kommt es bei einer Verbindung, die sich durch die Vibration gelockert hat, auch dann nicht zu einem durchgehenden Lichtbogen, wenn die Lücke zwischen den Leitern rund 1 mm breit ist. Bei einem 42-V-System hingegen reicht eine solche Lücke aus, dass ein Lichtbogen überschlägt und die Gefahr eines Kabelbrands steigt.¹² Deshalb werden hier wesentlich teurere Steckersysteme benötigt. Bis Jahresmitte 2005 hatten sich bereits etliche große Automobilfirmen darauf verständigt, innerhalb der kommenden Jahre auf höhere Bordnetzspannungen zu verzichten.${}^{13{,}14}$ Ein Forschungskonsortium verfolgt das Thema vorerst weiter.¹⁵ Sobald sich ein Umstieg auf das 42-V-System wirtschaftlich lohnt, wird es vermutlich in der Massenproduktion von Automobilen Einzug halten.

• 1. Ribbens, W. B., Understanding Automotive Electronics, 6. Aufl., New York: Newnes (Elsevier), 2003.

• 2. Corbett, B., „No Flick of the Switch“, Ward’s Auto World, April 2001, 37, Nr. 4, S. 50.

• 3. Ribbens, W. B., a. a. O.

• 4. Automotive Electronics Handbook, Jurgen, R. (Hrsg.), New York: McGraw-Hill, 1995.

• 5. Allen, R., „New Technologies Make Roads Safer … One Smart Car at a Time“ Electronic Design, 29. Juni 2006, S. 41–44.

• 6. „The 2009 S600 Sedan“, Mercedes-Benz. http://www.mbusa.com/mercedes/#/vehiclesMenu/exploreOverview/?yr=2009&vmf=600V&vc=S (Stand: April 2009).

• 7. Masrur, M., Monroe, J., Patel, R. und Garg, V. K., „42-Volt Electrical Power System for Military Vehicles – Comparison with Commercial Automotive Systems“, Vehicular Technology Conference, 2002. Tagungsbericht VTC 2002-Fall, 2002 IEEE 56, 3, S. 1846–1850.

• 8. Marsh, D., „LIN Simplifies and Standardizes In-Vehicle Networks“, Electronic Design News, 8. April 2005, S. 29 ff.

• 9. Huber, P. W. und Mills, M. P., „The End of the M. E.?“, Mechanical Engineering, Mai 2005, S. 26–29.

• 10. Truett, R., „42-Volt Systems Boost Fuel Economy Efforts“, Automotive News, 21. Okt. 2001, 77, Nr. 6008, S. 6.

• 11. „No-Compromise Mild Hybrid Car Engine Has a Promising Future“, Asia-Pacific Engineer, 1. Juni 2003.

• 12. Moran, T., „42-Volt Challenges: Arcs and Sparcs“, Automotive News, 12. März 2001, 75, Nr. 5920, S. 8.

• 13. Kelly, K., „DC Dumps 42-Volts“, Ward’s AutoWorld, Juni 2004, S. 9.

• 14. Crain, K., „Let’s Step Back, Rethink Technology“, Automotive News, 3. Jan. 2005, 79, Nr. 6128, S. 12.

• 15. MIT/Industry Consortium on Advanced Automotive Electrical/Electronic Components and Systems, „Consortium Research Units“. http://lees.mit.edu/public/In_the_News/InTheNews.htm (Stand: April 2009).

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Elektrischer Strom	Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladung durch eine Querschnittsfläche, wobei $\Updelta t$ gegen null geht: $I=\frac{\Updelta q}{\Updelta t}\,$   (22.1)
	Driftgeschwindigkeit	Ein elektrischer Strom $I$ in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen, langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten $v_{\mathrm{d}}$ von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde. Für Ladungsträger, die sich in positiver Richtung bewegen, gilt $I=q\,\left(n/V\right)\,A\,v_{\mathrm{d}}$   (22.3) mit $q=-e$ für Elektronen; $(n/V)$ ist die Anzahldichte der freien Ladungsträger, $A$ die Querschnittsfläche des Leiters und $v_{\mathrm{d}}$ die Driftgeschwindigkeit.
	Stromdichte	Die Beziehung zwischen der Stromdichte $\boldsymbol{j}$, einer Vektorgröße, und der Driftgeschwindigkeit lautet $\boldsymbol{j}=q\,(n/V)\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{d}}\,$.   (22.4) Der Strom $I$ durch eine Querschnittsfläche entspricht dem Fluss der Stromdichte durch diese Fläche.
2.	Elektrischer Widerstand
	Definition	$R=\frac{U}{I}$   (22.7)
	Spezifischer Widerstand $r$	$R=r\,\frac{l}{A}$   (22.10)
	Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands $\alpha$	$\alpha=\frac{\left(r-r_{0}\right)/r_{0}}{T-T_{0}}$   (22.12)
3.	Ohm’sches Gesetz	Der Widerstand von Materialien, die sich nach dem Ohm’schen Gesetz verhalten, hängt weder vom Strom noch von der Spannung ab: $U=R\,I$, $R$ ist konstant.   (22.9)
4.	Leistung
	Einem Bauelement zugeführte Leistung	$P=I\,U$   (22.13)
	In einem Ohm’schen Widerstand umgesetzte Leistung	$P=I\,U_{R}=R\,I^{2}=\frac{U_{R}^{2}}{R}$   (22.14)
5.	Quellenspannung
	Spannungsquellen	Eine Spannungsquelle ist ein Bauelement, das einem Stromkreis elektrische Energie zuführt.
	Leistung einer Spannungsquelle	$P=I\,U_{\mathrm{Q}}$   (22.15)
6.	Batterien
	Ideale Batterie	Eine ideale Batterie ist eine Spannungsquelle, an deren Klemmen unabhängig vom Batteriestrom eine konstante Spannung abgegriffen werden kann.
	Reale Batterie	Eine reale Batterie kann als Reihenschaltung einer idealen Batterie und eines kleinen Ohm’schen Widerstands, des Innenwiderstands $R_{\mathrm{in}}$, betrachtet werden.
	Klemmenspannung	$\phi_{a}-\phi_{b}=U_{\mathrm{Q}}-R_{\mathrm{in}}\,I\,$,   (22.16) wobei die Richtung steigenden Potenzials in der Batterie als positive Richtung festgelegt ist.
	Insgesamt gespeicherte Energie	$E_{\mathrm{el}}=q\,U_{\mathrm{Q}}$   (22.18)
7.	Ersatzwiderstand
	Reihenschaltung Ohm’scher Widerstände	$R=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\ldots$   (22.20)
	Parallelschaltung Ohm’scher Widerstände	$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\ldots$   (22.25)
8.	Kirchhoff’sche Regeln
	Maschenregel	Beim Durchlaufen einer geschlossenen Schleife eines Stromkreises ist die Summe aller Spannungen (Potenzialänderungen) in dieser Schleife gleich null.
	Knotenregel	Die Summe aller Ströme in einem Stromkreis, die zu einem Verzweigungspunkt hin fließen, ist gleich der Summe aller Ströme, die von diesem Punkt weg fließen.
9.	Messgeräte
	Amperemeter	Ein Amperemeter (Strommessgerät) besitzt einen sehr kleinen Ohm’schen Widerstand und wird in Reihe mit dem zu vermessenden Bauelement geschaltet.
	Voltmeter	Ein Voltmeter (Spannungsmessgerät) besitzt einen sehr großen Ohm’schen Widerstand und wird parallel zu dem zu vermessenden Bauelement geschaltet.
	Ohmmeter	Ein Ohmmeter (Widerstandsmessgerät) entspricht einer Reihenschaltung aus einer Batterie, einem Galvanometer und einem Ohm’schen Widerstand. Es dient zur Messung des Widerstands eines mit den Klemmen verbundenen Bauelements.
10.	Entladung eines Kondensators
	Zeitlicher Verlauf der Ladung	$q\left(t\right)=q_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\left(R\,C\right)}=q_{0}\,e^{-t/\tau}$   (22.34)
	Zeitlicher Verlauf des Stroms	$I(t)=-\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}q}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}=\frac{U_{C,0}}{R}\,\mathrm{e}^{-t/\left(R\,C\right)}=I_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$   (22.36)
	Zeitkonstante	$\tau=R\,C$   (22.35)
11.	Auf‌ladung eines Kondensators
	Zeitlicher Verlauf der Ladung	$q(t)=C\,U\,\left[1-\mathrm{e}^{-t/\left(R\,C\right)}\right]=q_{\mathrm{E}}\,\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$   (22.39)
	Zeitlicher Verlauf des Stroms	$I(t)=\frac{U}{R}\,\mathrm{e}^{-t/\left(R\,C\right)}=I_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$   (22.40)

Antwort auf die Kurzfrage

• 22.1 a) Kurz nach dem Einschalten der Lampe ist der aus Metall bestehende Glühfaden noch relativ kühl; sein Widerstand ist deshalb geringer als nach einer gewissen Betriebszeit. Ein niedrigerer Widerstand bedeutet einen stärkeren Strom. Deshalb misst man unmittelbar nach Betätigung des Schalters einen höheren Wert für die Stromstärke. b) Kurz nach dem Einschalten wird dem Glühfaden mit einer größeren Rate Energie von der Batterie zugeführt, als der Draht in Form von Wärme wieder abgeben kann. Nach kurzer Zeit hat sich ein stationärer Zustand eingestellt: Der nun heiße Draht gibt Energie (Wärme) genauso schnell ab, wie er sie aus der Batterie aufnimmt. Deshalb erhitzt er sich nicht weiter, und eine konstante Temperatur bedeutet einen konstanten Widerstand.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 22.1 $7{,}9\,\mathrm{h}$

• 22.2 $14\,000$

• 22.3 $4{,}5\,\mathrm{V}$

• 22.4 $2{,}4\,\mathrm{m}$

• 22.5 a) 45 W, b) 270 J

• 22.6 a) $6{,}0\,\Upomega$, b) $1{,}3\,\Upomega$

• 22.7 a) $R=2{,}0\,\Upomega$, b) $I=9{,}0\,\mathrm{A}$, c) $U_{R_{1}}=18\,\mathrm{V}$, $U_{R_{3}}=0$, $U_{R_{2}}=0$, d) $I_{1}=9{,}0\,\mathrm{A}$, $I_{3}=9{,}0\,\text{A}$, $I_{2}=0$

• 22.8 a) $3{,}0\,\mathrm{A}$, b) $0{,}83\,\mathrm{A}$

• 22.9 $0{,}81\,\mathrm{mA}$

• 22.10 0,86

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

22.1

• Geben Sie den Wert des Widerstands R51 in Abb. 22.49 und den zugehörigen Toleranzbereich an.

Abb. 22.49

Zu Aufgabe 22.1

22.2

• Bei der Diskussion der Elektrostatik hatten wir festgestellt, dass in einem Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht kein elektrisches Feld existiert. Warum können wir jetzt über elektrische Felder innerhalb des Materials von Leitern sprechen?

22.3

• Gegeben sind zwei Kupferdrähte gleicher Masse mit kreisförmigen Querschnitten; Draht A ist doppelt so lang wie Draht B. Wie verhalten sich die Widerstände der Drähte zueinander (unter Vernachlässigung von Temperatureffekten)?  a) $R_{\mathrm{A}}=8\,R_{\mathrm{B}}$,  b) $R_{\mathrm{A}}=4\,R_{\mathrm{B}}$,  c) $R_{\mathrm{A}}=2\,R_{\mathrm{B}}$,  d) $R_{\mathrm{A}}=R_{\mathrm{B}}$.

22.4

• Zwei Ohm’sche Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ werden parallel geschaltet. Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der Schaltung, wenn $R_{1}\gg R_{2}$ ist?  a) $R_{1}$,  b) $R_{2}$,  c) $0$,  d) unendlich groß.

22.5

• Zwei Ohm’sche Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ werden in Reihe geschaltet. Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der Schaltung, wenn $R_{1}\gg R_{2}$ ist?  a) $R_{1}$,  b) $R_{2}$,  c) $0$,  d) unendlich groß.

22.6

• Eine Parallelschaltung zweier Ohm’scher Widerstände A und B ist an die Klemmen einer Batterie angeschlossen. Der Widerstand von A ist doppelt so groß wie der von B. Wenn durch A ein Strom $I$ fließt, welcher Strom fließt dann durch B?  a) $I$,  b) $2\,I$,  c) $I/2$,  d) $4\,I$,  e) $I/4$.

22.7

• Eine Reihenschaltung zweier Ohm’scher Widerstände A und B ist an die Klemmen einer Batterie angeschlossen. Der Widerstand von A ist doppelt so groß wie der von B. Wenn durch A ein Strom $I$ fließt, welcher Strom fließt dann durch B?  a) $I$,  b) $2\,I$,  c) $I/2$,  d) $4\,I$,  e) $I/4$.

22.8

• Richtig oder falsch? a) Der Innenwiderstand eines idealen Voltmeters ist null. b) Der Innenwiderstand eines idealen Amperemeters ist null. c) Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist null.

22.9

• Der Kondensator $C$ in Abb. 22.50 ist anfangs entladen. Welche der folgenden Aussagen trifft unmittelbar nach dem Schließen des Schalters zu? a) An $C$ liegt die Spannung $U_{\mathrm{Q}}$ an. b) An $R$ liegt die Spannung $U_{\mathrm{Q}}$ an. c) Im Stromkreis fließt kein Strom. d) Die Aussagen a und c sind richtig.

Abb. 22.50

Zu den Aufgaben 22.9 und 22.10

22.10

•• Der Kondensator $C$ in Abb. 22.50 ist anfangs entladen. Welche der folgenden Aussagen trifft zu, wenn der Schalter seit längerer Zeit geschlossen ist? a) Die Batterie hat die Energie $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}^{2}$ abgegeben. b) Im Ohm’schen Widerstand wurde die Energie $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}^{2}$ umgesetzt. c) Im Ohm’schen Widerstand wird Energie mit konstanter Rate umgesetzt. d) Durch den Ohm’schen Widerstand fließt insgesamt die Ladung $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}$.

22.11

•• Für die Werte der Widerstände $R_{1}$, $R_{2}$ und $R_{3}$ in Abb. 22.51 gilt die Beziehung $R_{2}=R_{3}=2\,R_{1}$. In $R_{1}$ wird die Leistung $P$ umgesetzt. Welche Leistungen werden dann in $R_{2}$ und in $R_{3}$ umgesetzt?

Abb. 22.51

Zu Aufgabe 22.11

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

22.12

•• a) Schätzen Sie den Widerstand eines Fremdstartkabels für Personenwagen ab. b) Finden Sie heraus, welcher Strom beim Starten eines durchschnittlichen Personenwagens ungefähr benötigt wird. Wie groß ist die Spannung, die bei diesem Strom über dem Fremdstartkabel abfällt? c) Welche Leistung wird dabei im Kabel umgesetzt?

22.13

•• Der Querschnitt der im Haushalt verlegten elektrischen Leitungen muss hinreichend groß sein, damit sie sich nicht so weit erhitzen, dass ein Brand entsteht. Durch eine bestimmte, aus Kupfer bestehende Leitung soll ein Strom von $20\,\text{A}$ fließen; die Joule’sche Erwärmung in ihr darf dabei 2,0 W$/$m nicht übersteigen. Welchen Durchmesser muss die Leitung haben, um der Anforderung zu genügen?

22.14

• In einem elektrischen Gerät wird ein Kondensator mit $C=10\,\upmu\text{F}$ im Betrieb mit einer Spannung von bis zu $U=10\,000$ V geladen. Die übrige Schaltung wirkt zwischen den Anschlüssen des Kondensators effektiv wie ein Widerstand mit $R=10\,\text{M}\Upomega$. Wie lange muss man nach dem Ausschalten warten, bis vermutlich keine berührungsgefährliche Spannung mehr im Gerät vorliegt?

1.3 Elektrischer Strom und die Bewegung von Ladungsträgern

22.15

•• Zwei kupferne Drahtstücke mit Durchmessern von $2{,}6\,\text{mm}$ bzw. $1{,}6\,\text{mm}$ sind hintereinander verschweißt und werden von einem 15 A starken Strom durchflossen. a) Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in jedem Drahtabschnitt unter der Annahme, dass auf jedes Kupferatom genau ein freies Elektron kommt. b) Geben Sie das Verhältnis der Stromdichten in beiden Drahtstücken an.

22.16

•• Ein Teilchenbeschleuniger erzeugt einen Protonenstrahl mit einem kreisförmigen Querschnitt und einem Durchmesser von $2{,}0\,\text{mm}$; hindurch fließt ein Strom von $1{,}0\,\text{mA}$. Die Stromdichte ist homogen über den Strahlquerschnitt verteilt. Jedes Proton hat eine kinetische Energie von 20 MeV. Der Strahl trifft auf ein metallisches Target, von dem er absorbiert wird. a) Geben Sie die Anzahldichte der Protonen im Strahl an. b) Wie viele Protonen treffen pro Minute auf das Target? c) Wie groß ist der Betrag der Stromdichte im Strahl?

22.17

•• Die Protonen eines 5,00-mA-Strahls in einem geplanten Protonenspeicherring, einem sogenannten Supercollider, sollen sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die Stromdichte sei homogen über den Strahl verteilt. a) Berechnen Sie die Protonenanzahl pro Längenmeter des Strahls. b) Der Strahlquerschnitt sei $1{,}00\cdot 10^{-6}\,\text{m}^{2}$. Geben Sie die Anzahldichte der Protonen an. c) Berechnen Sie den Betrag der Stromdichte im Strahl.

1.4 Widerstand und Ohm’sches Gesetz

Hinweis: Falls nicht anders angegeben, handelt es sich in diesem Abschnitt stets um Widerstände mit Ohm’schem Verhalten.

22.18

• Durch einen 10 m langen Draht mit einem Widerstand von 0,20 $\Upomega$ fließt ein Strom von $5{,}0\,\text{A}$. a) Wie groß ist der Spannungsabfall über dem Draht? b) Geben Sie die elektrische Feldstärke im Draht an.

22.19

•• Gegeben ist ein $1{,}00\,\text{cm}$ langer Zylinder aus Glas, das den spezifischen Widerstand $1{,}01\cdot 10^{12}\,\Upomega\,\mathrm{m}$ hat. Wie lang muss ein Kupferkabel mit der gleichen Querschnittsfläche wie der des Glaszylinders sein, um denselben Widerstand wie dieser aufzuweisen?

22.20

•• Für Stromstärken bis zu 30 A werden Kupferkabel mit einem Durchmesser von 2,6 mm verwendet. a) Wie groß ist der Widerstand eines solchen Kabels von 100 m Länge? b) Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Kabel, wenn ein Strom von 30,0 A fließt? c) Wie lange dauert es unter diesen Bedingungen, bis sich ein Elektron entlang des Kabels um 100 m weiterbewegt hat?

22.21

••• Geben Sie einen Ausdruck für den Widerstand zwischen den Enden des in Abb. 22.52 dargestellten Halbrings an. Der spezifische Widerstand des Materials sei $r$. (Hinweis: Modellieren Sie den Halbring als Parallelschaltung sehr vieler sehr dünner Halbringe. Nehmen Sie an, dass die Stromdichte jeweils homogen über eine Querschnittsfläche des Halbrings verteilt ist.)

Abb. 22.52

Zu Aufgabe 22.21

1.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstands

22.22

• Bei welcher Temperatur hat ein Kupferdraht einen um 10 % größeren Widerstand als bei 20 ${}^{\circ}$C?

22.23

•• Sie möchten die Arbeitstemperatur der aus der Legierung Nichrom bestehenden Heizschlange Ihres Toasters ermitteln. Bei $20\,^{\circ}\text{C}$ messen Sie einen Widerstand des Heizelements von $80{,}0\,\Upomega$. Als Nächstes stellen Sie fest, dass unmittelbar nach dem Anschalten des Geräts durch die noch nicht signifikant erwärmte Heizschlange ein Strom von $8{,}70\,\text{A}$ fließt. Nachdem die Heizschlange ihre Endtemperatur erreicht hat, beträgt die Stromstärke nur noch $7{,}00\,\text{A}$. Wie heiß wird das Heizelement?

22.24

••• Zwei Drähte mit gleicher Querschnittsfläche $A$, den Längen $l_{1}$ bzw. $l_{2}$, den spezifischen Widerständen $r_{1}$ bzw. $r_{2}$ und den zugehörigen Temperaturkoeffizienten $\alpha_{1}$ bzw. $\alpha_{2}$ sind an den Enden so miteinander verbunden, dass durch beide der gleiche Strom fließt. a) Zeigen Sie, dass der Widerstand $R$ der gesamten Anordnung bei kleinen Temperaturänderungen nicht von der Temperatur abhängt, wenn gilt: $r_{1}\,l_{1}\,\alpha_{1}+r_{2}\,l_{2}\,\alpha_{2}=0$. b) Der eine Draht besteht aus Kohlenstoff, der andere aus Kupfer. In welchem Verhältnis müssen die Längen der Drähte zueinander stehen, damit $R$ näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist?

22.25

••• Eine kleine, im Elektronikpraktikum verwendete 5,00-V-Kohlefadenlampe hat einen zylinderförmigen Glühfaden mit einer Länge von $3{,}00\,\text{cm}$ und einem Durchmesser $d=40{,}0\,\upmu\mathrm{m}$. Der spezifische Widerstand von Kohlenstoff, der zur Herstellung von Glühfäden eingesetzt wird, beträgt bei Temperaturen zwischen $500\,\text{K}$ und $700\,\text{K}$ ungefähr $3{,}00\cdot 10^{-5}\,\Upomega\,\text{m}$. a) Wie heiß wird der Glühfaden beim Betrieb der Lampe? Behandeln Sie die Glühlampe als idealen schwarzen Strahler. b) Der spezifische Widerstand von Kohlenstoff nimmt mit steigender Temperatur ab, aber der von Metallen wie beispielsweise Wolfram nicht. Bei Kohlefadenlampen kann es deshalb zu Problemen kommen, die bei Glühlampen mit Wolframdraht nicht auftreten. Erklären Sie, warum.

1.6 Energie in elektrischen Stromkreisen

22.26

• An eine Batterie mit einer Quellenspannung von $6{,}0\,\text{V}$ und einem Innenwiderstand von $0{,}30\,\Upomega$ wird ein regelbarer Lastwiderstand $R$ angeschlossen. Berechnen Sie die Stromstärke und die Leistungsabgabe der Batterie für a) $R=0$, b) $R=5{,}0\,\Upomega$, c) $R=10\,\Upomega$ bzw. d) einen unendlich großen Lastwiderstand.

22.27

•• Ein mit einem Elektromotor ausgerüstetes Leichtfahrzeug wird mit zehn 12,0-V-Akkumulatoren betrieben. Jeder Akkumulator kann eine Ladungsmenge von $160\,\mathrm{A\,h}$ abgeben, bevor er nachgeladen werden muss. Die mittlere Reibungskraft bei einer Geschwindigkeit von $80{,}0\,\mathrm{km/h}$ beträgt $1{,}20\,\text{kN}$. a) Wie groß muss die vom Motor abgegebene Leistung mindestens sein, damit das Auto sich mit einer Geschwindigkeit von $80\,\mathrm{km/h}$ bewegt? b) Geben Sie die Gesamtladungsmenge in Coulomb an, die alle Akkumulatoren zusammengenommen während eines Entladezyklus liefern können. c) Wie viel elektrische Energie geben die Akkumulatoren zusammengenommen während eines Entladezyklus ab? d) Wie weit kann das Auto mit einer Geschwindigkeit von $80{,}0\,\mathrm{km/h}$ fahren, bevor die Akkumulatoren nachgeladen werden müssen? e) Das Auf‌laden der Akkumulatoren koste 24,00 Eurocent pro Kilowattstunde. Geben Sie die (Strom-)Kosten pro gefahrenem Kilometer an.

1.7 Zusammenschaltungen von Widerständen

22.28

• a) Zeigen Sie, dass der Ersatzwiderstand zwischen den Punkten $a$ und $b$ in Abb. 22.53 gleich $R$ ist. b) Welchen Effekt hat das Einfügen eines fünften Widerstands $R$ zwischen den Punkten $c$ und $d$ auf diesen Ersatzwiderstand?

Abb. 22.53

Zu Aufgabe 22.28

22.29

•• Sie vermessen eine unbekannte Batterie: Zuerst schließen Sie an die Klemmen einen Lastwiderstand $R_{1}=5{,}00\,\Upomega$ an. Die Stromstärke im Stromkreis beträgt dann $0{,}500\,\text{A}$. Schließen Sie danach stattdessen einen Widerstand $R_{2}=11{,}0\,\Upomega$ an, so fließt ein Strom von nur $0{,}250\,\text{A}$. Berechnen Sie a) die Quellenspannung $U_{\mathrm{Q}}$ und b) den Innenwiderstand $R_{\mathrm{in}}$ der Batterie.

22.30

•• Aus einem Ohm’schen Widerstand $R_{1}=8{,}00\,\Upomega$, einem unbekannten Widerstand $R_{2}$, einem weiteren Widerstand $R_{3}=16{,}0\,\Upomega$ und einer idealen Spannungsquelle werden nacheinander zwei verschiedene Stromkreise aufgebaut: Zuerst wird eine parallele Kombination aus $R_{1}$ und $R_{2}$ in Reihe mit $R_{3}$ und der Batterie geschaltet, und danach werden alle drei Ohm’schen Widerstände mit der Batterie in Reihe geschaltet. In beiden Fällen fließt durch $R_{1}$ der gleiche Strom. Wie groß ist der unbekannte Widerstand $R_{2}$?

22.31

•• Gegeben ist die in Abb. 22.54 skizzierte Schaltung mit dem Ersatzwiderstand $R_{ab}$ zwischen den Punkten $a$ und $b$. Zu berechnen ist: a) $R_{3}$, wenn $R_{ab}=R_{1}$ sein soll, b) $R_{2}$, wenn $R_{ab}=R_{3}$ sein soll, und c) $R_{1}$, wenn $R_{ab}=R_{1}$ sein soll.

Abb. 22.54

Zu Aufgabe 22.31

1.8 Kirchhoff’sche Regeln

Hinweis: Zur Lösung der Aufgaben in diesem Abschnitt sollen die Kirchhoff’schen Regeln angewendet werden, auch wenn es einen alternativen Weg über die Berechnung von Ersatzwiderständen gibt.

22.32

• Gegeben ist der in Abb. 22.55 skizzierte Stromkreis. Berechnen Sie a) die Stromstärke mit der Kirchhoff’schen Maschenregel, b) die von jeder der Spannungsquellen abgegebene oder aufgenommene Leistung sowie c) die Rate der Joule’schen Erwärmung jedes Ohm’schen Widerstands. (Die Innenwiderstände der Batterien seien zu vernachlässigen.)

Abb. 22.55

Zu Aufgabe 22.32

22.33

•• Betrachten Sie den Stromkreis in Abb. 22.56: Das Amperemeter zeigt den gleichen Wert an, wenn die Schalter beide geöffnet oder beide geschlossen sind. Wie groß ist $R$?

Abb. 22.56

Zu Aufgabe 22.33

22.34

•• Gegeben ist der Stromkreis in Abb. 22.57; die Innenwiderstände der Batterien seien zu vernachlässigen. Berechnen Sie a) den durch jeden Ohm’schen Widerstand fließenden Strom, b) die Spannung zwischen den Punkten $a$ und $b$ sowie c) die von jeder der beiden Batterien abgegebene Leistung.

Abb. 22.57

Zu Aufgabe 22.34

22.35

•• Die in Abb. 22.58 skizzierte Schaltung nennt man Spannungsteiler. a) Zeigen Sie, dass

$$\begin{aligned}\displaystyle U_{\mathrm{aus}}=U\,\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\end{aligned}$$

ist, wenn kein Lastwiderstand $R_{\mathrm{Last}}$ angeschlossen ist. b) Es sei $R_{1}=R_{2}=10\,\text{k}\Upomega$. Wie groß muss $R_{\mathrm{Last}}$ dann mindestens sein, damit die Ausgangsspannung $U_{\mathrm{aus}}$ gegenüber ihrem Wert ohne Last um weniger als 10 % abnimmt? ($U_{\mathrm{aus}}$ wird relativ zur Erde gemessen.)

Abb. 22.58

Zu Aufgabe 22.35

22.36

••• Berechnen Sie die Spannung zwischen den Punkten $a$ und $b$ in der in Abb. 22.59 skizzierten Schaltung.

Abb. 22.59

Zu Aufgabe 22.36

1.9 Strom- und Spannungsmessgeräte

22.37

•• Der Zeiger eines D’Arsonval-Galvanometers schlägt voll aus, wenn ein Strom von $50{,}0\,\upmu\text{A}$ durch das Messgerät fließt. Der Spannungsabfall über dem Galvanometer beträgt dabei $0{,}250\,\text{V}$. Geben Sie den Innenwiderstand des Galvanometers an.

22.38

•• Der Zeiger eines D’Arsonval-Galvanometers schlägt voll aus, wenn ein Strom von $50{,}0\,\upmu\text{A}$ durch das Messgerät fließt. Der Spannungsabfall über dem Galvanometer beträgt dabei $0{,}250\,\text{V}$. Angenommen, Sie wollen dieses Gerät in ein Amperemeter umwandeln, mit dem man Ströme bis zu $100\,\text{mA}$ messen kann. Zeigen Sie, dass Sie dazu einen Ohm’schen Widerstand parallel zum Messgerät schalten müssen. Wie groß muss dieser Widerstand sein?

1.10 RC-Stromkreise

22.39

• Betrachten Sie den in Abb. 22.60 skizzierten Stromkreis. Der Schalter befand sich lange Zeit in Position $a$ und wird dann zum Zeitpunkt $t=0$ in die Position $b$ gebracht. a) Geben Sie einen Ausdruck für die unmittelbar vor dem Umschalten im Kondensator gespeicherte Energie an. b) Drücken Sie die im Kondensator gespeicherte Energie $E_{\mathrm{el}}$ als Funktion der Zeit $t$ nach dem Umschalten aus. c) Skizzieren Sie den Graphen von $E_{\mathrm{el}}$ als Funktion von $t$.

Abb. 22.60

Zu Aufgabe 22.39

22.40

•• Betrachten Sie den in Abb. 22.61 skizzierten Stromkreis. Die Batterie liefert eine Spannung von $6{,}00\,\text{V}$, ihr Innenwiderstand sei zu vernachlässigen. Gegeben sind außerdem $R=2{,}00\,\text{M}\Upomega$ und $C=1{,}50\,\upmu\mathrm{F}$. Der Schalter war lange Zeit geschlossen und wird nun geöffnet. Berechnen Sie für den Zeitpunkt, zu dem nach dem Öffnen genau eine Zeitkonstante des Stromkreises vergangen ist: a) die Ladung der rechten Kondensatorplatte, b) die Rate, mit der die Ladung zunimmt, c) den fließenden Strom, d) die von der Batterie abgegebene Leistung, e) die dem Widerstand zugeführte Leistung und f) die Rate, mit der die im Kondensator gespeicherte Energie zunimmt.

Abb. 22.61

Zu Aufgabe 22.40

22.41

•• Zeigen Sie, dass sich die Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle U-R\,\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}q}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}-\frac{q}{C}=0\end{aligned}$$

auch folgendermaßen schreiben lässt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}q}{U\,C-q}=\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}{R\,C}\end{aligned}$$

Integrieren Sie diesen Ausdruck, um zu der Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle q=C\,U\left(1-\mathrm{e}^{-t/(R\,C)}\right)=q_{\mathrm{E}}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)\end{aligned}$$

zu gelangen.

22.42

• Zeigen Sie, dass

$$q(t)=CU\left[1-\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{-t/(RC)}\right]=q_{E}(1-\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{-t/\tau})$$

tatsächlich eine Lösung von

$$U-R\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}q(t)}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}-\frac{q(t)}{C}=0$$

ist, indem Sie $q\left(t\right)$ und $\mskip 2.0mu\mathrm{d}q/\mskip 2.0mu\mathrm{d}t$ einsetzen.

22.43

••• Betrachten Sie die in Abb. 22.62 skizzierte Schaltung. Der Schalter S war lange Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt $t=0$ geschlossen. a) Berechnen Sie den Strom, der unmittelbar nach dem Schließen des Schalters durch die Batterie fließt. b) Wie groß ist dieser Strom, lange nachdem der Schalter geschlossen wurde? c) Geben Sie den Strom durch den Ohm’schen Widerstand mit 600 $\Upomega$ als Funktion der Zeit an.

Abb. 22.62

Zu Aufgabe 22.43

1.11 Allgemeine Aufgaben

22.44

•• An einer Reihenschaltung aus einer 25,0-W- und einer 100-W-Glühlampe (beide mit konstantem Widerstand) liegt eine Spannung von 230 V an. a) Welche Lampe leuchtet heller? Begründen Sie Ihre Antwort. (Hinweis: Überlegen Sie zunächst, was die Leistungsangabe bedeutet: Unter welchen Bedingungen werden in einer 25,0-W-Lampe tatsächlich 25,0 W umgesetzt?) b) Berechnen Sie die in den beiden Lampen unter den angegebenen Bedingungen jeweils umgesetzte Leistung. Bestätigt das Ergebnis Ihre Überlegung aus Teilaufgabe a?

22.45

•• Gegeben ist die in Abb. 22.63 skizzierte Schaltung. Der Schalter S war lange Zeit geöffnet und wird nun geschlossen. a) Wie groß ist der durch die Batterie fließende Strom unmittelbar nach dem Schließen des Schalters S? b) Wie groß ist dieser Strom, lange nachdem der Schalter geschlossen wurde? c) Geben Sie die Ladung der Kondensatorplatten an, lange nachdem der Schalter geschlossen wurde. d) Der Schalter wurde wieder geöffnet, und seitdem ist eine lange Zeit vergangen. Wie groß ist nun die Ladung der Kondensatorplatten?

Abb. 22.63

Zu Aufgabe 22.45

22.46

•• Das Schaltbild in Abb. 22.64 zeigt eine Widerstandsmessbrücke (eine sogenannte Wheatstone-Brücke) zur Messung eines unbekannten Widerstands $R_{x}$ mithilfe dreier bekannter Widerstände $R_{1}$, $R_{2}$ und $R_{0}$. Ein $1{,}00\,\text{m}$ langer Draht wird durch einen Gleitkontakt (im Punkt $a$) in zwei (voneinander abhängig) variable Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ unterteilt, wobei der Wert von $R_{1}$ proportional zum Abstand des Gleitkontakts vom linken Drahtende („$0\,\text{cm}$“) und der Wert von $R_{2}$ proportional zum Abstand des Gleitkontakts vom rechten Drahtende („$100\,\text{cm}$“) ist. Die Summe von $R_{1}$ und $R_{2}$ ist konstant. Befinden sich die Punkte $a$ und $b$ auf gleichem Potenzial, so fließt kein Strom durch das Galvanometer, und die Brücke ist abgeglichen. (Das Galvanometer wird hier verwendet, um die Abwesenheit eines Stroms anzuzeigen; man nennt es deshalb auch Nulldetektor.) Gegeben sei bei dieser Schaltung $R_{0}=200\,\Upomega$. Berechnen Sie den Wert von $R_{x}$, wenn die Brücke bei folgenden Positionen von $a$ (relativ zum Nullpunkt links) abgeglichen ist: a) $18{,}0\,\text{cm}$, b) $60{,}0\,\text{cm}$ bzw. c) $95{,}0\,\text{cm}$.

Abb. 22.64

Zu Aufgabe 22.46

22.47

•• Die Ladungsdichte auf der Oberfläche des Ladungsbands eines Van-de-Graaff-Generators beträgt 5,00 $\mathrm{mC/m}^{2}$. Das Band ist $0{,}500\,\text{m}$ breit und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $20{,}0\,\mathrm{m/s}$. a) Wie groß ist der fließende Strom? b) Die Ladung der Kuppel wird nun auf ein Potenzial von $100\,\text{kV}$ gegen Masse angehoben. Wie viel Leistung muss der Motor mindestens abgeben, um das Band zu bewegen?

22.48

•• Die Spulen großer herkömmlicher Elektromagneten werden in der Regel mit Wasser gekühlt, um eine Überhitzung zu verhindern. Durch die Spulen eines großen Labormagneten fließt ein Strom von $100\,\text{A}$, wenn eine Spannung von $240\,\text{V}$ anliegt. Das Kühlwasser hat eine Anfangstemperatur von $15\,^{\circ}\text{C}$. Wie viele Liter Wasser pro Sekunde müssen an den Spulen vorbeigeführt werden, wenn deren Temperatur $50\,{{}^{\circ}}\text{C}$ nicht übersteigen soll?

22.49

••• In Abb. 22.65 sehen Sie die Prinzipschaltung eines Sägezahngenerators, wie er in Oszillographen verwendet wird. Der elektronische Schalter S schließt sich, wenn die an ihm anliegende Spannung einen bestimmten Wert $U_{\mathrm{zu}}$ erreicht, und öffnet sich, wenn die Spannung auf $0{,}200\,\text{V}$ abgesunken ist. Die Spannungsquelle gibt die Spannung $U$ ab (die viel größer als $U_{\mathrm{zu}}$ ist) und lädt den Kondensator $C$ über den Ohm’schen Widerstand $R_{1}$ auf. Der Ohm’sche Widerstand $R_{2}$ steht für den kleinen, aber endlichen Innenwiderstand des Schalters. Bei einem typischen Sägezahngenerator liegen folgende Werte vor: $U=800\,\text{V}$, $U_{\mathrm{zu}}=4{,}20\,\text{V}$, $R_{2}=1{,}00\,\text{m}\Upomega$, $R_{1}=0{,}500\,\text{M}\Upomega$ und $C=20{,}0\,\text{nF}$. a) Berechnen Sie die Zeitkonstante für die Auf‌ladung des Kondensators $C$.  b) Während der Zeit, die erforderlich ist, um die Spannung über dem Schalter von $0{,}200\,\text{V}$ auf $4{,}20\,\text{V}$ anzuheben, steigt die Spannung am Kondensator nahezu linear mit der Zeit an. Zeigen Sie dies. (Hinweis: Verwenden Sie die für $|x|\ll 1$ gültige Näherung $\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{x}\approx 1+x$. Sie geht aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für kleine Exponenten hervor.)  c) Wie groß ist $R_{1}$ zu wählen, damit der Kondensator innerhalb von $0{,}100\,\text{s}$ von $0{,}200\,\text{V}$ auf $4{,}20\,\text{V}$ aufgeladen wird? d) Wie lange dauert es nach dem Schließen des Schalters, bis sich der Kondensator entladen hat? e) Geben Sie die mittlere Rate der Wärmeerzeugung am Ohm’schen Widerstand $R_{1}$ während des Ladens und am Innenwiderstand des Schalters $R_{2}$ während des Entladens des Kondensators an.

Abb. 22.65

Zu Aufgabe 22.49

22.50

••• Gegeben sind zwei parallel geschaltete Batterien mit den Quellenspannungen $U_{\mathrm{Q,1}}$ bzw. $U_{\mathrm{Q,2}}$ und den Innenwiderständen $R_{\mathrm{in,1}}$ bzw. $R_{\mathrm{in,2}}$ sowie ein zu dieser Kombination parallel geschalteter Lastwiderstand $R$. Beweisen Sie: Der optimale Lastwiderstand (also der Wert von $R$, bei dem die Leistungsabgabe der Batterien maximal wird) ist gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle R=\frac{R_{\mathrm{in,1}}\,R_{\mathrm{in,2}}}{R_{\mathrm{in,1}}+R_{\mathrm{in,2}}}\,.\end{aligned}$$

22.51

••• Ein Gleichspannungsnetzteil mit $U=20\,\text{V}$ ohne äußere Last habe einen Innenwiderstand von $0{,}1\,\Upomega$. Wir schließen einen ungeladenen Kondensator mit $C=1000\,\upmu\text{F}$ an das Netzteil an und warten eine Weile, bis er nahezu vollständig geladen ist. a) Welche Energiemenge wurde während des Ladevorgangs im Netzteil als Verlustwärme frei? b) Wie groß ist der prozentuelle Verlust im Vergleich zur im Kondensator gespeicherten Energie?

22.52

••• Betrachten Sie die in Abb. 22.66 skizzierte Schaltung. Die Kondensatoren $C_{1}$ und $C_{2}$ sind mit einem Ohm’schen Widerstand $R$ und einer idealen Spannungsquelle (mit der Klemmenspannung $U_{0}$) verbunden. Der Schalter befand sich ursprünglich in Position $a$, und beide Kondensatoren waren entladen. Dann wurde er auf Position $b$ geschaltet; nach langer Zeit wurde schließlich zum Zeitpunkt $t=0$ zurück auf Position $a$ geschaltet. a) Vergleichen Sie quantitativ die zum Zeitpunkt $t=0$ in den Kondensatoren insgesamt gespeicherte Energie mit der lange Zeit danach in ihnen gespeicherten Energie. b) Geben Sie den Strom, der durch $R$ fließt, für $t> 0$ als Funktion der Zeit $t$ an. c) Geben Sie die dem Widerstand $R$ zugeführte Energie für $t> 0$ als Funktion der Zeit $t$ an. d) Wie groß ist die Energie, die im Ohm’schen Widerstand nach $t=0$ insgesamt dissipiert wird? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Verlust an gespeicherter Energie, den Sie in Teilaufgabe a berechnet haben.

Abb. 22.66

Zu Aufgabe 22.52

22.53

••• Abb. 22.67 zeigt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bei einer Esaki-Diode. a) Skizzieren Sie die Abhängigkeit des differenziellen Widerstands der Diode von der Spannung. Der differenzielle (oder dynamische) Widerstand $R_{\mathrm{diff}}$ eines Bauelements ist definiert als $R_{\mathrm{diff}}=\mskip 2.0mu\mathrm{d}U/\mskip 2.0mu\mathrm{d}I$; dabei ist $U$ die am Bauelement anliegende Spannung und $I$ der hindurchfließende Strom. b) Bei welchem Spannungsabfall wird der differenzielle Widerstand negativ? c) Wie groß ist der maximale differenzielle Widerstand dieser Esaki-Diode im dargestellten Spannungsbereich? Bei welcher Spannung wird er erreicht? d) Gibt es im dargestellten Bereich Werte der Spannung, bei denen der differenzielle Widerstand der Diode null ist? Wenn ja, um welche(n) Wert(e) handelt es sich?

Abb. 22.67

Zu Aufgabe 22.53

22.54

•• Ein Teilchenbeschleuniger erzeugt einen Protonenstrahl mit einer Stromstärke von $3{,}50\,\upmu\text{A}$. Jedes Proton darin hat eine Energie von $60{,}0\,\text{MeV}$. Die Protonen treffen in einer Vakuumkammer auf ein Kupfertarget mit einer Masse von 50,0 g und kommen in diesem zur Ruhe. Dabei erhitzt sich das Target. a) Wie viele Protonen treffen pro Sekunde auf das Kupfertarget auf? b) Wie viel Energie wird diesem dadurch pro Sekunde zugeführt? c) Wie lange dauert es, bis sich das Kupfertarget auf 300 ${}^{\circ}$C erhitzt hat? Vernachlässigen Sie, dass das Metall währenddessen einen kleinen Teil der Wärme wieder abgibt.

22.55

••• Stellen Sie einen Ausdruck für den Ersatzwiderstand zwischen den Punkten $a$ und $b$ bei einer unendlich ausgedehnten „Leiter“ aus Ohm’schen Widerständen auf (einen Ausschnitt der Leiter zeigt Abb. 22.68). a) Nehmen Sie zunächst an, alle Widerstände seien gleich, sodass also gilt: $R=R_{1}=R_{2}$. b) Wiederholen Sie die Aufgabe für den Fall, dass $R_{1}$ und $R_{2}$ unterschiedlich sind. c) Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie in Ihre Formel aus Teilaufgabe b nun für $R_{1}$ wie auch für $R_{2}$ jeweils $R$ einsetzen; Sie sollten dann dieselbe Formel wie in Teilaufgabe a erhalten.

Abb. 22.68

Zu Aufgabe 22.55