Zusammenfassung
Der Zugang zur Methode der Finiten Elemente kann aus unterschiedlicher Motivation kommen. Im Wesentlichen lassen sich drei Wege aufzeigen:
-
ein eher anschaulicher Weg, der die Wurzeln in der ingenieurmäßigen Arbeitsweise hat,
-
eine physikalisch oder
-
mathematisch motivierte Betrachtungsweise.
Je nach Blickwinkel ergeben sich verschiedene Formulierungen, die jedoch in einer allen gemeinsamen Hauptgleichung der Finite-Elemente-Methode münden. Ausführlich vorgestellt werden die Beschreibungsformen ausgehend von
-
den Matrixmethoden,
-
den physikalisch basierten Arbeits- und Energieprinzipien und
-
dem Prinzip der gewichteten Residuen.
Die Finite-Elemente-Methode wird zur Lösung verschiedener physikalischer Problemstellungen herangezogen. Hier werden ausschließlich Finite-Elemente-Formulierungen zur Strukturmechanik betrachtet.
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Notes
- 1.
Der zusätzliche Index e entfällt bei den Verschiebungen, da bei der Verschiebungsmethode die Knotenverschiebungen für jedes verbundene Element identisch sind.
- 2.
Im eindimensionalen Fall vereinfacht sich der Differenzialoperator zur Ableitung \(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\).
- 3.
Die Formänderungsenergie wird auch häufig in die Volumen- und Gestaltänderungsenergie aufgespalten.
- 4.
Auch als Prinzip der virtuellen Verrückungen bezeichnet.
- 5.
Auf den Index „e“ bei der Elementkoordinate wird im Folgenden – falls es das Verständnis nicht beeinträchtigt – verzichtet.
- 6.
Da im Gesamtpotenzial die statischen Randbedingungen implizit enthalten sind, müssen die Ansatzfunktionen diese nicht erfüllen. Erfüllen die Ansatzfunktionen jedoch zusätzlich auch die statischen Randbedingungen, kann eine genauere Approximation erwartet werden.
- 7.
Für jedes Element e wird üblicherweise ein eigenes lokales Koordinatensystem \(0\leq x^{\mathrm{e}}\leq L^{\mathrm{e}}\) eingeführt. Die Koordinate in (2.88) wird dann als globale Koordinate bezeichnet und erhält das Symbol \(X\).
Literatur
Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer, Berlin
Brebbia CA, Telles JCF, Wrobel LC (1984) Boundary Element Techniques: Theory and Applications. Springer, Berlin
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Merkel, M., Öchsner, A. (2020). Motivation zur Finite-Elemente-Methode. In: Eindimensionale Finite Elemente. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7_2
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