Quantenmechanik

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit Problemen der Quantenmechanik. Bei der Beschreibung des freien Teilchens und der Berechnung von Energieeigenzuständen zu vorgegebenen Potentialen geht es um die numerische Lösung der zeitabhängigen bzw. zeitunabhängigen Schrödingergleichung im Orts- und Impulsraum. Anschließend betrachten wir Probleme der Quantenstatistik, bei denen der quantenmechanische Zustand durch einen Dichteoperator beschrieben werden muss. Als Beispiele behandeln wir Systeme mit diskreten Energieniveaus und betrachten den Einfluss des Messprozesses auf die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems.

Übungen

5.1 Eigenzustände des Delta-Potentials

Die Eigenzustände zu einem $\delta$-förmigen Potential $V(x) = a \delta (x)$ können analytisch bestimmt werden. Gerade deswegen ist es aber ein gute Übung, diese numerisch zu berechnen und mit dem analytischen Ergebnis zu vergleichen. Verwenden Sie als Ausgangspunkt das Programm eigen1.cpp aus Abschn. 5.8 und modifizieren Sie den Programmabschnitt, in dem das Potential festgelegt wird. Studieren Sie insbesondere die Abhängigkeit des Ergebnisses von den Parametern xmax und dx.

5.2 Eindimensionales Modell eines Atoms

Das Potential $V(x)=\beta /\sqrt{1+\alpha x^2}$ kann als einfaches Modell für ein Atom dienen, wobei die Parameter $\alpha$ und $\beta$ die Breite und die Tiefe des vom Atomkern erzeugten Potentials festlegen. Berechnen Sie für einige Parametersätze die gebundenen Zustände und deren Bindungsenergien. Letztere können Sie mit den Ergebnissen aus Abschn. 5.9 vergleichen. Interessant ist es auch, die freien Zustände für niedrige und für große Energien zu betrachten.

5.3 Eindimensionales Modell für $\mathbf{{H}}_\mathbf{{2}}^\mathbf{{+}}$

Fügen Sie zwei der Einzelpotentiale aus der vorangegangenen Aufgabe zum Potential zweier Atomkerne im Abstand a zusammen und berechnen Sie wieder die Energieniveaus der gebundenen Zustände. Variieren Sie nun den Abstand a und bestimmen Sie die Grundzustandsenergie als Funktion dieses Parameters. Was Sie erhalten, ist das effektive Potential, in dem sich (aufgrund der großen Masse der Atomkerne auf einer viel größeren Zeitskala) die beiden Kerne bewegen. Aus dem Potentialverlauf kann also sowohl der Abstand der beiden Kerne im Grundzustand als auch deren Schwingungsfrequenz entnommen werden.

5.4 Berechnung von Energieniveaus nach der Variationsmethode

In Abschn. 5.9 haben wir die Eigenenergien eines Modellatoms (siehe auch Aufgabe 5.2) nach der Variationsmethode berechnet. Als Testfunktionen dienten uns dabei Funktionen vom Typ

$$\begin{aligned} f_n = \frac{1}{\sqrt{n!}} \; x^n \exp (-\mu x^2/2 ), \end{aligned}$$

(5.167)

wobei der Parameter $\mu$ fest gewählt wurde. Untersuchen Sie, was passiert, wenn Sie diesen Parameter verändern – insbesondere, wenn Sie ein sehr großes oder ein sehr kleines $\mu$ nehmen. Interessant ist es auch, mehrere solche Funktionensätze zu verschiedenen $\mu$ zu kombinieren und so einen größeren Satz an Testfunktionen zu haben, aus denen man die Eigenzustände und die dazugehörigen Eigenenergien berechnet.

5.5 Quantenmechanische Entropie

Überlegen Sie sich, wie groß die in (5.120) definierte Entropie bei einem Zwei-Niveau- bzw. Drei-Niveau-Atom werden kann. Implementieren Sie nun eine Berechnung der Entropie in die Programme zweiniveau.cpp sowie dreiniveau.cpp und untersuchen Sie den Zeitverlauf der Entropie.

5.6 Zeno-Effekt

Wenn Sie bei den Parametern zum Programm zeno2.cpp (im Downloadbereich) die Zahl der Messungen im Zeitintervall [0 : 100] auf 20 herabsetzen, werden Sie feststellen, dass die Abnahme der Besetzung des angeregten Zustandes wieder langsamer erfolgt – entgegen dem allgemeinen Trend. Woran liegt das? Betrachten Sie zum Vergleich noch einmal Abb. 5.8!

5.7 Ein-Atom-Laser

Durch Spurbildung über die atomaren Freiheitsgrade kommen Sie von der Dichtematrix $\varrho _{i,n;j, m}$ aus Abschn. 5.15 auf eine Dichtematrix nur für das Atom:

$$\begin{aligned} \varrho _{n;m} = \sum _i \varrho _{i,n;i, m}. \end{aligned}$$

(5.168)

Aus dieser können Leser und Leserinnen mit Kenntnissen in Quantenoptik (siehe z. B. [46]) die Quasiwahrscheinlichkeit

$$\begin{aligned} Q(\alpha ) = \frac{1}{\pi } \langle \alpha | \varrho | \alpha \rangle \end{aligned}$$

(5.169)

berechnen. Dabei machen wir Gebrauch von den kohärenten Zuständen

$$\begin{aligned} | \alpha \rangle = \exp \left( -\frac{1}{2} |\alpha |^2 \right) \sum _n \frac{\alpha ^n}{\sqrt{n!}} | n \rangle . \end{aligned}$$

(5.170)