Die Kapazität

Zusammenfassung

Kennen Sie jemanden, der weder eine Digitalkamera noch ein Mobiltelefon (oft mit integrierter Digitalkamera) oder noch irgendein anderes transportables elektronisches Gerät besitzt? Alle diese kleinen Helfer enthalten einen oder mehrere Kondensatoren, und ein Leben ohne sie ist heute kaum noch vorstellbar. Dank Mobiltelefon gelingt es uns, trotz der heutzutage unumgänglichen Mobilität problemlos mit anderen in Kontakt zu bleiben, sogar unterwegs E-Mails zu senden.

In den bisherigen Kapiteln zur Elektrizität haben wir die Beziehung zwischen Ladungen und elektrischen Feldern und die Abhängigkeit der elektrischen Energie von der Lage der Ladungen erörtert. Im Folgenden wollen wir zeigen, wie elektrische Energie gespeichert und wieder abgegeben werden kann. Im Mittelpunkt wird dabei der Begriff der Kapazität stehen.

Die Energie für das Fotoblitzlicht dieser Kamera wurde von einer Batterie auf einen Kondensator übertragen. (© Koldunov/Getty Images/iStock.)

? Wie lässt sich ermitteln, wie viel Energie in einem Kondensator gespeichert werden kann? (Siehe Beispiel 21.3.)

Appendices

Im Kontext: „Kapazität“ – von der Schwierigkeit, elektrische Energie zu speichern

Die Speicherung elektrischer Energie gilt einerseits als aufwendig und teuer, andererseits sind Energiespeicher in immer mehr Anwendungen nicht mehr wegzudenken. Dazu gehören z. B. mobile Kommunikationsgeräte, unterbrechungsfreie Stromversorgungen, Speicher für erneuerbare Energien oder Elektrofahrzeuge. Aber neben diesen Anwendungen mit offensichtlichem Speicherbedarf finden sich Speicher nahezu unbemerkt in nahezu allen elektronischen Bauteilen und leistungselektronischen Umrichtern, die z. B. Wechselstrom in Gleichstrom verwandeln, so wie es für Batterieladegeräte oder den Betrieb von Computern und andere elektronische Geräte bis hin zu LED-Lampen notwendig ist. Zum Einsatz kommen hier Kondensatoren verschiedener Bauart, deren Speicherfähigkeit durch die Kapazität des Kondensators ausgedrückt wird. Im einfachsten Fall kann die Kapazität für einen Plattenkondensator mit parallelen Platten angegeben werden. Die Kapazität ist dabei proportional zur Größe der Platten und zur Dielektrizitätszahl des Mediums zwischen den Platten sowie umgekehrt proportional zum Abstand dieser Platten. Die gespeicherte Energie ist dann proportional zur Kapazität und zum Quadrat der Spannung.

Betrachten wir z. B. einen Folienkondensator mit einer Kapazität von 10 $\upmu$F für eine maximale Gleichspannung von 100 V, dann können damit 50 mJ Energie gespeichert werden. Folienkondensatoren bestehen aus zwei dünnen Metallfolien und einem dazwischenliegenden Dielektrikum, das auch als Isolator dient. Diese Energie reicht gerade aus, um eine LED (Light Emitting Diode) mit 1,2 lm Leuchtkraft für 1 s zum Leuchten zu bringen. Für eine Raumbeleuchtung mit LEDs wird 1000- bis 2000-mal mehr Leuchtkraft benötigt. Das ist nicht viel, aber welche Aufgaben solche Kondensatoren z. B. beim Einsatz in einer modernen Leistungselektronik vollbringen, wird deutlich bei der folgenden Betrachtung: Leistungselektronik basiert auf Halbleiterbauelementen und dient z. B. zur Umformung von Gleich- in Wechselstrom oder umgekehrt. Anwendungen sind z. B. die Ladegeräte von Smartphones und Laptops oder die Umwandlung des Gleichstroms aus Photovoltaikanlagen in den Wechselstrom des Versorgungsnetzes. Eine typische Schaltfrequenz in der Leistungselektronik liegt z. B. bei 100 kHz. Entsprechend wird der Kondensator pro Sekunde 100 000-mal ge- und entladen. Wird so eine Leistungselektronik 8 h betrieben, dann nimmt der Kondensator in dieser Zeit in knapp drei Milliarden Zyklen rund 11 kWh Energie auf und gibt sie auch wieder ab. Zum Vergleich: Ein durchschnittlicher Haushalt verbraucht etwa 10 kWh elektrische Energie pro Tag. Glücklicherweise „verbraucht“ der Kondensator die aufgenommene Energie nicht, sondern gibt sie nach kurzer Zwischenspeicherung mit sehr geringen Verlusten wieder ab. So ein Folienkondensator kostet rund 1 Euro und hat ein Volumen von rund 10 ml, also ein halbes Schnapsglas voll.

Wäre so ein Folienkondensator jetzt aber auch geeignet, um z. B. ein Smartphone mit Energie zu versorgen? Leider nein. Eine typische Akkugröße in einem Smartphone hat heute eine Kapazität von etwa 2,3 Ah (Amperestunden) mit steigender Tendenz bei 3,8 V. An der Stelle halten wir kurz inne, denn der Begriff „Kapazität“ begegnet uns hier wieder, meint jetzt aber etwas anderes. Die Kapazität eines Kondensators wird angegeben in der Einheit Farad (As$/$V). Bei Batterien wird die Kapazität aber in Coulomb, As oder Ah gemessen. Es handelt sich also um eine Ladungsmenge. In einer Batterie muss für jedes zu speichernde Elektron auf beiden Elektroden ein entsprechendes Molekül vorhanden sein, das beim Laden und Entladen jeweils verändert wird. Ein Kondensator speichert dagegen die Energie in einem elektrostatischen Feld.

Beispiele für Kondensatoren und Lithium-Ionen-Batterien in verschiedenen Bauformen mit Energiespeicherkapazitäten von 2 $\upmu$J–648 kJ. (© RWTH Aachen)

Aber zurück zum Energiespeicher für ein Smartphone. Der oben genannte Akku speichert etwa 8,7 Wh in einem Volumen von etwa 18 ml. Daraus ergibt sich eine volumetrische Energiedichte von knapp 480 Wh/l. Die Energiedichte des Folienkondensators beträgt dagegen nur etwa 1,4 mWh/l. Ein Kondensator müsste also etwa 340 000-mal größer sein als die heute verwendeten Lithium-Ionen-Akkus, um die gleiche Energiemenge zur Verfügung stellen zu können. Dafür kann der Akku dann aber auch nicht viele Milliarden Mal ge- und entladen werden, sondern je nach Qualität nur zwischen 500- und 5000-mal. Bei einer täglichen Nachladung ist das in den meisten Fällen aber auch schon genug.

Der Begriff „Kapazität“ beschreibt in seinen zwei Bedeutungen also sehr unterschiedliche Dinge. Trotz der ganz unterschiedlichen Eigenschaften sind aber sowohl die klassischen Kondensatoren als auch die Batterien aus der Elektronik und den Anwendungen, die wir täglich nutzen, nicht mehr wegzudenken. Die weitergehende Elektrifizierung des Energiesystems wird die zentrale Stellung der Kapazität in beiden Bedeutungen noch erheblich vergrößern.

Univ.-Prof. Dr. Dirk Uwe Sauer hat Physik an der TH Darmstadt studiert und dabei seine Diplomarbeit am Fraunhofer-Institut für Solare Energiesysteme ISE in Freiburg geschrieben. In insgesamt elf Jahren am Fraunhofer ISE entstand die an der Uni Ulm eingereichte Dissertation. Zudem war er als Gruppenleiter in den Bereichen Energiespeicher und netzferne Stromversorgung tätig. 2013 erfolgte der Wechsel als einer der ersten Juniorprofessoren an die RWTH Aachen (Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe, ISEA), wo er heute einen Lehrstuhl für Elektrochemische Energiewandlung und Speichersystemtechnik hat. Er beschäftigt sich mit der Integration von Batterien und Energiespeichern in Fahrzeuge, tragbare und mobile Wendungen sowie ins Stromnetz zur Integration erneuerbarer Energien und zur Optimierung eines stabilen Netzbetriebs. Ein weiterer Arbeitsschwerpunkt ist die Energiesystemanalyse mit dem Ziel, Szenarien für einen umfassenden Umbau des Energieversorgungssystems zu untersuchen.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1	Kondensator	Ein Kondensator ist ein Bauelement zum Speichern von Ladung und Energie. Er besteht aus zwei gegeneinander isolierten Leitern, die gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen tragen.
2	Elektrische Spannung	Definition der elektrischen Spannung als Potenzialdifferenz: $U=\phi_{\mathrm{b}}-\phi_{\mathrm{a}}$   (21.1)
3	Kapazität	Definition der Kapazität: $C=\frac{q}{U}$   (21.2)
	Eines einzelnen Leiters	$q$ ist die Gesamtladung des Leiters, $U$ die Spannung des Leiters, also die Differenz zwischen Leiterpotenzial und Nullpotenzial im Unendlichen.
	Eines Kondensators	$q$ ist die Ladung auf einem der Leiter, $U$ die Spannung zwischen den Leitern.
	Eines isolierten kugelförmigen Leiters	$C=4\pi\varepsilon_{0}\,r$   (21.3)
	Eines Plattenkondensators	$C=\frac{\varepsilon_{0}\,A}{d}$   (21.6)
	Eines Zylinderkondensators	$C=\frac{2\pi\varepsilon_{0}\,l}{\ln(r_{2}/r_{1})}\qquad\text{mit}\qquad r_{2}> r_{1}$   (21.7)
	Die in einem Kondensator gespeicherte Energie	$E_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2}\,q\,U=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}=\frac{1}{2}\,C\,U^{2}$   (21.8)
	Die Energiedichte des elektrischen Felds	$\textstyle w_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E^{2}$   (21.9)
4	Ersatzkapazität
	Parallelschaltung von Kondensatoren	Der Spannungsabfall über alle parallel geschalteten Kondensatoren ist gleich: $C=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\ldots$   (21.13)
	Reihenschaltung von Kondensatoren	Die Spannungsabfälle über in Reihe geschaltete Kondensatoren addieren sich. Wenn die Gesamtladung auf jedem verbundenen Plattenpaar null ist, gilt: $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}+\ldots$   (21.17)
5	Dielektrika
	Makroskopisches Verhalten	Ein nichtleitendes Material wird Dielektrikum genannt. Wenn zwischen die Platten eines Kondensators ein Dielektrikum eingeführt wird, wird das elektrische Feld im Dielektrikum geschwächt und die Kapazität dabei um den Faktor $\varepsilon_{\text{rel}}$ erhöht. $\varepsilon_{\text{rel}}$ heißt relative Dielektrizitätskonstante.
	Mikroskopische Betrachtung	Das elektrische Feld im Dielektrikum eines Kondensators wird geschwächt, da die (sowohl zuvor vorhandenen als auch induzierten) Dipolmomente der Moleküle dazu neigen, sich im Feld auszurichten. Dadurch erzeugen sie im Dielektrikum ein elektrisches Feld, das dem angelegten Feld entgegengesetzt gerichtet ist. Das ausgerichtete Dipolmoment des Dielektrikums ist proportional zum angelegten Feld.
	Elektrisches Feld im Inneren	$E=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{\mathrm{rel}}}$   (21.18)
	Wirkung auf die Kapazität	$C=\varepsilon_{\mathrm{rel}}\,C_{0}$   (21.19)
	Dielektrizitätskonstante $\varepsilon$	$\varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{rel}}\,\varepsilon_{0}$   (21.21)
	Anwendungen von Dielektrika	1. Erhöhung der Kapazität 2. Erhöhung der Durchschlagfestigkeit 3. Physikalische Trennung der Leiter
6	* Piezoelektrischer Effekt	In bestimmten Kristallen, die polare Moleküle enthalten, polarisiert mechanischer Druck die Moleküle, sodass sich über den Kristall eine Spannung aufbaut. Umgekehrt erzeugt eine angelegte Spannung eine mechanische Verformung (Deformation) im Kristall.
7	* Pyroelektrischer Effekt	In bestimmten Kristallen ändert eine Temperaturzunahme die Polarisation des Materials, was zur Entstehung einer Spannung über den Kristall führt.

Antworten auf die Kurzfragen

• 21.1 $C_{2}=C_{1}$. Die Kapazität hängt nicht von der Ladung ab. Wenn die Ladung verdreifacht wird, verdreifacht sich das Potenzial der Kugel, während sich das nur vom Radius der Kugel abhängige Verhältnis $q/U$ nicht ändert.

• 21.2 Die Kapazität eines Kondensators hängt nicht vom Potenzial ab. Um die Spannung $U$ zu erhöhen, muss die Ladung $q$ erhöht werden und umgekehrt. Das Verhältnis $q/U$ hängt nur von der Geometrie des Kondensators und von der Art des Dielektrikums zwischen den Platten ab.

• 21.3 Die Gesamtladung ist gleich geblieben. Die Übertragung von Ladung durch eine Batterie lässt sich mit der Funktion einer Wasserpumpe vergleichen, die Wasser überträgt. Die Ladungsmenge in einer Batterie ändert sich ebenso wenig wie die Wassermenge in einer Wasserpumpe.

• 21.4 Sie hat einen negativen Wert.

• 21.5 Ja. Die Kapazität ist als $C=q/U$ definiert. Damit ist die Kapazität $C$ eines isolierten geladenen Kondensators, dessen Ladung $q$ konstant ist, umgekehrt proportional zur Spannung $U$. Wird ein Dielektrikum in einen isolierten Kondensator eingeführt, führen die auf der Oberfläche des Dielektrikums erzeugten gebundenen Oberflächenladungen zu einer verringerten elektrischen Feldstärke im Dielektrikum. Da die Spannung direkt proportional zur elektrischen Feldstärke ist, bedeutet eine verringerte elektrische Feldstärke eine verringerte Spannung und eine erhöhte Kapazität.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 21.1 $A=1{,}1\cdot 10^{8}\,\text{m}^{2}$; dies entspricht einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 11 km.

• 21.2 $21\,\text{V}$

• 21.3 a) $C_{0}=87\,\text{pF}$, b) $C_{0}=50\,\text{pF}$

• 21.4 $\textstyle E_{\mathrm{el}}=\textstyle\frac{1}{2}\,\sum^{n}_{i=1}q_{i}\,U_{i}=\frac{1}{2}\,q_{1}\,U_{1}+\frac{1}{2}\,q_{2}\,U_{2}$ $\hphantom{\textstyle E_{\mathrm{el}}}=\textstyle\frac{1}{2}\,(-q)\,U_{1}+\frac{1}{2}\,(+q)\,(U_{1}+U)=\frac{1}{2}\,q\,U$

• 21.5 a) $w_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E^{2}=160\,\upmu\mathrm{J/m}^{3}$, b) $\Updelta\text{Vol}=A\,\Updelta d=2{,}9\cdot 10^{-5}\,\text{m}^{3}$, $w_{\mathrm{el}}\,\Updelta\text{Vol}=4{,}7\,\text{nJ}$in Übereinstimmung mit Beispiel 21.3

• 21.6 $54\,\upmu\text{C}$

• 21.7 4,0 V

• 21.8 a) 50 $\upmu$F, b) 12 $\upmu$F

• 21.9 $E_{\mathrm{el,A}}=q_{2}/(C_{1})+q_{2}/(C_{2})$, mit $q=48\,\upmu\text{C}$. Somit ist $E_{\mathrm{el,A}}=288\,\upmu\text{J}$. $E_{\mathrm{el,E}}=q_{1}^{2}/(2C_{1})+q_{2}^{2}/(2C_{2})=256\,\upmu\text{J}$.

• 21.10 $E_{\mathrm{el,2}}=4{,}0\upmu\text{J}$, $E_{\mathrm{el,3}}=24\,\upmu\text{J}$, $E_{\mathrm{el,4}}=8{,}0\,\upmu\text{J}$. Beachten Sie, dass $E_{\mathrm{el,2}}+E_{\mathrm{el,3}}+E_{\mathrm{el,4}}=36\,\upmu\text{J}=\frac{1}{2}\,q\,U=\frac{1}{2}\,q^{2}/C=\frac{1}{2}\,C\,U^{2}$ ist.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

21.1

• Ein Plattenkondensator ist an eine Batterie angeschlossen. Der Raum zwischen den Platten ist leer. Nun wird der Abstand der Kondensatorplatten bei weiterhin angeschlossener Batterie verdreifacht. Wie ist das Verhältnis der am Ende gespeicherten Energie zu der am Anfang gespeicherten Energie?

21.2

• Wie ändert sich das Verhältnis der gespeicherten Energien in dem Kondensator aus Aufgabe 21.1, wenn dieser von der Batterie getrennt wird, bevor der Abstand der Platten verdreifacht wird?

21.3

• Zwei ungeladene Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_{0}$ und $2\,C_{0}$ sind in Reihe geschaltet. Diese Reihenschaltung wird dann an die Anschlüsse einer Batterie angeschlossen. Welche der folgenden Aussagen ist dann richtig? a) Der Kondensator mit der Kapazität $2\,C_{0}$ wird mit der doppelten Ladung geladen wie der Kondensator $C_{0}$. b) Die Spannungen über beiden Kondensatoren sind gleich. c) Die in jedem Kondensator gespeicherten Energien sind gleich. d) Die Ersatzkapazität ist $3\,C_{0}$. e) Die Ersatzkapazität ist $2\,C_{0}/3$.

21.4

•• Wir betrachten zwei Kondensatoren A und B mit gleichen Plattenflächen und Zwischenräumen (Abb. 21.34). Der Raum zwischen den Platten jedes Kondensators ist, wie gezeigt, zur Hälfte mit einem Dielektrikum gefüllt. Hat der Kondensator A oder der Kondensator B die höhere Kapazität? Erläutern Sie Ihre Antwort.

Abb. 21.34

Zu Aufgabe 21.4

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

21.5

•• Es soll ein Stickstoff-Pulslaser entwickelt werden. Die für den Betrieb eines solchen Lasers erforderlichen hohen Energiedichten werden durch Entladung von Hochspannungskondensatoren erzeugt. Pro Puls (d. h. pro Entladung) wird üblicherweise eine Energie von 100 J benötigt. Schätzen Sie die Kapazität ab, die benötigt wird, wenn die Entladung einen Funken über eine 1,0 cm lange Funkenstrecke erzeugen soll. Nehmen Sie dabei an, dass die Durchschlagspannung von Stickstoff dieselbe wie die von Luft ist.

21.6

•• Schätzen Sie die Kapazität er in Abb. 21.35 gezeigten Leidener Flasche ab. Die Figur hat knapp $1/10$ der Größe eines durchschnittlichen Mannes.

Abb. 21.35

Zu Aufgabe 21.6

1.3 Kapazität

21.7

•• Sie schneiden zwei DIN A4 große Stücke Aluminiumfolie aus, legen ein Blatt herkömmliches 80-g-Papier dazwischen und pressen den Stapel zusammen. a) Welche Kapazität hat der resultierende Kondensator ungefähr? b) Welche Induktivität müsste eine Spule haben, damit Sie aus beidem einen behelfsmäßigen Kurzwellenempfänger konstruieren können?

21.8

•• Zwei isolierte leitende Kugeln mit dem gleichen Radius $r$ haben die Ladungen $+q$ und $-q$. Der Abstand $d$ der Mitten der beiden Kugeln ist groß gegenüber ihrem Radius. Geben Sie einen angenäherten Ausdruck für die Kapazität dieses etwas ungewöhnlichen Kondensators an.

1.4 Die Speicherung elektrischer Energie

21.9

• Ein 185-$\upmu$F-Kondensator wird auf 200 V geladen. Welche Energie ist anschließend in ihm gespeichert?

21.10

•• Gegeben sind eine Metallvollkugel mit einem Radius von 10,0 cm und eine zu ihr konzentrische Metallhohlkugel mit einem Innenradius von 10,5 cm. Die Vollkugel trägt eine Ladung $q=\text{5,00\,nC}$.  a) Schätzen Sie die Energie ab, die in dem elektrischen Feld im Gebiet zwischen den Kugeln gespeichert ist. (Hinweis: Sie können die Kugeloberflächen im Wesentlichen als parallele ebene Platten im Abstand von 0,5 cm behandeln.) b) Schätzen Sie die Kapazität des Doppelkugelsystems ab.  c) Schätzen Sie mithilfe der Beziehung $\frac{1}{2}\,q^{2}\!/C$ die im elektrischen Feld gespeicherte Gesamtenergie ab und vergleichen Sie sie mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a.

21.11

•• Ein Plattenkondensator, dessen Platten eine Fläche von $\text{500\,cm}^{2}$ haben, ist an die Anschlüsse einer Batterie angeschlossen. Nach einer gewissen Zeit wird er von der Batterie getrennt. Anschließend werden die Platten um 0,40 cm voneinander wegbewegt. Während die Ladung auf jeder Platte gleich bleibt, steigt die Potenzialdifferenz zwischen den Platten um 100 V an. a) Wie groß ist der Betrag der Ladung auf jeder Platte? b) Erwarten Sie, dass die in dem Kondensator gespeicherte Energie zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt, während die Platten auseinandergezogen werden? Erläutern Sie Ihre Antwort. c) Untermauern Sie Ihre Antwort von Teilaufgabe b, indem Sie bestimmen, wie sich die in dem Kondensator gespeicherte Energie durch die Bewegung der Platten ändert.

1.5 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

21.12

• a) Wie viele parallelgeschaltete 1,00-$\upmu$F-Kondensatoren sind erforderlich, um bei einer Spannung von 10,0 V über jedem Kondensator eine Gesamtladung von 1,00 mC zu speichern? Zeichnen Sie die Parallelschaltung. b) Wie groß ist hierbei die Spannung über allen parallelgeschalteten Kondensatoren? c) Ermitteln Sie die Ladung auf jedem Kondensator sowie die Spannung über der Kondensatoranordnung, wenn die Kondensatoren von Teilaufgabe a entladen, dann in Reihe geschaltet und anschließend so lange geladen werden, bis die Spannung über jedem von ihnen 10,0 V beträgt.

21.13

•• Drei gleiche Kondensatoren werden so zusammengeschaltet, dass ihre maximal mögliche Ersatzkapazität von 15,0 $\upmu$F erreicht wird. a) Ermitteln Sie, wie die Kondensatoren zusammengeschaltet werden, und skizzieren Sie die Schaltung. b) Es gibt drei weitere Möglichkeiten, die Kondensatoren zusammenzuschalten. Skizzieren Sie diese weiteren Möglichkeiten und ermitteln Sie die Ersatzkapazität jeder Schaltung.

21.14

•• a) Zeigen Sie, dass die Ersatzkapazität zweier in Reihe geschalteter Kondensatoren durch

$$\begin{aligned}\displaystyle C=\frac{C_{1}\,C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\end{aligned}$$

ausgedrückt werden kann. b) Zeigen Sie allein anhand dieses Ausdrucks durch algebraische Rechenoperationen, dass $C$ stets kleiner als $C_{1}$ und als $C_{2}$ und somit auch kleiner als der kleinere dieser beiden Werte sein muss. c) Zeigen Sie, dass die Ersatzkapazität dreier in Reihe geschalteter Kondensatoren durch

$$\begin{aligned}\displaystyle C=\frac{C_{1}\,C_{2}\,C_{3}}{C_{1}\,C_{2}+C_{2}\,C_{3}+C_{1}\,C_{3}}\end{aligned}$$

ausgedrückt werden kann. d) Zeigen Sie allein anhand dieses Ausdrucks durch algebraische Rechenoperationen, dass $C$ stets kleiner als $C_{1}$, $C_{2}$ und $C_{3}$ und somit kleiner als der kleinste der drei Werte sein muss.

21.15

•• Es soll ein Kondensatornetz mit einer Ersatzkapazität von 2,00 $\upmu$F und einer Durchschlagspannung von 400 V konstruiert werden. Zur Verfügung stehen nur Kondensatoren mit einer Kapazität von 2,00$\leavevmode\nobreak\ \upmu$F und einer Durchschlagspannung von 100 V. Skizzieren Sie die Schaltung.

1.6 Plattenkondensatoren

21.16

• Ein 89-pF-Plattenkondensator wird mit einem Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{\mathrm{rel}}=2{,}0$ gefüllt. a) Wie groß ist danach seine Kapazität? b) Bestimmen Sie die Ladung auf dem Kondensator mit eingeführtem Dielektrikum, wenn dieser an eine 12-V-Batterie angeschlossen ist.

21.17

• Der Kondensator aus der vorigen Aufgabe wird nun ohne Dielektrikum auf 12 V geladen und anschließend von der Batterie getrennt. Danach wird das Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{\mathrm{rel}}=2{,}0$ eingeführt. Welchen Wert haben dann a) die Ladung $q$, b) die Spannung $U$ und c) die Kapazität $C$?

21.18

• Ein Plattenkondensator hat die Kapazität 2,00 $\upmu$F und den Plattenabstand 1,60 mm. a) Wie groß kann die maximale Spannung zwischen seinen Platten sein, ohne dass es in der Luft zwischen den Platten zum dielektrischen Durchschlag kommt? b) Welche Ladung ist bei dieser Spannung gespeichert?

21.19

•• Konstruieren Sie einen luftgefüllten Plattenkondensator mit einer Kapazität von 0,100 $\upmu$F, der auf eine maximale Spannung von 1000 V geladen werden kann, ohne dass es zum dielektrischen Durchschlag kommt. a) Wie groß muss der Abstand zwischen den Platten mindestens sein? b) Welchen Flächeninhalt muss jede Platte des Kondensators mindestens haben?

1.7 Zylinderkondensatoren

21.20

• Gegeben ist ein Geiger-Müller-Zählrohr, dessen Mitteldraht die Länge 12,0 cm und den Radius 0,200 mm hat. Der Mantel des Rohrs ist ein leitender Hohlzylinder mit dem Innenradius 1,50 cm. Der Zylinder ist koaxial zum Draht und hat dieselbe Länge wie dieser. Berechnen Sie a) die Kapazität des Rohrs unter der Annahme, dass das Gas im Rohr die relative Dielektrizitätskonstante $\varepsilon_{\mathrm{rel}}=1{,}00$ hat, und b) die lineare Ladungsdichte auf dem Draht, wenn zwischen ihm und dem Hohlzylinder eine Spannung von 1,20 kV herrscht.

21.21

••• Ein Goniometer ist ein Präzisions-Winkelmessinstrument. Abb. 21.36a zeigt ein kapazitives Goniometer. Jede Platte des Drehkondensators besteht aus einem flachen Metallhalbkreis mit dem Innenradius $r_{1}$ und dem Außenradius $r_{2}$ (Abb. 21.36b). Die Platten haben eine gemeinsame Drehachse; der Luftspalt zwischen ihnen hat eine Dicke $d$. Ermitteln Sie die Kapazität in Abhängigkeit vom Winkel $\theta$ und von den anderen genannten Parametern.

Abb. 21.36

Zu Aufgabe 21.21

1.8 Kugelkondensatoren

21.22

•• Ein Kugelkondensator besteht aus einer dünnen Hohlkugel mit dem Radius $r_{\mathrm{1}}$ und einer zu ihr konzentrischen dünnen Hohlkugel mit dem Radius $r_{\mathrm{2}}$, wobei $r_{2}> r_{1}$ ist. a) Zeigen Sie, dass er die Kapazität $C=4\pi\varepsilon_{0}\,r_{\mathrm{1}}\,r_{\mathrm{2}}/(r_{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{1}})$ hat. b) Zeigen Sie, dass die Kapazität (mit $A$ als Oberflächeninhalt der Kugel und der Beziehung $d=r_{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{1}}$) näherungsweise durch den Ausdruck $C=\varepsilon_{0}\,A/d$ für die Kapazität eines Plattenkondensators gegeben ist, wenn die Hohlkugeln nahezu gleiche Radien haben.

21.23

• Wie groß ist der Radius eines kugelförmigen Leiters mit einer Kapazität von 1,0 F?

1.9 Getrennte und wieder verbundene Kondensatoren

21.24

•• Ein 2,00-$\upmu$F-Kondensator wird auf eine Spannung von 12,0 V geladen. Anschließend werden die Drähte, die den Kondensator mit der Batterie verbinden, von der Batterie getrennt und an einen zweiten, zunächst ungeladenen Kondensator angeschlossen. Daraufhin sinkt die Spannung über dem 2,00-$\upmu$F-Kondensator auf 4,00 V. Wie groß ist die Kapazität des zweiten Kondensators?

21.25

•• Ein 20-pF-Kondensator wird auf 3,0 kV aufgeladen. Anschließend wird er von der Batterie getrennt und mit einem ungeladenen 50-pF-Kondensator verbunden. a) Wie groß ist danach die Ladung auf jedem Kondensator? b) Wie groß ist die Energie, die im 20-pF-Kondensator gespeichert ist, bevor er von der Batterie getrennt wird, sowie die Energie, die in beiden Kondensatoren gespeichert ist, nachdem sie miteinander verbunden wurden? Nimmt die gespeicherte Energie zu oder ab, wenn die beiden Kondensatoren miteinander verbunden werden?

1.10 Dielektrika

21.26

••

Der Mitteldraht eines bestimmten Geiger-Müller-Zählrohrs hat den Radius 0,200 mm und die Länge 12,0 cm. Der Mantel des Rohrs ist ein leitender Hohlzylinder mit dem Innenradius 1,50 cm. Der Hohlzylinder ist koaxial zu dem Draht und hat dieselbe Länge wie dieser. Das Rohr ist mit einem Gas mit der relativen Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{\mathrm{rel}}=1{,}08$ und einer Durchschlagfestigkeit von $\mathrm{2{,}00\cdot 10^{6}\,V/m}$ gefüllt. a) Welche maximale Spannung kann zwischen dem Draht und dem Hohlzylinder aufrechterhalten werden? b) Wie groß ist die maximale Ladung pro Längeneinheit auf dem Draht?

21.27

•• Es wurde ein Dielektrikum mit der außergewöhnlich hohen relativen Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{\mathrm{rel}}=24$ und einer Durchschlagfestigkeit von $\mathrm{4{,}0\cdot 10^{7}\,V/m}$ entwickelt. Mit diesem Dielektrikum soll ein 0,10-$\upmu$F-Plattenkondensator gebaut werden, der eine Spannung von 2,0 kV aushält. a) Wie groß muss der Plattenabstand dabei mindestens sein? b) Welchen Flächeninhalt muss jede Platte bei diesem Abstand haben?

21.28

•• Die Membran des Axons einer Nervenzelle kann als dünner Hohlzylinder mit dem Radius $\mathrm{1{,}00\cdot 10^{-5}\,m}$, der Länge 10,0 cm und der Dicke 10,0 nm modelliert werden. Auf der einen Seite der Membran sitzt eine positive Ladung und auf der anderen eine negative. Die Membran wirkt im Grunde wie ein Plattenkondensator mit dem Flächeninhalt $2\pi r\,l$ und dem Plattenabstand $d$. Nehmen Sie an, dass die Membran mit einem Material mit einer Dielektrizitätskonstanten von 3,00 gefüllt ist. a) Wie groß ist die Kapazität der Membran? Ermitteln Sie b) die Ladung auf der positiv geladenen Seite der Membran sowie c) die elektrische Feldstärke in der Membran, wenn über ihr eine Spannung von 70,0 mV herrscht.

21.29

•• Die positiv geladene Platte eines Plattenkondensators trägt die Ladung $q$. Wenn der Zwischenraum zwischen den Platten luftleer ist, beträgt die elektrische Feldstärke zwischen ihnen $2{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{V/m}$. Nachdem der Zwischenraum mit einem bestimmten Dielektrikum gefüllt wurde, sinkt die Feldstärke zwischen den Platten auf $1{,}2\cdot 10^{5}\,\mathrm{V/m}$.  a) Wie groß ist die relative Dielektrizitätskonstante des Dielektrikums? b) Wie groß ist der Flächeninhalt der Platten bei $q=\text{10\,nC}$?  c) Wie groß ist die insgesamt induzierte gebundene Ladung auf jeder Seite des Dielektrikums?

1.11 Allgemeine Aufgaben

21.30

• Gegeben sind vier gleiche Kondensatoren und eine 100-V-Batterie. Wenn lediglich einer der Kondensatoren mit der Batterie verbunden ist, ist in ihm die Energie $E_{\mathrm{el,0}}$ gespeichert. Schalten Sie die vier Kondensatoren so zusammen, dass die in allen vier Kondensatoren insgesamt gespeicherte Gesamtenergie gleich $E_{\mathrm{el,0}}$ ist. Beschreiben Sie die Schaltung und erläutern Sie Ihre Antwort.

21.31

•• Bestimmen Sie die Ersatzkapazität jedes der in Abb. 21.37 gezeigten Kondensatornetze, ausgedrückt durch $C_{0}$.

Abb. 21.37

Zu Aufgabe 21.31

21.32

•• Abb. 21.38 zeigt vier Kondensatoren, die in einer sogenannten Kondensatorbrücke zusammengeschaltet sind. Anfangs sind die Kondensatoren ungeladen. Welche Beziehung muss zwischen den vier Kapazitäten gelten, damit die Spannung zwischen den Punkten $c$ und $d$ null bleibt, wenn zwischen den Punkten $a$ und $b$ eine Spannung $U$ angelegt wird?

Abb. 21.38

Zu Aufgabe 21.32

21.33

•• Eine Parallelschaltung zweier gleicher 2,00-$\upmu$F-Plattenkondensatoren (ohne Dielektrikum im Zwischenraum zwischen den Platten) wird an eine 100-V-Batterie angeschlossen. Anschließend wird die Verbindung zur Batterie getrennt und der Abstand zwischen den Platten eines der Kondensatoren verdoppelt. Ermitteln Sie die Ladung auf der positiv geladenen Platte jedes Kondensators.

21.34

•• Ein Plattenkondensator mit einer Plattenfläche $A$ ist, wie in Abb. 21.39 gezeigt, mit zwei Dielektrika mit gleichen Abmessungen gefüllt. a) Zeigen Sie, dass dieses System als zwei Kondensatoren modelliert werden kann, die parallelgeschaltet sind und jeweils die Fläche $A/2$ haben. b) Zeigen Sie, dass die Kapazität durch $\frac{1}{2}\,(\varepsilon_{\mathrm{rel,1}}+\varepsilon_{\mathrm{rel,2}})\,C_{0}$ gegeben ist, wobei $C_{0}$ die Kapazität ist, wenn sich in dem Raum zwischen den Platten kein Dielektrikum befindet.

Abb. 21.39

Zu Aufgabe 21.34

21.35

•• Die Platten eines Plattenkondensators haben den Abstand $d_{0}$ voneinander und jeweils die Fläche $A$. Zwischen die Platten wird parallel zu ihnen eine Metallschicht mit der Dicke $d$ und der Fläche $A$ eingeführt. a) Zeigen Sie, dass die Kapazität danach – unabhängig vom Abstand zwischen der Metallschicht und der positiv geladenen Platte – stets durch $C=\varepsilon_{0}\,A/(d_{0}-d)$ gegeben ist. b) Zeigen Sie, dass diese Anordnung als ein Kondensator mit dem Plattenabstand $a$ modelliert werden kann, der mit einem zweiten Kondensator mit dem Plattenabstand $b$ in Reihe geschaltet ist, wobei $a+b+d=d_{0}$ gilt.

21.36

••• Ein elektrisch isolierter Kondensator mit der Ladung $q$ auf seiner positiv geladenen Platte ist, wie in Abb. 21.40 gezeigt, teilweise mit einer dielektrischen Substanz gefüllt. Der Kondensator enthält zwei quadratische Platten mit der Seitenlänge $a$ und dem Abstand $d$ voneinander. Das Dielektrikum ist längs der Strecke $x$ in den Zwischenraum eingeführt. a) Ermitteln Sie die in dem Kondensator gespeicherte Energie. (Hinweis: Der Kondensator kann als zwei parallelgeschaltete Kondensatoren modelliert werden.)  b) Da die Energie des Kondensators mit wachsendem $x$ abnimmt, muss das elektrische Feld an dem Dielektrikum Arbeit verrichten. Somit muss es eine elektrische Kraft geben, die das Dielektrikum hineinzieht. Ermitteln Sie diese Kraft, indem Sie untersuchen, wie sich die gespeicherte Energie mit der Strecke $x$ ändert. c) Drücken Sie die Kraft durch die Kapazität und die Spannung $U$ zwischen den Platten aus. d) Woher rührt diese Kraft?

Abb. 21.40

Zu Aufgabe 21.36

21.37

••• Abb. 21.41 zeigt eine kapazitive Waage. An einer Seite der Waage ist ein Gewichtsstück angebracht, während an der anderen ein Kondensator befestigt ist, dessen Plattenzwischenraum verändert werden kann. Nehmen Sie an, dass die Masse der oberen Platte des Kondensators vernachlässigt werden kann. Wenn die Kondensatorspannung zwischen den Platten $U_{0}$ ist, ist die Anziehungskraft zwischen den Platten mit der Gewichtskraft der angehängten Masse im Gleichgewicht. a) Ist die Waage stabil? Betrachten Sie dazu den Fall, dass die Waage zunächst im Gleichgewicht ist und anschließend die Platten etwas zusammengedrückt werden. Stabil ist die Waage dann, wenn die Platten nun nicht zusammenklappen, sondern ins Gleichgewicht zurückkehren. b) Ermitteln Sie die Spannung $U_{0}$, die für ein Gleichgewicht mit einer Masse $m$ erforderlich ist, wenn die Platten den Abstand $d_{0}$ und den Flächeninhalt $A$ haben. Hinweis: Sie können dabei die Tatsache ausnutzen, dass die Kraft zwischen den Platten gleich der Ableitung der gespeicherten Energie nach dem Plattenabstand ist.

Abb. 21.41

Zu Aufgabe 21.37

21.38

••• Sie sollen einen luftgefüllten Plattenkondensator für Pulslaser konstruieren, der eine Energie von 100 kJ speichern kann. a) Welches Volumen muss der Zwischenraum zwischen den Platten mindestens haben? b) Nehmen Sie an, Sie hätten ein Dielektrikum mit der Durchschlagfestigkeit $3{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{V/m}$ und der relativen Dielektrizitätskonstanten 5,00 entwickelt. Welches Volumen muss dieses Dielektrikum zwischen den Platten einnehmen, damit der Kondensator eine Energie von 100 kJ speichern kann?

21.39

••• Die Platten eines luftgefüllten Plattenkondensators mit einem Plattenabstand $d$ haben jeweils einen Flächeninhalt $A$. Der Kondensator wird auf eine Spannung $U$ geladen und anschließend von der Spannungsquelle getrennt. Nun wird, wie in Abb. 21.42 gezeigt, ein Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten $2{,}00$, einer Dicke $d$ und einem Flächeninhalt $A/2$ eingeführt. Wir bezeichnen die Dichte der freien Ladungen auf der Grenzfläche zwischen Leiter und Dielektrikum mit $\sigma_{1}$ und die Dichte der freien Ladungen auf der Grenzfläche zwischen Leiter und Luft mit $\sigma_{2}$.  a) Erläutern Sie, weshalb das elektrische Feld im Dielektrikum den gleichen Wert wie im leeren Raum zwischen den Platten haben muss. b) Zeigen Sie, dass $\sigma_{1}=2\,\sigma_{2}$ ist. c) Zeigen Sie, dass die Kapazität nach dem Einführen des Dielektrikums 1,50-mal so groß ist wie die Kapazität des luftgefüllten Kondensators. d) Zeigen Sie, dass die Potenzialdifferenz nach Einführen des Dielektrikums $\frac{2}{3}\,U$ ist. e) Zeigen Sie, dass die nach dem Einführen des Dielektrikums gespeicherte Energie nur $\frac{2}{3}$ der zuvor gespeicherten Energie beträgt.

Abb. 21.42

Zu Aufgabe 21.39

21.40

••• Nicht alle Dielektrika zwischen den Platten von Kondensatoren sind starr. So ist z. B. die Membran eines Nervenaxons eine Lipid-Doppelschicht mit endlicher Kompressibilität. Wir betrachten als Modell einen Plattenkondensator, dessen Plattenabstand durch ein Material mit der Dielektrizitätskonstanten 3,00, der Durchschlagfestigkeit 40,0 kV$/$mm und dem Elastizitätsmodul $5{,}00\cdot 10^{6}\,\mathrm{N/m}^{2}$ aufrechterhalten wird. Wenn die Spannung zwischen den Kondensatorplatten null ist, ist die Dicke des Dielektrikums 0,200 mm, wobei der Kondensator die Kapazität $C_{0}$ hat. a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Kapazität als Funktion der Spannung zwischen den Kondensatorplatten her. b) Wie groß ist der Maximalwert der Spannung? (Gehen Sie davon aus, dass sich die Dielektrizitätskonstante und die Durchschlagfestigkeit bei Kompression nicht ändern.)