Zusammenfassung
Viele reelle Funktionen besitzen eine natürliche Fortsetzung in die komplexe Zahlenebene. In der Regel sind diese Fortsetzungen komplex differenzierbar. Differenzierbarkeit aber zwängt komplexe Funktionen in ein enges Korsett, das viele interessante Schlüsse über sie erlaubt. Oft wird dadurch auch die ursprüngliche reelle Funktion in ein neues Licht gestellt. Potenzreihendarstellungen auf der reellen Achse stoßen an ihre Grenzen in der komplexen Ebene. Der Logarithmus ist auf eine geschlitzte Ebene fortsetzbar. Reelle Integrale lassen sich durch Wegergänzungen im Komplexen vielfach über den Residuensatz ganz einfach bestimmen. Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen hat sich als kraftvolles Werkzeug bei der Lösung der Differentialgleichungen von Elektrodynamik und Quantenmechanik erwiesen. Sie helfen z. B. dabei, die Eigenschaften der nach Airy, Bessel, Fresnel oder Legendre benannten Funktionen aufzuklären. Das Zerfließen eines Gaußschen Wellenpakets wird zu einer Illustration des Cauchyschen Integralsatzes.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Hier und im Folgenden bezeichnet \(\mathfrak {I}z\) bzw. \(\mathfrak {R}z\) den Imaginärteil bzw. Realteil von z.
- 2.
Andere injektive Einschränkungen der Potenzfunktion ergeben andere Versionen der Wurzelfunktionen.
- 3.
Die Bezeichnung „komplex differenzierbar“ wird im Gebiet der Funktionentheorie meist zu „differenzierbar“ verkürzt.
- 4.
Siehe z. B. [3, §21, Satz 4].
- 5.
Zum Beispiel durch Beachten der Tatsache, dass für \(\tau >0\) die Abbildung \(x\mapsto \phi \left( \tau ,x\right) \) die Einschränkung einer auf ganz \(\mathbb {C}\) holomorphen Funktion \(\varPhi _{\tau }\ne 0\) ist. Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion \(\varPhi _{\tau }\ne 0\) hat aber im Widerspruch zur Annahme, dass \(\varPhi _{\tau }\left( x\right) \equiv \phi \left( \tau ,x\right) =0\) für alle \(\left| x\right| >R\) gilt, keinen Häufungspunkt.
- 6.
Ihre Wellenzahlverteilung ist um \(k_{0}\) und nicht mehr um 0 konzentriert.
- 7.
In Abschn. 2.5 über Laurentreihen wurde sie bestimmt.
- 8.
Die inverse Dreiecksungleichung \(\left| v-w\right| \ge \left| \left| v\right| -\left| w\right| \right| \) eines normierten Vektorraumes V folgt so: Es gilt für alle \(v,w\in V\)
$$ \left| v\right| =\left| v-w+w\right| \le \left| v-w\right| +\left| w\right| . $$Also gilt \(\left| v-w\right| \ge \left| v\right| -\left| w\right| .\) Wegen \(\left| v-w\right| =\left| w-v\right| \ge \left| w\right| -\left| v\right| \) gilt somit \(\left| v-w\right| \ge \left| \left| v\right| -\left| w\right| \right| .\)
- 9.
Eine endgültige und sinnvolle Definition für \(\varDelta _{{\text {ret}}}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}\) wird erst am Ende des Abschnitts angegeben werden können.
- 10.
Auch die Menge U ist dehnungsinvariant.
- 11.
\(-\left( Q/\varepsilon _{0}\right) grad\left( Y\right) \) modelliert das elektrostatische Feld einer Punktladung der Stärke Q, die in ein neutrales, ionisiertes Medium eingebracht ist. Das Medium schirmt die Punktladung nach außen hin zunehmend ab, indem Ionenladung \(Q_{r}\) die Kugel um 0 vom Radius r verlässt. \(Q_{r}\) steigt im Bereich \(0<r<\infty \) monoton von 0 auf Q an. \(1/\kappa \) heißt Debye-Länge.
Literatur
Erwe, F.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 2. BI, Mannheim (1962)
Fischer, H., Kaul, H.: Mathematik für Physiker, Bd. 1. Teubner, Stuttgart (2005)
Forster, O.: Analysis 1. Vieweg, Braunschweig (1992)
Hassani, S.: Mathematical Physics, a Modern Introduction to its Foundations. Springer, New York (1999)
Jänich, K.: Funktionentheorie. Springer, Berlin (1999)
Jänich, K.: Analysis für Physiker und Ingenieure. Springer, Berlin (2001)
Koerner, T.W.: Fourier Analysis. Cambridge UP, Cambridge (1988)
Olver, F.W.J., et al. (Hrsg.): NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge UP, Cambridge (2010)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2019 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature
About this chapter
Cite this chapter
Grübl, G. (2019). Funktionentheorie. In: Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 2. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58075-2_2
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58075-2_2
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-58074-5
Online ISBN: 978-3-662-58075-2
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)