Mechanik der Massenpunkte

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel beginnen wir unseren Streifzug durch die Numerische Physik mit Beispielen aus der Mechanik. Am Fadenpendel, das wir als erstes Beispiel besprechen, diskutieren wir verschiedene Möglichkeiten, gewöhnliche Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Im weiteren Verlauf beschäftigen wir uns mit Problemen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades und lernen dabei sowohl numerische Techniken wie die Behandlung steifer Differentialgleichungen als auch physikalische Begriffe wie die Unterscheidung konservativer und dissipativer Systeme, integrabler und nicht integrabler Dynamik sowie regulärer Bewegung und deterministischem Chaos kennen.

Übungen

1.1 Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Lösen Sie direkt durch Anwendung der Entwicklung (1.14), (1.15), d. h. ohne Verwendung einer Numerikbibliothek, das Kepler-Problem mit N Teilchen, wobei Sie sowohl die Ordnung m der Entwicklung als auch die Zahl N der beteiligten Körper variieren. Was stellen Sie insbesondere für große N und große m fest?

1.2 Dreieckspotential

Lösen Sie die Bewegungsgleichung eines Teilchens im Potential

$$\begin{aligned} V(x) = V_0 \times \left\{ {(x-[x]) \qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r} \,[x] \,\text {gerade} \atop (1-x+[x]) \quad \; \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r} \,[x] \,\text {ungerade}} . \right. \end{aligned}$$

(1.181)

Dabei ist die Gaußklammer [x] definiert als die größte ganze Zahl, die kleiner gleich x ist, also z. B.

$$\begin{aligned} \left[ 2\right]&= 2 ,\end{aligned}$$

(1.182)

$$\begin{aligned} \left[ 1,2\right]&= 1 , \end{aligned}$$

(1.183)

$$\begin{aligned} \left[ -1,2\right]&= -2 . \end{aligned}$$

(1.184)

Die Form dieses Potentials wird in Abb. 1.40 gezeigt.

Abb. 1.40

Dreieckspotential

Versuchen Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung verschiedene Bibliotheksroutinen, insbesondere solche, die auf Verfahren niedriger bzw. höherer Ordnung beruhen.

1.3 Walze auf einer schiefen Ebene

Wir betrachten eine Walze, die auf einer schiefen Ebene hinunterrollt (Abb. 1.41):

Abb. 1.41

Eine Walze auf einer schiefen Ebene

Die Aufgabe wird dadurch interessant, dass der Schwerpunkt der Walze (in der Abbildung oben durch ein Kreuz gekennzeichnet) nicht auf deren Symmetrieachse liegt, sondern von dieser den Abstand d hat. Dadurch rollt die Walze manchmal schneller und manchmal langsamer die schiefe Ebene hinab. Stellen Sie die Bewegungsgleichung dieser Walze auf und schreiben Sie ein Computerprogramm, das die Bewegungsgleichung löst. Welchen Wert muss d mindestens haben, wenn es oszillatorische Lösungen geben soll, bei denen die Walze abwechselnd nach oben und unten rollt?

1.4 Stadionbillard

Wir betrachten ein Teilchen in einer stadionförmigen Umrandung (Abb. 1.42).

Abb. 1.42

Stadionbillard

Schreiben Sie ein Programm, das – analog zum Programm box1.cpp – die Bewegung eines Massenpunkts in diesem sogenannten Stadionbillard simuliert. Ausgehend von diesem Programm können Sie nun einen Poincarè-Schnitt oder ein Attraktordiagramm anfertigen und dann für ausgewählte Parameter den Lyapunov-Exponenten berechnen.

1.5 Dreikörperproblem

Die Entdeckung des klassischen Chaos durch Poincaré geschah im Rahmen eines Wettbewerbs zur Berechenbarkeit von Planetenbewegungen. Im Rahmen seiner Abhandlung konnte Poincaré zeigen, dass bereits bei drei Körpern unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung eine Voraussage über lange Zeiten nicht möglich ist. Um eine solche Situation zu untersuchen, wählen Sie bitte drei gleiche Massen m an den Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks und spielen verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten durch – von Interesse sind hierbei allerdings nur Situationen, bei denen alle drei Massen gebunden bleiben. Da der Phasenraum 18-dimensional ist (für jeden Massenpunkt drei Orts- und drei Geschwindigkeitskoordinaten) und nach Festlegung des Schwerpunkts und seines Impulses davon immer noch 12 Dimensionen übrig bleiben, ist ein Poincarè-Plot nicht ohne Weiteres möglich. Zur Entscheidung, ob chaotisches Verhalten vorliegt oder nicht, ziehen Sie deshalb bitte den Lyapunov-Exponenten heran.

1.6 Lyapunov-Exponent beim Sinai-Billard

Berechnen Sie den Lyapunov-Exponent des in Abschn. 1.10 vorgestellten Sinai-Billards. Betrachten Sie dazu zwei Bahnen, die an derselben Wand entweder parallel und nahe beieinander oder am selben Punkt mit etwas unterschiedlicher Richtung beginnen. Versuchen Sie zunächst eine Bestimmung des Lyapunov-Exponenten ohne der im Text beschriebenen sukzessiven Rückskalierung. Welche tend sind bei dieser Vorgehensweise noch sinnvoll möglich? Und wie ändert sich das, wenn Sie in bestimmten Zeitabständen den Abstand auf einen festen Wert skalieren?

1.7 Flug einer Diskusscheibe

Das Programm wurf1.cpp aus Abschn. 1.15 kann verhältnismäßig einfach so modifiziert werden, dass die wesentlichen Punkte beim Flug einer Diskusscheibe in einem einfachen Modell erfasst werden. Gegenüber dem schiefen Wurf eines „normalen“ Körpers kommt bei der Diskusscheibe eine Auftriebskraft proportional zur Relativgeschwindigkeit Diskus–Luft hinzu:

$$\begin{aligned} \vec {F}_\mathrm{Auftr} = \alpha (v_{x,\,\mathrm Diskus}-v_{x,\,\mathrm Luft}) \vec {e}_z . \end{aligned}$$

(1.185)

Hierbei sind $v_{x,\,\mathrm Diskus}$ bzw. $v_{x,\,\mathrm Luft}$ die x-Komponente der Geschwindigkeit der Diskusscheibe bzw. der Luft und $\vec {e}_z$ ist der Einheitsvektor in z-Richtung. Der Einfachheit halber haben wir angenommen, dass die Diskusscheibe während des Fluges eben liegt – in Wirklichkeit steht die Diskusscheibe üblicherweise leicht schräg in der Luft, wobei diese Neigung aufgrund der schnellen Rotation während des Fluges annähernd konstant ist. Der Wert der Konstanten $\alpha$ hängt von der Form der Diskusscheibe ab; eine gute Diskusscheibe sollte ein möglichst großes $\alpha$ aufweisen, da dies viel Auftrieb und damit eine große Flugweite bedeutet.

Beachten Sie, dass die Einbeziehung von Luftbewegung auch eine Modifikation beim Reibungsterm erfordert.

Im ersten Schritt müssen Sie den Wert von $\alpha$ abschätzen – überlegen Sie sich dazu einen realistischen Wert der Anfangsgeschwindigkeit und ermitteln Sie für verschiedene Werte von $\alpha$ die maximalen Wurfweiten bei Windstille ($v_{x,\,\mathrm Luft}=0$). Im Folgenden verwenden Sie das $\alpha$, bei dem die so ermittelte maximale Wurfweite mit dem Weltklasseergebnis von 70 m übereinstimmt. Nun können Sie durch Variation von $v_{x,\,\mathrm Luft}$ studieren, inwieweit ein günstiger Wind noch eine Verbesserung erlaubt. Ist eher Rückenwind oder Gegenwind günstig?