Zusammenfassung
Die Stochastik (Sammelbezeichnung für beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilende Statistik) hat in den letzten Jahrzehnten einen deutlichen Aufschwung im Schulunterricht erlebt. Auch in der Lehrerausbildung spielt sie eine zunehmend große Rolle. Das war für uns einer der wesentlichen Gründe, in einem Buch über elementare Funktionen ein Kapitel der Stochastik zu widmen. Jeder von uns ist oft konfrontiert mit vielen Statistiken, die es zu interpretieren gilt, und da muss man wachsam und kritisch sein, wenn man nicht den „Fallstricken der beschreibenden Statistik“ anheimfallen will. Deswegen haben wir einen entsprechenden Abschnitt in dieses Kapitel integriert. Zu Beginn wird der funktionale Charakter (eindeutige Zuordnung) von Häufigkeiten betont (einschließlich der zugehörigen Darstellungsmöglichkeiten), und in weiterer Folge werden Betrachtungen angestellt, welche Vorteile es mit sich bringt, wenn man in so manchen Bereichen der Stochastik die funktionale Brille aufzusetzen imstande ist (Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariablen, Erwartungswerte, Varianzen etc.).
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- 1.
Eigentlich werden bei Histogrammen nicht die Häufigkeiten (relative oder absolute) selbst aufgetragen, sondern man muss vorher noch durch die „Klassenbreite“ (das ist die Intervallbreite) dividieren und erhält dadurch sogenannte Häufigkeitsdichten zum Auftragen. Da unsere Klassenbreite aber 1 beträgt, macht es hier keinen Unterschied, ob man durch die sie dividiert oder nicht. Bei Klassenbreiten ungleich 1 (aber alle Klassen gleich breit!) verändern sich mit der Division durch die Klassenbreite zwar die Werte, aber ihr Verhältnis bleibt gleich, d. h.: Der optische Eindruck des Histogramms ändert sich nicht, denselben Effekt hätte man auch bei einer anders skalierten \(y\)-Achse. Die Division durch die Klassenbreite wirkt sich erst dann auch optisch aus, wenn die Klassen nicht mehr gleich breit sind.
- 2.
Das kommt beim „Mensch ärgere dich nicht“ vor: Bevor man eine Figur einsetzen kann, muss man eine Sechs würfeln, allerdings darf man pro Runde höchstens dreimal würfeln.
- 3.
Die einzelnen Versuchswiederholungen werden dabei als „unabhängig voneinander“ vorausgesetzt.
- 4.
Es gibt ja nicht nur einen Wahrscheinlichkeitsbegriff, sondern deren mehrere (z. B. objektivistisch-frequentistisch, subjektivistisch etc.), aber darauf kommt es hier nicht an, denn es ist ja kein Lehrbuch zur Stochastik.
- 5.
Diese werden oft auch als Kolmogorow-Axiome bezeichnet.
- 6.
Manchmal sind die Elemente von \(\Omega\) selbst schon reelle Zahlen (wie z. B. beim Werfen eines Würfels: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)), dann braucht man keine weitere Funktion \(Z\colon\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}\), um letztlich zu reellen Zahlen zu kommen.
- 7.
Was im Schulunterricht keineswegs selbstverständlich ist. Hier ist oft die Vorstellung von „zufällige Werte“ primär, der Charakter einer Funktion bzw. einer Zuordnung fehlt häufig gänzlich.
- 8.
Diese Ausprägungen \(x_{i}\) sind ja in einer gewissen Weise nur eine „Verdichtung“ von \(\Omega\), denn verschiedenen Elementen von \(\Omega\) kann ja durch \(X\) derselbe Wert \(x_{i}\) zugeordnet werden. Dadurch wird zwar das Berechnen von Erwartungswerten klarerweise oft verkürzt (weniger Summanden), aber für viele strukturelle Einsichtenist die schulübliche Erwartungswertdefinition nicht förderlich.
Literatur
Bauer TK, Gigerenzer G, Krämer W (2014) Warum dick nicht doof macht und Genmais nicht tötet. Über Risiken und Nebenwirkungen der Unstatistik. Campus, Frankfurt a. M.
Büchter A, Henn H-W (2007) Elementare Stochastik. Springer, Berlin Heidelberg
Henze N (2013) Stochastik für Einsteiger, 10. Aufl. Springer, Berlin Heidelberg
Humenberger, H (Hrsg) (2017) Das ist Mathematik 2. Österreichisches Schulbuch für die 6. Schulstufe. ÖBV-Verlag, Wien
Humenberger, H (2018) Erwartungswert und Varianz bei der Binomial- und geometrischen Verteilung – mögliche Begründungen im Schulunterricht. Stochastik in der Schule 38(1):26–32
Krämer W (1991) So lügt man mit Statistik. Campus, Frankfurt a. M.
Krämer W (1992) Statistik verstehen. Campus, Frankfurt a. M.
Krämer W (1994) So überzeugt man mit Statistik. Campus, Frankfurt a. M.
Krämer W (1995) Denkste! Trugschlüsse aus der Welt des Zufalls und der Zahlen. Campus, Frankfurt a. M.
Krämer W (2002) Statistik für die Westentasche. Piper, München
Quatember A (2014) Statistik ohne Angst vor Formeln, 4. Aufl. Pearson Studium, München
Quatember A (2014) Statistischer Unsinn. Wenn Medien an der Prozenthürde scheitern. Springer, Berlin Heidelberg
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Humenberger, H., Schuppar, B. (2019). Funktionen in der Stochastik. In: Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderungen beschreiben. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58062-2_11
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