Wärme und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

Zusammenfassung

Die Beziehung zwischen einer Erwärmung eines Systems, einer an ihm verrichteten Arbeit und einer Änderung seiner inneren Energie wird durch den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben. In Teil I dieses Buches haben wir die Bewegung besprochen, nun wenden wir uns der Rolle zu, die die Wärme beim Erzeugen einer Bewegung spielt, sei es bei den zyklischen Bewegungen der Kolben in Motoren oder auch bei den Wassertropfen, die an einem heißen Tag an einem Glas mit kalter Limonade herunterlaufen.

Fahrradreifen für Rennräder müssen auf einen deutlich höheren Druck aufgepumpt werden als PKW-Reifen. (© Gorfer/Getty Images/iStock.)

? Warum ist beim Aufpumpen eines Fahrradreifens Arbeit aufzuwenden? (Siehe Beispiel 15.10.)

Appendices

Im Kontext: Respirometrie: Atmung und Wärmeumsatz

Mithilfe der Kalorimetrie, die in diesem Kapitel beschrieben wurde, kann auch der Energieumsatz von Organismen untersucht werden. Wilber O. Atwater, der erste Direktor der Experimentalinstitute des US-Landwirtschaftsministeriums,¹ initiierte das überaus ehrgeizige Unterfangen, den mittleren Energieumsatz der Bürger zu ermitteln. Dazu mussten Nahrungsmittel und Wasser, die sie zu sich nahmen, genauestens analysiert und ihre Ausscheidungen zur Analyse verbrannt werden. Zudem waren Temperatur, Luftzusammensetzung und Feuchtigkeit in der kleinen Kammer zu erfassen, in der die jeweilige Versuchsperson während der Experimente zu leben hatte.² Die Kammer war thermisch isoliert und innen mit Kupfer ausgekleidet, das von kupfernen Wasserröhren durchzogen war. Diese dienten zum exakten Erfassen der abgegebenen Wärme und enthielten kleine Thermometer.³ Zudem waren feine Heizdrähte eingebaut, mit denen ggf. die Temperatur geregelt werden konnte. Jegliche Änderung der Lufttemperatur in der Kammer konnte nur von der darin befindlichen Person verursacht worden sein und erlaubte Rückschlüsse auf deren Energieabgabe. Zur Messung der Lufttemperatur dienten empfindliche Thermometer, die in der Kammer aufgehängt waren.

Pro Liter eingeatmeten Sauerstoffs werden im menschlichen Organimus etwa 21 J Energie umgesetzt. Hier wird der Sauerstoffverbrauch eines Probanden auf dem Laufband gemessen. (© Philippe Psaila/Photo Researchers, Inc.)

Dieses Verfahren lieferte gute Ergebnisse für den Energieumsatz der Personen in Ruhe wie auch in Aktion, war aber teuer und schwierig zu handhaben. Daher ging man zu einer sozusagen indirekten Kalorimetrie über, indem man die Atemluft untersuchte; man spricht hierbei von der Respirometrie. Weitere Untersuchungen ergaben, dass über 95 % des menschlichen Energieumsatzes⁴ zuverlässig zu ermitteln sind, wenn die Mengen des eingeatmeten Sauerstoffs und des ausgeatmeten Kohlendioxids gemessen werden.⁵ Inzwischen wird davon ausgegangen, dass einem Liter eingeatmeten Sauerstoffs ein Energieumsatz von ungefähr 5 kcal bzw. 21 J entspricht.⁶ Je nach der verwendeten Messvorrichtung kann das Sauerstoffvolumen aus dem Partialdruck des Sauerstoffs in der eingeatmeten Luft berechnet oder direkt beim Einatmen ermittelt werden.

Die Respirometrie ist äußerst nützlich, da sie die schnellste Methode darstellt, den Energieumsatz von Organismen zu bestimmen. Mit entsprechenden Modifikationen kann sie auch bei Großvieh⁷, Geflügel⁸, exotischen Tieren⁹ und sogar bei Klärschlamm¹⁰ angewandt werden. In letzter Zeit zog man die Respirometrie auch heran, wenn zu ermitteln war, ob Kompost reif genug ist, um dem Boden zugeführt zu werden. Bei hoher Geschwindigkeit des Gasaustauschs ist die Aktivität der Bakterien noch hoch, und der Kompost ist noch nicht reif genug.¹¹

Im medizinischen Bereich unterstützt die Respirometrie eine genaue Anpassung der Ernährung, insbesondere bei schwer verletzten oder schwer kranken Patienten.${}^{12{,}13}$ Tragbare Respirometer erlauben eine schnelle und trotzdem ausreichend genaue Messung des Energiebedarfs, sei es bei Sportlern, beispielsweise im Fitnesscenter, oder bei Diätpatienten.¹⁴ Zudem wird mit solchen Messungen die Gewichtskontrolle unterstützt.

Schließlich ist die Respirometrie auch hilfreich, wenn die öffentliche Gesundheit zu bewerten ist oder Ernährungsstandards zu etablieren sind. Bei einer Studie wurde verglichen, wie sich der Energiebedarf von kaum aktiven bzw. von aktiven Erwachsenen zu verschiedenen Ernährungsstandards verhält. Dabei zeigte sich, dass der eine Standard einer höheren Energieaufnahme entsprach, als die Erwachsenen tatsächlich benötigten.¹⁵ Indem die indirekte Kalorimetrie immer preiswerter wird, erleichtert sie die Untersuchung des Energiebedarfs der Bevölkerung in den unterschiedlichsten Ländern der Erde.

• 1. Swan, P., „100 Years Ago“, Nutrition Notes of the American Society for Nutrition Sciences, Juni 2004, 40, Nr. 2, S. 4–5. http://www.nutrition.org/media/publications/nutrition-notes/nnjun04a.pdf (Stand: März 2009).

• 2. Atwater, W. O., A Respiration Calorimeter with Appliances for the Direct Determination of Oxygen. Washington, D.C.: Carnegie Institution, 1905.

• 3. Morrison, P. und Morrison, P., „Laws of Calorie Counting“, Scientific American, Aug. 2000, S. 93+.

• 4. Ferrannini, E., „The Theoretical Bases of Indirect Calorimetry: A Review“, Metabolism, März 1988, 37, Nr. 3, S. 287–301.

• 5. Mansell, P. I. und MacDonald, I. A., „Reappraisal of the Weir Equation for Calculation of Metabolic Rate“, AIP – Regulatory, Integrative and Comparative Physiology, Juni 1990, 258, Nr. 6, S. R1347–R1354.

• 6. Food and Nutrition Board, Dietary Reference Intakes for Energy, Carbohydrate, Fiber, Fat, Fatty Acids, Cholesterol, Protein, and Amino Acids. Washington, D.C.: National Academies Press, 2005, S. 884.

• 7. McLeod, K. et al., „Effects of Brown Midrib Corn Silage on the Energy Balance of Dairy Cattle“, Journal of Dairy Science, April 2000, 84, S. 885–895.

• 8. „Animal Calorimetry“, Biomeasurements and Experimental Techniques for Avian Species. http://web.uconn.edu/poultry/NE-127/NewFiles/Home2.html (Stand: März 2009).

• 9. Schalkwyk, S. J. et al., „Gas Exchange of the Ostrich Embryo During Peak Metabolism in Relation to Incubator Design“, South African Journal of Animal Science, 2002, 32, S. 122–129.

• 10. Rai, C. L. et al., „Influence of Ultrasonic Disintegration on Sludge Growth Reduction and Its Estimation by Respirometry“, Environmental Science and Technology, Nov. 2004, 38, Nr. 21, S. 5779–5785.

• 11. Seekings, B., „Field Test for Compost Maturity“, Biocycle, Juli 1996, 37, Nr. 8, S. 72–75.

• 12. American Association for Respiratory Care, „Metabolic Measurement Using Indirect Calorimetry During Mechanical Ventilation – 2004 Revision & Update“, Respiratory Care, Sept. 2004, 49, Nr. 9, 1073–1079. http://www.guideline.gov/summary/summary.aspx?ss=15&doc_id=6515 (Stand: März 2009).

• 13. Steward, D. und Pridham, K., „Stability of Respiratory Quotient and Growth Outcomes of Very Low Birth Weight Infants“, Biological Research for Nursing, Jan. 2001, 2, Nr. 3, S. 198–205.

• 14. St-Onge, M. et al., „A New Hand-Held Indirect Calorimeter to Measure Postprandial Energy Expenditure“, Obesity Research, April 2004, 12, Nr. 4, S. 704–709.

• 15. Alfonzo-González, G. et al., „Estimation of Daily Energy Needs with the FAO/WHO/UNU 1985 Procedures in Adults: Comparison to Whole-Body Indirect Calorimetry Measurements“, European Journal of Clinical Nutrition, Aug. 2004, 58, Nr. 8, S. 1125–1131.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Formeln und Anmerkungen
1.	Wärme	Wärme ist die Energieform, die zwischen einem Gegenstand oder System und einem anderen aufgrund einer Temperaturdifferenz ausgetauscht wird.
	Kalorie	Die nicht mehr gebräuchliche Energieeinheit Kalorie wurde definiert als die Wärmemenge, die nötig ist, um 1 g Wasser um 1 ${}^{\circ}$C zu erwärmen. Sie entspricht 4,184 J.
2.	Wärmekapazität	Die Wärmekapazität ist die Wärmemenge, die nötig ist, um die Temperatur einer Substanzprobe um 1 ${}^{\circ}$C oder 1 K zu erwärmen.
	Spezifische Wärmekapazität	$c=\frac{Q}{m\,\Updelta T}$   (15.1)
	Molare Wärmekapazität	$C=\frac{Q}{\tilde{n}\,\Updelta T}=\frac{m\,c}{\tilde{n}}=m_{\mathrm{Mol}}\,c$   (15.4)
	Ideales Gas	$C_{p}=C_{V}+R$   (15.20)
	Einatomiges Gas	$\textstyle C_{V}=\frac{3}{2}\,R$   (15.22)
	Zweiatomiges Gas	$\textstyle C_{V}=\frac{5}{2}\,R$  (15.25)
3.	Schmelzen und Verdampfen	Während des Schmelz- und des Verdampfungsvorgangs ändert sich die Temperatur auch bei Wärmezufuhr nicht.
	Latente Schmelzwärme	Die Wärmemenge, die nötig ist, um eine Substanzprobe zu schmelzen, ist gleich dem Produkt aus der Masse und der spezifischen Schmelzwärme $\lambda_{\mathrm{S}}$: $Q=m\,\lambda_{\mathrm{S}}$   (15.6)
	Latente Verdampfungswärme	Die Wärmemenge, die nötig ist, um eine Substanzprobe zu verdampfen, ist gleich dem Produkt aus der Masse und der spezifischen Verdampfungswärme $\lambda_{\mathrm{D}}$: $Q=m\,\lambda_{\mathrm{D}}$   (15.7)
	Sättigungsdampfdruck	Der Sättigungsdampfdruck ist der Druck, bei dem die flüssige und die gasförmige Phase einer Substanz bei der jeweiligen Temperatur miteinander im Gleichgewicht stehen. Eine Flüssigkeit siedet bei der Temperatur, bei der ihr Dampfdruck dem äußeren Druck entspricht.
	Tripelpunkt	Der Tripelpunkt ist dasjenige Wertepaar von Druck und Temperatur, bei dem feste, flüssige und gasförmige Phase einer Substanz miteinander im Gleichgewicht stehen. Bei Drücken unterhalb dem des Tripelpunkts der betreffenden Substanz kann deren flüssige Phase nicht existieren.
4.	Erster Hauptsatz der Thermodynamik	Die Änderung der inneren Energie eines Systems ist gleich der ihm netto zugeführten Wärme plus der ihm netto zugeführten Arbeit (vom System abgeführte Wärme bzw. Arbeit ist jeweils negativ zu rechnen): $\Updelta U=Q+W$   (15.8)
5.	Innere Energie $U$	Die innere Energie eines Systems ist eine Zustandsfunktion und hängt nur vom jeweiligen Zustand des Systems ab, nicht aber von dem Weg, auf dem dieser erreicht wurde. Auch Druck, Volumen und Temperatur sind Zustandsfunktionen, nicht aber Wärme und Arbeit.
	Ideales Gas	Die innere Energie $U$ hängt nur von der Temperatur $T$ ab.
	Einatomiges Gas	$\textstyle U=\frac{3}{2}\,\tilde{n}\,R\,T$  (15.10)
	Zusammenhang zwischen innerer Energie und Wärmekapazität bei konstantem Volumen	${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}U=\tilde{n}\,C_{V}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}T$   (15.18a)
6.	Reversible Prozesse	Bei reversiblen (quasistatischen) Prozessen erfolgen die Veränderungen so langsam, dass das System praktisch eine Reihe von Gleichgewichtszuständen durchläuft.
	Isometrisch (isochor)	$V=\text{const.}$
	Isobar	$p=\text{const.}$
	Isotherm	$T=\text{const.}$
	Adiabatisch	$Q=0\quad\text{(kein W{\"a}rmeaustausch)}$
	Adiabatische Zustandsgleichung, ideales Gas	$T\,V^{\gamma-1}=\text{const.}$   (15.30) $p\,V^{\gamma}=\text{const.}$   (15.31) $T^{\gamma}/p^{\gamma-1}=\text{const.}$   (15.32) mit $\gamma=C_{p}/C_{V}$   (15.29)
7.	Am Gas verrichtete Arbeit	$\displaystyle W=-\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}p\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V=\tilde{n}\,C_{V}\,\Updelta T-Q$   (15.8, 15.13, 15.18a)
	Isometrisch (isochor)	$\displaystyle W=-\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}p\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V=0{\qquad}\text{mit\,}{\quad}V_{\mathrm{E}}=V_{\mathrm{A}}$
	Isobar	$\displaystyle W=-\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}p\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V=-p\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V=-p\,\Updelta V$
	Isotherm	$\displaystyle W_{\mathrm{isoth.}}=-\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}p\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V=-\tilde{n}\,R\,T\int\limits_{V_{\mathrm{A}}}^{V_{\mathrm{E}}}\frac{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}V}{V}=\tilde{n}\,R\,T\,\ln\frac{V_{\mathrm{A}}}{V_{\mathrm{E}}}$   (15.15)
	Adiabatisch	$W_{\mathrm{ad.}}=\tilde{n}\,C_{V}\,\Updelta T$   (15.33)
8.	Gleichverteilungssatz	Bei einem System im Gleichgewicht entfällt auf jeden Freiheitsgrad eine Energie von $\frac{1}{2}\,k_{\mathrm{B}}\,T$ pro Molekül bzw. von $\frac{1}{2}\,R\,T$ pro Mol.
9.	Dulong-Petit’sche Regel	Die molare Wärmekapazität der meisten metallischen Festkörper beträgt $3\,R$. Das folgt aus dem Gleichverteilungssatz, wobei angenommen wird, dass jedes Atom im Festkörper sechs Freiheitsgrade aufweist.

Antwort auf die Kurzfrage

• 15.1 Wenn eine gespannte Saite eines Bogens losgelassen wird, dann wird ihre innere Energie in die kinetische Energie des Pfeils übertragen. – Die gespeicherte Volumenarbeit in einem Druckluftbehälter kann dazu verwendet werden, die Hebebühne in der Werkstatt anzuheben.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 15.1 30 ${}^{\circ}$C

• 15.2 500 kJ

• 15.3 20,5 kJ

• 15.4 a) $m_{\mathrm{Mol}}=\mathrm{24{,}4\,g/mol}$. b) Es handelt sich offenbar um Magnesium mit $m_{\mathrm{Mol}}=\mathrm{24{,}31\,g/mol}$.

• 15.5 $V_{\mathrm{A}}=48{,}7\,\text{l}$,  $V_{\mathrm{E}}=62{,}0\,\text{l}$,  $W=-13{,}3\,\text{l}\cdot\text{bar}=-1{,}33\,\text{kJ}$

• 15.6 Bei einem reversiblen Prozess gilt $p\,V^{\gamma}=\text{const.}$ Aus der Zustandsgleichung für das ideale Gas folgt $V=\tilde{n}\,R\,T/p$. Einsetzen in die vorige Beziehung liefert $p\,(\tilde{n}\,R\,T/p)^{\gamma}=\text{const.}$, und nach Umstellen ergibt sich daraus $T^{\gamma}/p^{\gamma-1}=\text{const.}$ (wenn die Molanzahl $\tilde{n}$ konstant ist).

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

15.1

• Gegenstand A hat eine doppelt so große Masse wie Gegenstand B. Wenn beide Gegenstände gleich große Wärmemengen aufnehmen, ergibt sich bei beiden die gleiche Temperaturänderung. Welche Beziehung besteht zwischen ihren spezifischen Wärmekapazitäten? a) $c_{\mathrm{A}}=2\,c_{\mathrm{B}}$,  b) $2\,c_{\mathrm{A}}=c_{\mathrm{B}}$,  c) $c_{\mathrm{A}}=c_{\mathrm{B}}$,  d) keine dieser Beziehungen.

15.2

• Beim Joule’schen Experiment, das die Äquivalenz von Wärme und Arbeit zeigte, wird mechanische Energie in innere Energie umgesetzt. Nennen Sie einige Beispiele, bei denen die innere Energie eines Systems in mechanische Energie umgesetzt wird.

15.3

• Kann eine bestimmte Gasmenge Wärme aufnehmen, ohne dass sich ihre innere Energie ändert? Wenn ja, nennen Sie ein Beispiel. Wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort.

15.4

• In der Gleichung $Q=\Updelta U-W$ (einer Formulierung des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik) stehen die Größen $Q$ und $W$ für:  a) die dem System zugeführte Wärme und die von ihm verrichtete Arbeit, b) die dem System zugeführte Wärme und die an ihm verrichtete Arbeit, c) die vom System abgegebene Wärme und die von ihm verrichtete Arbeit, d) die vom System abgegebene Wärme und die an ihm verrichtete Arbeit. – Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

15.5

• Ein bestimmtes Gas besteht aus Ionen, die einander abstoßen. Das Gas erfährt eine freie Expansion, während der es weder Wärme aufnimmt noch Arbeit verrichtet. Wie ändert sich die Temperatur? Begründen Sie Ihre Antwort.

15.6

• Ein Gas ändert seinen Zustand reversibel von A nach C im $p$-$V$-Diagramm von Abb. 15.19. Die vom Gas verrichtete Arbeit ist a) am größten beim Weg A$\rightarrow$B$\rightarrow$C, b) am kleinsten beim Weg A$\rightarrow$C, c) am größten beim Weg A$\rightarrow$D$\rightarrow$C, d) bei allen drei Wegen gleich groß. – Welche dieser Aussagen trifft zu?

Abb. 15.19

Zu Aufgabe 15.6

15.7

• Das Volumen einer bestimmten Menge eines Gases bleibt konstant, während sich ihre Temperatur und ihr Druck ändern. Welche der folgenden Aussagen trifft bzw. treffen dafür zu? a) Die innere Energie des Gases bleibt unverändert. b) Das Gas verrichtet keine Arbeit. c) Das Gas nimmt keine Wärme auf. d) Die Änderung der inneren Energie des Gases entspricht der von ihm netto aufgenommenen Wärmemenge. e) Es trifft keine dieser Aussagen zu.

15.8

•• Welches Metall hat nach Ihrer Einschätzung die höhere Wärmekapazität pro Masseneinheit: Blei oder Kupfer? Warum? (Schlagen Sie vor der Beantwortung der Frage nicht die Wärmekapazitäten nach.)

15.9

•• Ein ideales Gas durchläuft einen Prozess, bei dem das Produkt $P\sqrt{V}$ konstant ist und das Gasvolumen abnimmt. Wie ändert sich dabei die Temperatur? Erklären Sie die Zusammenhänge.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

15.10

• An einer Küste soll ein Kraftwerk errichtet werden, und zur Kühlung soll Meerwasser verwendet werden. Das Kraftwerk soll eine elektrische Leistung von 1,00 GW abgeben und einen Wirkungsgrad von einem Drittel haben (was für moderne Kraftwerke ein guter Wert ist). Die Wärmeabgabe an das Kühlwasser beträgt daher 2,00 GW. Nach den Vorschriften darf dessen Temperaturanstieg aber nicht höher als 10 ${}^{\circ}$C sein. Schätzen Sie ab, wie hoch der Kühlwasserdurchsatz (in kg$/$s) sein muss.

15.11

•• Ein gewöhnlicher Mikrowellenherd nimmt eine elektrische Leistung von rund 1200 W auf. Schätzen Sie ab, wie lange es dauert, um eine Tasse Wasser zum Sieden zu bringen, wenn 50 % dieser Leistung zum Erwärmen des Wassers genutzt werden. Entspricht der damit berechnete Wert Ihrer Erfahrung?

1.3 Wärmekapazität, spezifische Wärme, latente Wärme

15.12

• Ein mit Sonnenenergie beheiztes Haus besteht u. a. aus $1{,}00\cdot 10^{5}\text{\leavevmode\nobreak\ kg}$ Beton (spezifische Wärmekapazität 1,00 $\mathrm{kJ\,kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Wie viel Wärme gibt diese Betonmenge ab, wenn sie von 25,0 ${}^{\circ}$C auf 20,0 ${}^{\circ}$C abkühlt?

15.13

• Wie viel Wärme muss zugeführt werden, um 60,0 g Eis mit $-10{,}0\,^{\circ}$C zu 60,0 g Wasser mit 40,0 ${}^{\circ}$C umzuwandeln?

15.14

•• Wie viel Wärme muss abgeführt werden, wenn 0,100 kg Wasserdampf mit 150 ${}^{\circ}$C abgekühlt und zu 0,100 kg Eis mit 0,00 ${}^{\circ}$C umgewandelt werden?

1.4 Kalorimetrie

15.15

•• Nehmen Sie an, bei seinen verschiedenen Teilnahmen an der Tour de France erbrachte der Radrennfahrer Lance Armstrong jeweils 20 Tage lang 5,0 Stunden täglich eine mittlere Leistung von 400 W. Welche Wassermenge mit einer Anfangstemperatur von 24 ${}^{\circ}$C wäre bis zum Siedepunkt zu erwärmen, wenn die von Armstrong während einer Tour insgesamt erbrachte Energie nutzbar gemacht werden könnte?

15.16

•• Ein Stück Eis der Masse 200 g mit der Temperatur 0,0 ${}^{\circ}$C wird in 500 g Wasser mit 20 ${}^{\circ}$C eingebracht. Das System ist ein von der Umgebung thermisch isolierter Behälter mit vernachlässigbarer Wärmekapazität. a) Wie hoch ist am Ende die Gleichgewichtstemperatur des Systems? b) Wie viel Eis ist dann geschmolzen?

15.17

•• Ein gut isolierter Behälter mit vernachlässigbarer Wärmekapazität enthält 150 g Eis mit einer Temperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C. a) Welche Gleichgewichtstemperatur erreicht das System, nachdem 20 g Dampf mit 100 ${}^{\circ}$C hineingespritzt wurden? b) Ist noch Eis vorhanden, wenn das System wieder im Gleichgewicht ist?

15.18

•• Ein Kalorimeter mit vernachlässigbarer Masse enthält 1,00 kg Wasser mit 303 K. Es werden 50,0 g Eis mit 273 K hineingegeben. a) Welche Endtemperatur stellt sich nach einiger Zeit ein? b) Wie hoch ist die Endtemperatur bei einer Eismenge von 500 g?

1.5 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

15.19

• Eine bestimmte Menge eines zweiatomigen Gases verrichtet 300 J Arbeit und nimmt 2,50 kJ Wärme auf. Wie hoch ist die Änderung der inneren Energie?

15.20

• Eine bestimmte Menge eines Gases nimmt 1,67 MJ Wärme auf, während sie 800 J Arbeit verrichtet. Wie hoch ist die Änderung der inneren Energie?

15.21

•• Ein Bleigeschoss mit einer Anfangstemperatur von 30 ${}^{\circ}$C kam gerade zum Schmelzen, als es inelastisch auf eine Platte aufschlug. Nehmen Sie an, die gesamte kinetische Energie des Projektils ging beim Aufprall in seine innere Energie über und bewirkte dadurch die Temperaturerhöhung, die zum Schmelzen führte. Wie hoch war die Geschwindigkeit des Projektils beim Aufprall?

1.6 Arbeit und das p-V-Diagramm eines Gases

15.22

• 1,00 mol eines idealen Gases haben folgenden Anfangszustand: $P_{1}=\text{3,00\,bar}$, $V_{1}=\text{1,00\,l}$ und $U_{1}=\text{456\,J}$. Der Endzustand ist $P_{2}=\text{2,00\,bar}$, $V_{2}=\text{3,00\,l}$ und $U_{2}=\text{912\,J}$. Das Gas expandiert bei konstantem Druck bis auf das angegebene Endvolumen. Dann wird es bei konstantem Volumen abgekühlt, bis es den angegebenen Enddruck erreicht hat. a) Erstellen Sie das $p$-$V$-Diagramm für diesen Vorgang und berechnen Sie die Arbeit, die das Gas verrichtet. b) Welche Wärmemenge wird während des Prozesses zugeführt?

15.23

•• 1,00 mol eines idealen Gases haben anfangs einen Druck von 1,00 bar und ein Volumen von 25,0 l. Das Gas wird langsam erwärmt, wofür sich im $p$-$V$-Diagramm eine gerade Linie zum Endzustand mit dem Druck 3,00 bar und dem Volumen 75,0 l ergibt. Wie viel Arbeit verrichtet das Gas, und wie viel Wärme nimmt es auf?

15.24

• Eine bestimmte Menge eines idealen Gases nimmt bei 2,00 bar ein Volumen von 5,00 l ein. Sie wird bei konstantem Druck abgekühlt, bis das Volumen nur noch 3,00 l beträgt. Welche Arbeit wird dabei am Gas verrichtet?

1.7 Wärmekapazitäten von Gasen und der Gleichverteilungssatz

15.25

•• Eine bestimmte Menge eines zweiatomigen Gases befindet sich beim Druck $P_{0}$ in einem verschlossenen Behälter mit dem konstanten Volumen $V$. Welche Wärmemenge $Q$ muss dem Gas zugeführt werden, um den Druck zu verdreifachen?

15.26

•• Eine bestimmte Menge Kohlendioxid ($\mathrm{CO_{2}}$) sublimiert bei einem Druck von 1,00 bar und einer Temperatur von $-78{,}5\,^{\circ}$C. Sie geht also direkt vom festen in den gasförmigen Zustand über, ohne die flüssige Phase zu durchlaufen. Wie hoch ist die Änderung der molaren Wärmekapazität (bei konstantem Druck) bei der Sublimation? Ist die Änderung positiv oder negativ? Nehmen Sie an, dass die Gasmoleküle rotieren, nicht aber schwingen können. Die Struktur des $\mathrm{CO_{2}}$-Moleküls ist in Abb. 15.20 dargestellt.

Abb. 15.20

Zu Aufgabe 15.26

1.8 Wärmekapazitäten von Festkörpern und die Dulong-Petit’sche Regel

15.27

• Die Dulong-Petit’sche Regel diente ursprünglich dazu, die molare Masse einer metallischen Substanzprobe aus ihrer Wärmekapazität zu ermitteln. Die spezifische Wärmekapazität eines bestimmten Festkörpers wurde zu $0{,}447\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K}^{-1}$ gemessen. a) Wie hoch ist seine molare Masse? b) Um welches Element kann es sich handeln?

15.28

••• Die Dulong-Petit’sche Regel nimmt an, dass jedes Atom im Festkörper sechs Freiheitsgrade besitzt, die jeweils einen Teil der Energie aufnehmen. a) Welche sechs Freiheitsgrade sind es, die hier eine Rolle spielen? b) Manche Festkörper mit starken Bindungen wie beispielsweise Diamant besitzen tatsächlich eine wesentlich geringere als die von der Dulong-Petit’schen Regel vorhergesate Wärmekapazität. Die Regel versagt ebenfalls bei sehr niedrigen Temperaturen. Begründen Sie.

1.9 Reversible adiabatische Expansion eines Gases

15.29

•• 0,500 mol eines einatomigen idealen Gases mit einem Druck von 400 kPa und einer Temperatur von 300 K expandieren reversibel, bis der Druck auf 160 kPa abgesunken ist. Ermitteln Sie die Endtemperatur, das Endvolumen, die netto zugeführte Arbeit und die netto aufgenommene Wärmemenge, wenn die Expansion a) isotherm bzw. wenn sie b) adiabatisch abläuft.

15.30

•• Wiederholen Sie die vorangegangene Aufgabe für ein zweiatomiges Gas.

1.10 Zyklische Prozesse

15.31

•• 1,00 mol eines zweiatomigen idealen Gases können so expandieren, dass im $p$-$V$-Diagramm (Abb. 15.21) die gerade Linie vom Zustand 1 zum Zustand 2 durchlaufen wird. Dann werden sie isotherm vom Zustand 2 zum Zustand 1 komprimiert, wobei die gekrümmte Linie durchlaufen wird. Berechnen Sie die in diesem Zyklus insgesamt umgesetzte Arbeit.

Abb. 15.21

Zu Aufgabe 15.31

15.32

••• Am Punkt D in Abb. 15.22 haben 2,00 mol eines einatomigen idealen Gases einen Druck von 2,00 bar und eine Temperatur von 360 K. Am Punkt B im $p$-$V$-Diagramm ist das Volumen des Gases dreimal so groß wie am Punkt D, und sein Druck ist zweimal so groß wie am Punkt C. Die Wege AB und CD entsprechen isothermen Prozessen. Das Gas durchläuft einen vollständigen Zyklus entlang des Wegs DABCD. Ermitteln Sie die dem Gas netto zugeführte Arbeit und die ihm in jedem einzelnen Schritt netto zugeführte Wärmemenge.

Abb. 15.22

Zu Aufgabe 15.32

1.11 Allgemeine Aufgaben

15.33

•• Ein thermisch isoliertes System besteht aus 1,00 mol eines zweiatomigen idealen Gases mit einer Temperatur von 100 K sowie 2,00 mol eines Festkörpers mit einer Temperatur von 200 K, die durch eine feste, isolierende Wand voneinander getrennt sind. Ermitteln Sie die Gleichgewichtstemperatur, die das System erreicht, nachdem die Wand entfernt wurde. Nehmen Sie an, dass die Zustandsgleichung für ideale Gase bzw. die Dulong-Petit’sche Regel gelten.

15.34

•• Wenn eine bestimmte Menge eines idealen Gases bei konstantem Volumen eine Temperaturänderung erfährt, so ändert sich ihre innere Energie um $\Updelta U=\tilde{n}\,C_{V}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}T$. a) Erklären Sie, warum diese Gleichung für ein ideales Gas auch bei einer Veränderung des Volumens korrekte Ergebnisse liefert. b) Zeigen Sie mithilfe dieser Beziehung und des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, dass für ein ideales Gas gilt: $C_{P}=C_{V}+R$.

15.35

•• Gemäß dem Einstein’schen Modell für einen kristallinen Festkörper gilt für dessen molare innere Energie

$$\begin{aligned}\displaystyle U_{\mathrm{Mol}}=\frac{3\,n_{\mathrm{A}}\,k_{\mathrm{B}}\,{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1}\,.\end{aligned}$$

Bestimmen Sie mithilfe dieser Gleichung die molare innere Energie von Diamant (${\varTheta}_{\mathrm{E}}=1060\text{\leavevmode\nobreak\ K}$) bei 300 K und bei 600 K sowie daraus die Zunahme der inneren Energie, wenn 1,00 mol Diamant von 300 K auf 600 K erwärmt werden.

15.36

••• Gemäß dem Einstein’schen Modell für einen kristallinen Festkörper gilt für dessen molare innere Energie

$$\begin{aligned}\displaystyle U_{\mathrm{Mol}}=\frac{3\,n_{\mathrm{A}}\,k_{\mathrm{B}}\,{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1}\,.\end{aligned}$$

Darin ist ${\varTheta}_{\mathrm{E}}$ die Einstein-Temperatur und $T$ die in Kelvin einzusetzende Temperatur des Festkörpers. indexFestkörper!Einstein-Temperatur Zeigen Sie mithilfe dieser Beziehung, dass für die molare Wärmekapazität des kristallinen Festkörpers bei konstantem Volumen gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle C_{V}=3\,R\left(\frac{{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{T}\right)^{\!2}\frac{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}}{\left(\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1\right)^{2}}\,.\end{aligned}$$