Zusammenfassung
Wie entnimmt man dem Term eines Polynoms oder einer rationalen Funktion Informationen über seine/ihre qualitativen Eigenschaften wie z. B. das asymptotische Verhalten oder die Anzahl bzw. Lage der Nullstellen, Polstellen, Extremstellen? Ehe man das Thema mithilfe der Analysis vertieft, ist eine elementare Behandlung sinnvoll, etwa um die Vor- und Nachteile verschiedener Formen des Funktionsterms kennenzulernen (ähnlich wie bei den quadratischen Funktionen). Auch hier gibt es zahlreiche Möglichkeiten, mit einem Funktionenplotter zu experimentieren: Wie ändert sich ein Funktionsgraph, wenn man im Term einen Parameter variiert? Weiterhin werden ganzzahlige Polynomfolgen untersucht (z. B. Quadratzahlen, Kubikzahlen, allgemein \(p\)-te Potenzen), wobei Differenzenfolgen eine prominente Rolle spielen; daraus wird eine Methode entwickelt, um zu einer Polynomfolge einen Term für die Summenfolge zu bestimmen (d. h. für die Summen der ersten \(n\) Folgenglieder).
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Notes
- 1.
Man muss Polynome nicht unbedingt unter dem funktionalen Aspekt sehen, sozusagen als Funktionen, die vorgegebenen \(x\)-Werten eben bestimmte Funktionswerte zuordnen, sondern man kann sie auch als Objekte für sich (ohne diesen Zuordnungsaspekt) betrachten, mit denen nach gewissen Regeln gerechnet werden kann. Dies geschieht oft in der Algebra, aber bei uns soll dieser Aspekt keine Rolle spielen. Wir verwenden die beiden Begriffe „Polynomfunktion“ und „Polynom“ synonym.
- 2.
Anschaulich ist das klar; streng genommen braucht man hierzu die Stetigkeit der Polynomfunktion und den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
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Humenberger, H., Schuppar, B. (2019). Polynome und rationale Funktionen. In: Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderungen beschreiben. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58062-2_9
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-58061-5
Online ISBN: 978-3-662-58062-2
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