Gleichungen mit einer Variablen

Kapitelvorwort

In diesem Kapitel wiederholen Sie, wie Gleichungen mit einer Variablen durch Äquivalenz- und Termumformungen gelöst werden können. Solche Umformungen verändern nämlich die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Darüber hinaus reflektieren Sie die Bedingungen, unter denen die Umformungen möglich sind, und können am Ende des Kapitels entscheiden, welche Lösungsverfahren sinnvoll anwendbar sind.

Appendices

Aufgaben

9.1

Lösen Sie die Gleichungen, und benennen Sie die jeweils verwendeten Umformungen.

• a) $5x-(8x-2)=4+(4+3x)$

• b) $4(2u-7)=3u-5(2-u)$

• c) $e^{3t-1}=5$

• d) $\ln(s^{2}+1)=1$

• e) $\left(\sqrt{2}\right)^{p}=0{,}125$

9.2

Lösen Sie die Gleichungen.

• a) $x^{3}=4x^{2}$

• b) $(x+2)^{2}=x(x-4)$

• c) $\frac{3}{4}x+\frac{1}{3}=x-\frac{1}{2}\cdot(x-7)$

• d) $x^{4}-13x^{2}+36=0$

• e) $x^{10}+3x^{5}-10=0$

9.3

Bestimmen Sie die Lösungsmengen.

• a) $x^{2}+3x-4=0$

• b) $x^{2}+3x+4=0$

• c) $x^{2}-4x+2=0$

• d) $2x^{2}-4x+2=0$

• e) $-6x^{2}-4x+2=0$

9.4

Wie viele Lösungen gibt es?

• a) $e^{x}-4e^{-x}=0$

• b) $e^{x}+4e^{-x}=4$

• c) $e^{x}+2e^{-x}=3$

• d) $e^{2x}+e^{x}=0$

• e) $e^{2x}-e^{x}=2$

9.5

Wie viele Lösungen gibt es?

• a) $x+\sqrt{30-x}=0$

• b) $x-\sqrt{30-x}=0$

• c) $|x|+\sqrt{30-x}=0$

• d) $|x|-\sqrt{30-x}=0$

9.6

Geben Sie die Lösungsmenge an.

• a) $|x-3|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

• b) $|x+2|=\frac{1}{6}-\frac{1}{5}$

• c) $|x-3|=|x+2|$

9.7

Lösen Sie die Gleichungen.

• a) $e^{2x}-e^{x}=2$

• b) $2\sqrt{y-3}+10=2$

• c) $2\cdot 3^{n+1}=162$

• d) $a\cdot\ln(a+1)-\ln(a+1)=0$

• e) $14+2e^{-2t}-16e^{-t}=0$

• f) $2\cdot|3x-2|=5$

• g) $2\sqrt{3-x}=3\sqrt{2-x}$

9.8

Max verkauft für seine Eltern an einem Tag 120 Zucchini. Am nächsten Tag verkauft er 135 Zucchini zu einem um 10 Cent niedrigeren Preis und erzielt dieselbe Einnahme. Welchen Preis hat er am ersten Tag genommen?

9.9

Eine Softwarefirma kauft für die Kaffeeküche einen Vorrat an Kaffeebohnen im Wert von 312 €. Nach einer Preiserhöhung um 1 € pro Kilo bekommen die Informatiker für denselben Betrag 2 kg Kaffeebohnen weniger. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Lösungen zu den Aufgaben

9.1

• a) Die einzige Lösung ist $x=-1$:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle 5x-(8x-2)=4+(4+3x)&\displaystyle&\displaystyle|\ \textnormal{Termumformungen}\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle{-3x}+2=8+3x&\displaystyle&\displaystyle|\ +3x-8\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle{-6}=6x&\displaystyle&\displaystyle|\ :6\end{aligned}$$

• b) Es gibt keine Lösung:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle 4(2u-7)=3u-5(2-u)&\displaystyle&\displaystyle|\ \textnormal{Termumformungen}\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 8u-28=8u-10&\displaystyle&\displaystyle|\ -8u+28\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 0=18\end{aligned}$$

• c) Die eindeutige Lösung ist $t=\frac{1}{3}(1+\ln(5))$:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle e^{3t-1}=5&\displaystyle&\displaystyle|\ \ln\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 3t-1=\ln(5)&\displaystyle&\displaystyle|\ +1\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 3t=1+\ln(5)&\displaystyle&\displaystyle|\ :3\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle t=\frac{1}{3}\cdot(1+\ln(5))\end{aligned}$$

• d) Die beiden Lösungen sind $s=\pm\sqrt{e-1}$:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\ln(s^{2}+1)=1&\displaystyle&\displaystyle|\ e^{\wedge}\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle s^{2}+1=e&\displaystyle&\displaystyle|\ -1\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle s^{2}=e-1&\displaystyle&\displaystyle|\ \sqrt{\leavevmode\nobreak\ }\end{aligned}$$

• e) Die eindeutige Lösung ist $p=-6$:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left(\sqrt{2}\right)^{p}=0{,}125&\displaystyle&\displaystyle|\ \ln\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle p\cdot\ln(\sqrt{2})=\ln(0{,}125)&\displaystyle&\displaystyle|\ :\ln(\sqrt{2})\neq 0\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle p=\frac{\ln(0{,}125)}{\ln(\sqrt{2})}&\displaystyle&\displaystyle\end{aligned}$$

  Wegen $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ und $0{,}125=\frac{1}{8}=2^{-3}$ kann das vereinfacht werden.

  $$\begin{aligned}\displaystyle p=\frac{\ln(2^{-3})}{\ln\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}=\frac{-3\ln(2)}{\frac{1}{2}\ln(2)}=-6\end{aligned}$$

9.2

• a) $x\in\{0;4\}$. Der entscheidende Schritt ist das Faktorisieren $x^{3}-4x^{2}=0\ \Leftrightarrow\ x^{2}\cdot(x-4)=0$.

• b) $x=-\frac{1}{2}$

• c) $x=\frac{38}{3}$

• d) $x\in\{-3;-2;2;3\}$. Die Substitution $u=x^{2}$ ergibt die quadratische Gleichung $u^{2}-13u+36=0$ mit den beiden Lösungen $u_{1}=4$ und $u_{2}=9$.

• e) $x\in\{-\sqrt[5]{5};\sqrt[5]{2}\}$. Die Substitution $u=x^{5}$ ergibt die quadratische Gleichung $u^{2}+3u-10=0$ mit den beiden Lösungen $u_{1}=-5$ und $u_{2}=2$. Beachten Sie, dass die Schreibweise $\sqrt[5]{-5}$ nicht zulässig ist.

9.3

• a) $\{-4;1\}$

• b) $\emptyset$

• c) $\{2\pm\sqrt{2}\}$

• d) $\{1\}$

• e) $\{-1;\frac{1}{3}\}$

9.4

Bei den ersten drei Teilaufgaben ist es sinnvoll, die Gleichung zuerst mit $e^{x}\neq 0$ zu multiplizieren. In allen Teilaufgaben führt die Substitution $u=e^{x}$ zum Ziel. Wegen $u^{2}=(e^{x})^{2}=e^{2x}$ entsteht dadurch eine quadratische Gleichung.

• a) b) e) Eine Lösung ($\ln(2)$)

• c) Zwei Lösungen ($0$ und $\ln(2)$)

• d) Keine Lösung

9.5

Nach dem Isolieren der Wurzel und nachfolgendem Quadrieren führen alle Teilaufgaben zur quadratischen Gleichung $x^{2}=30-x$ mit den beiden Lösungen $x_{1}=-6$ und $x_{2}=5$. Die nötige Probe entscheidet, welche davon auch Lösungen der Ausgangsgleichung sind:

• a) Eine Lösung ($-6$)

• b) Eine Lösung ($5$)

• c) Keine Lösung

• d) Zwei Lösungen ($-6$ und $5$)

9.6

Entscheidend ist die Kenntnis, dass $|x-a|$ den Abstand der Zahlen $x$ und $a$ auf dem Zahlenstrahl angibt.

• a) $\left\{\frac{17}{6};\frac{19}{6}\right\}$. Der Abstand von $x$ und $3$ ist $\frac{1}{6}$. Damit ist $x$ gleich $3-\frac{1}{6}$ oder $3+\frac{1}{6}$.

• b) $\emptyset$. Der Abstand von $x$ und $-2$ ist $-\frac{1}{30}$. Negative Abstände sind nicht möglich.

• c) $\left\{\frac{1}{2}\right\}$. $x$ hat von $3$ den gleichen Abstand wie von $-2$. $x$ liegt demnach genau in der Mitte zwischen den beiden Zahlen.

9.7

• a) $x=\ln(2)$. Die Substitution $u=e^{x}$ ergibt die quadratische Gleichung $u^{2}-u=2$ mit den Lösungen $u_{1}=-1$ und $u_{2}=2$. Für $u_{1}$ führt die Rücksubstitution zur unlösbaren Gleichung $e^{x}=-1$, für $u_{2}$ zu $e^{x}=2$.

• b) Keine Lösung. Weil Wurzeln stets $\geq 0$ sind, steht links mindestens $10$. Dies zeigt am schnellsten die Unlösbarkeit der Gleichung. Die aufwendige formale Lösung

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle 2\sqrt{y-3}+10=2&\displaystyle&\displaystyle|\ -10\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 2\sqrt{y-3}=-8&\displaystyle&\displaystyle|\ :2\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle\sqrt{y-3}=-4&\displaystyle&\displaystyle|\ \textnormal{Quadrieren}\\ \displaystyle\Rightarrow\quad&\displaystyle y-3=16&\displaystyle&\displaystyle|\ +3\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle y=19\end{aligned}$$

  erfordert wegen des Quadrierens noch eine Probe. Diese zeigt, dass $y=19$ die Ausgangsgleichung nicht erfüllt.

• c) $n=3$. Es ist $3^{n+1}=81=9^{2}=3^{4}$.

• d) $a\in\{0;1\}$. Unmittelbares Faktorisieren liefert die Gleichung $(a-1)\ln(a+1)=0$.

• e) $t\in\{0;-\ln(7)\}$. Die Substitution $u=e^{-t}$ ergibt die quadratische Gleichung $2u^{2}-16u+14=0$ mit den beiden Lösungen $u_{1}=1$ und $u_{2}=7$.

• f) $x\in\{-\frac{1}{6};\frac{3}{2}\}$. Herausziehen von $3> 0$ aus dem Betrag liefert $6|x-\frac{2}{3}|=5$. Der Abstand von $x$ und $\frac{2}{3}$ muss demzufolge $\frac{5}{6}$ betragen.

• g) $x=\frac{6}{5}$. Da beide Seiten positiv sind, ist Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung, wodurch die Probe entfällt.

9.8

90 Cent. Bezeichnet man den Preis in Cent einer Zucchini am ersten Tag mit $p$, so kann die Aufgabenstellung als Gleichung $120p=135(p-10)$ dargestellt werden.

9.9

12 €. Ist $p$ der ursprüngliche Preis in Euro und $m$ die dabei erhaltene Menge an Kaffee in kg, dann ist $m\cdot p=312$ und $(m-2)\cdot(p+1)=312$. Die erste Gleichung ermöglicht die Ersetzung von $m$ durch $p$ in der zweiten:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left(\frac{312}{p}-2\right)(p+1)=312\qquad\qquad|\ \cdot\frac{p}{2}\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle(156-p)(p+1)=156p\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 156p+156-p^{2}-p=156p\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle 156-p^{2}-p=0\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle p^{2}+p-156=0\\ \displaystyle\Leftrightarrow\quad&\displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot(-1\pm\sqrt{1+624})=\frac{1}{2}\cdot(-1\pm 25)\end{aligned}$$

Als Preis kommt offenbar nur die positive der beiden Lösungen infrage.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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