Zusammenfassung
Viele Naturvorgänge sind nicht auf Abruf wiederholbar. Vielmehr variieren sie von Mal zu Mal. Vielfach gelingt es aber, die möglichen Verläufe eines nicht wiederholbaren Vorgangs mithilfe von Wahrscheinlichkeit zu gewichten. Dann kann Sicheres entdeckt werden, denn in einer großen Zahl ähnlich gelagerter Vorgänge gibt es etwas, worauf einigermaßen Verlass ist. Das Gesetz der großen Zahl erklärt erst, warum Vieles in der Natur, das aus regellos erscheinenden Komponenten besteht, dennoch vollkommen deterministisch ist. Was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß? Welche Arten von Wahrscheinlichkeitsmaßen haben sich in der Physik bewährt? Wie gehen sie aus einfacheren hervor? Welche Bauanleitungen für Wahrscheinlichkeitsräume gibt es? Inwiefern stellen pauschale Kenngrößen wie Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen eine Brücke zu quantitativen Beobachtungen her? Welche Wahrscheinlichkeitsräume bringt ein Quantenzustand mit sich?
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Notes
- 1.
Solche Fragen werden z. B. in Kapitel VIII und in diversen Anhängen von Karl Popper in seiner Logik der Forschung [6] besprochen.
- 2.
Der Begriff Stochastik fasst heute die Gebiete (mathematische) Wahrscheinlichkeit und Statistik zusammen. Er leitet sich von der griechischen Wendung \(\sigma \tau o\chi \alpha \sigma \tau \iota \kappa \grave{\eta }\) \(\tau \varepsilon \chi \nu \acute{\eta }\) für die „Kunst(fertigkeit) des Vermutens“ ab.
- 3.
Liest man das Ereignis \(\varepsilon =1\) als „Die Person X hat mehr als 1000 Zigaretten geraucht“ und \(\eta =1\) als „Die Person X erkrankt an Lungenkrebs“, dann wird die praktische Bedeutung einer stochastischen Abhängigkeit drastisch sichtbar, denn für \(W\left( \left\{ \left( 1,1\right) \right\} \right) >W\left( \varepsilon =1\right) \cdot W\left( \eta =1\right) \) erhöht Rauchen das Erkrankungsrisiko.
- 4.
Auch der Weg einer Kugel durch das Galtonbrett kann als Element \(\omega \) von \(\varOmega ^{N}\) aufgefasst werden. Der Wert \(Z_{N}\left( \omega \right) \) gibt dann den Endversatz des Weges nach N Hindernissen an.
- 5.
Das heißt, jedes Element der Folge \(\omega \) wird von einem Zufallsgenerator erzeugt, der durch \(W_{1}\) beschrieben ist. Man denke etwa an eine Folge von Würfelexperimenten.
- 6.
Eine Basis eines Vektorraumes heißt Orthonormalbasis, wenn sie aus lauter Vektoren besteht, deren Skalarprodukt mit sich selbst gleich 1 ist, während das Skalarprodukt zwischen zwei unterschiedlichen Basisvektoren 0 ergibt.
- 7.
Natürlich funktioniert die Konstruktion bei endlichen Mengen \(\varOmega \) für jedes \(\beta \in \mathbb {R}\).
- 8.
Siehe Satz 35 samt Bemerkung in [2, Kap. III, Abschn. 7].
- 9.
Den Fehler werden wir allerdings nicht abschätzen können.
- 10.
Es gilt also \(W_{n,\alpha }\left( \left\{ k\right\} \right) =\left( \begin{array} [c]{c} n\\ k \end{array} \right) \alpha ^{k}\left( 1-\alpha \right) ^{n-k}\).
- 11.
Tiroler Tageszeitung vom 1. April 2016, S. 13.
- 12.
Ein Unfall, dem mehrere Mitglieder einer regelmäßigen Fahrgemeinschaft zum Opfer fallen, zeigt, dass die Annahme unabhängiger Münzwürfe die Aufgabe zu sehr vereinfacht.
- 13.
Noch allgemeiner ist die Vorgabe einer Verteilungsfunktion \(F:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\) mit folgenden Eigenschaften: F ist nicht fallend, F ist stetig bis auf höchstens abzählbar viele Sprungstellen, in den Sprungstellen ist F rechtsseitig stetig, \(\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0\) und \(\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1\).
- 14.
Das Kürzel \({\text {erf}}\) leitet sich von error function ab.
- 15.
Also \(\left| \left( a,b\right) \right| :=b-a\).
- 16.
Wie f außerhalb von R definiert ist, spielt im Folgenden keine Rolle.
- 17.
In der Physik tritt \(F_{r}\) mit \(\delta ^{2}=kT/m\) als Maxwells thermische Geschwindigkeitsverteilung eines einzelnen Teilchens von einem Massenpunktgas der Temperatur T auf. Der Erwartungswert der kinetischen Energie \(m\left| v\right| ^{2}/2\) des Teilchens ergibt sich zu 3kT / 2. Da die Geschwindigkeiten aller Teilchen voneinander unabhängig verteilt sind, gilt für die Zahl \(N\left( x\right) \) der Teilchen mit \(\left| v\right| <x\), dass \(N\left( x\right) /N_{ges}\approx F_{r}\left( x\right) \).
- 18.
Es gilt für jedes \(A\subset f(\varOmega )\), dass \(W_{f}(A)=W\left( f^{-1}\left( A\right) \right) \), wobei \(f^{-1}(A)=\left\{ \omega \in \varOmega \mid f(\omega )\in A\right\} \).
- 19.
Eine Abbildung \(f:X\rightarrow Y\) heißt injektiv, falls für alle \(a,b\in X\) mit \(a\ne b\) gilt: \(f(a)\ne f(b)\).
- 20.
Es gilt:
$$ (x+y)^{N}=\sum _{k=0}^{N}\left( \begin{array} [c]{c} N\\ k \end{array} \right) x^{k}y^{N-k}. $$ - 21.
Für eine reelle stochastische Variable f auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum \((\varOmega ,W)\) gilt
$$ W\left( \left\{ \omega \in \varOmega :\left| f(\omega )-\left\langle f\right\rangle \right| \ge t\right\} \right) \le V(f)t^{-2}. $$ - 22.
Es gilt sogar für alle \(m\in \mathbb {N}\), dass \(\lim _{\Theta \rightarrow 0}\left\langle n\right\rangle /\Theta ^{m}=0\).
- 23.
\(2\cdot \mathbb {N}_{0}:=\left\{ 2n\mid n\in \mathbb {N}_{0}\right\} \).
- 24.
Ersetzen Sie Geburt durch Zerfall, dann haben Sie die Poissonverteilung der Zahl der Zerfälle einer (makroskopischen) radioaktiven Probe in einer Zeitspanne, die viel kleiner als die Halbwertszeit ist.
Literatur
Dehling, H., Haupt, B.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer, Berlin (2003)
Erwe, F.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1. BI, Mannheim (1973)
Fischer, H., Kaul, H.: Mathematik für Physiker, Bd. 1. Teubner, Stuttgart (2005a)
Fischer, H., Kaul, H.: Mathematik für Physiker, Bd. 2. Teubner, Stuttgart (2005b)
Gårding, L.: Encounter with Mathematics. Springer, New York (1977)
Popper, K.: Logik der Forschung. Mohr, Tübingen (1973)
Weltner, K.: Mathematik für Physiker 1. Springer, Berlin (2001)
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Grübl, G. (2019). Wahrscheinlichkeit. In: Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 2. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58075-2_1
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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