Integralrechnung

Kapitelvorwort

In diesem Abschnitt wiederholen Sie die wichtigsten Grundvorstellungen, Regeln und Anwendungen der Integralrechnung. Sie wissen, welche Zugänge zum Integral es gibt, kennen die Stammfunktionen wichtiger Funktionsklassen und können bestimmte Integrale in verschiedenen Situationen berechnen.

Appendices

Aufgaben

14.1

• a) Berechnen Sie näherungsweise das Integral

  $$\begin{aligned}\displaystyle\int^{4}_{1}(x^{2}+1)\,dx,\end{aligned}$$

  indem Sie das Intervall $[1;4]$ in drei gleiche Teile teilen und damit die Ober- und Untersumme berechnen.

• b) Bestimmen Sie den exakten Wert des Integrals.

14.2

• a) In eine zunächst leere Badewanne fließen konstant 10 Liter pro Minute. Geben Sie mittels Integral eine Funktion $W$ an, die die Wassermenge der Badewanne in Abhängigkeit der Zeit $t$ angibt. Wann sind in die Badewanne 250 Liter Wasser geflossen?

• b) In eine bereits mit 50 Liter Wasser gefüllte Badewanne fließen 10 Liter pro Minute. Geben Sie eine Funktion $W$ an, die die Wassermenge der Badewanne in Abhängigkeit der Zeit $t$ angibt. Wann ist die Badewanne mit 250 Liter Wasser gefüllt?

• c) In ein mit anfangs 50 Liter gefülltes Becken fließt in den ersten 5 Minuten gemäß des Zuflusses $Z$ mit $Z(t)=10\cdot t$ Wasser zu ($Z(t)$ in Litern pro Minute, $t$ in Minuten). Nach 5 Minuten wird der Zufluss gestoppt, und fortan fließen 5 Liter pro Minute aus dem Becken ab. Geben Sie eine Funktion $W$ an, die die Wassermenge des Beckens in Abhängigkeit der Zeit angibt. Wann ist das Becken leer?

14.3

Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale ohne Taschenrechner.

• a) $\displaystyle\int^{4}_{2}x^{4}\,dx$

• b) $\displaystyle\int^{\pi}_{0}\sin(x)\,dx$

• c) $\displaystyle\int_{-1}^{1}x\,dx$

• d) $\displaystyle\int_{\frac{1}{10}}^{1}\frac{1}{x}\,dx$

• e) $\displaystyle\int_{2}^{3}e^{x}\,dx+\int_{3}^{4}e^{x}\,dx$

• f) $\displaystyle\int_{0}^{2}3\,dx$

• g) $\displaystyle\int_{-3}^{2}(2+x)^{3}\,dx$

• h) $\displaystyle\int_{1}^{3}(2x^{2}-x^{4})\,dx$

14.4

Bestimmen Sie zu den durch $f(x)$ gegebenen Funktionen $f$ alle Stammfunktionen $F$ von $f$.

• a) $f(x)=x^{5}$

• b) $f(x)=7x^{3}$

• c) $f(x)=\frac{x^{2}}{9}$

• d) $f(x)=3x^{2}-7x+6$

• e) $f(x)=\sin(x+1)$

• f) $f(x)=\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x}$

• g) $f(x)=e^{2x}+\cos(2x)$

• h) $f(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}$

14.5

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ und skizzieren Sie das Schaubild. Berechnen Sie anschließend die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossene Fläche.

• a) $f(x)=4x-x^{2}$

• b) $f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x$

• c) $f(x)=\frac{1}{5}x^{4}-\frac{1}{25}x^{5}$

14.6

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von $f$, der $x$-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird.

• a) $f(x)=\sqrt{x}$, $a=2$, $b=4$

• b) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-x$, $a=1$, $b=4$

• c) $f(x)=-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+1$, $a=-1$, $b=0$

14.7

Gegeben sind die folgenden Funktionen $f$ und $g$ jeweils durch ihre Funktionsterme $f(x)$ und $g(x)$. Bestimmen Sie den Wert des Flächeninhalts, der von den beiden Kurven eingeschlossen wird.

• a) $f(x)=x+2$, $g(x)=-x^{2}+4$

• b) $f(x)=3$, $g(x)=-x^{2}+4$

• c) $f(x)=x^{3}$, $g(x)=7x-6$

  Hinweis: Die Schnittstellen lauten $x_{1}=-3$ , $x_{2}=1$ , $x_{3}=2$ .

14.8

Eine Fassade ist 10 Meter hoch und 10 Meter breit. Sie soll farbig so gestrichen werden, dass $50\,\%$ der Fassadenfläche angestrichen wird. Die begrenzenden Kurven, die sich am linken und rechten Rand mittig treffen sollen, sind parabelförmig und spiegelbildlich zueinander. Bestimmen Sie mögliche Gleichungen dieser Randkurven.

Lösungen zu den Aufgaben

14.1

• a) $O_{3}=32$, $U_{3}=17$

• b) $\int^{4}_{1}(x^{2}+1)\,dx=24$

Anmerkung: Es ergeben sich für feinere Unterteilungen folgende Ober- und Untersummen:

$$\begin{aligned}\displaystyle O_{10}&\displaystyle\approx 26{,}29&\displaystyle U_{10}&\displaystyle\approx 21{,}80\\ \displaystyle O_{50}&\displaystyle\approx 24{,}45&\displaystyle U_{50}&\displaystyle\approx 23{,}55\\ \displaystyle O_{150}&\displaystyle\approx 24{,}15&\displaystyle U_{150}&\displaystyle\approx 23{,}85\end{aligned}$$

14.2

• a) $W(t)=10\cdot t$. $W(25)=250$, also nach $t=25$ Minuten

• b) $W(t)=10\cdot t+50$. $W(20)=250$, also nach $t=20$ Minuten

• c) $W(t)=\left\{\begin{array}[]{ccl}50+5\cdot t^{2}&\text{f{\"u}r}&0\leq t\leq 5\\ 175-5\cdot(t-5)&\text{f{\"u}r}&5\leq t\end{array}\right.$

  $W(40)=0$, also nach $t=40$ Minuten

14.3

• a) $198{,}4$

• b) 2

• c) 0

• d) $\ln(10)$

• e) $e^{2}(e^{2}-1)$

• f) $6$

• g) $63{,}75$

• h) $-\frac{466}{15}$

14.4

Mit $C\in\mathbb{R}$ sind Stammfunktionen gegeben durch:

• a) $\frac{1}{6}x^{6}+C$

• b) $\frac{7}{4}x^{4}+C$

• c) $\frac{1}{27}x^{3}+C$

• d) $x^{3}-\frac{7}{2}x^{2}+6x+C$

• e) $-\cos(x+1)+C$

• f) $-\frac{2}{x}+2\ln(|x|)+C$

• g) $\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}\sin(2x)+C$

• h) $\frac{3}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}}+C$

14.5

• a) $x_{1}=0,\ x_{2}=4,\ A=\int_{0}^{4}f(x)\,dx=\frac{32}{3}$

• b) $x_{1}=0,\ x_{2}=2,\ A=\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\frac{4}{3}$

• c) $x_{1}=0,\ x_{2}=5,\ A=\left|\int_{0}^{5}f(x)\,dx\right|=\left|{-\frac{125}{6}}\right|=\frac{125}{6}$

14.6

• a) $-\frac{4}{3}\cdot\sqrt{2}+\frac{16}{3}$

• b) $\frac{11}{2}$

• c) $\frac{43}{48}$

14.7

• a) Schnittstellen $x_{1}=-2,\ x_{2}=1$, $A=\frac{9}{2}$

• b) Schnittstellen $x_{1}=-1,\ x_{2}=1$, $A=\frac{4}{3}$

• c) Schnittstellen $x_{1}=-3,\ x_{2}=1,x_{3}=2$, $A=32{,}75$

14.8

Wenn man den Ursprung des Koordinatensystems links in den Treffpunkt der beiden Parabeln legt, lauten die Randfunktionen $f(x)=\frac{3}{20}\cdot x\cdot(x-10)$ und $g(x)=-\frac{3}{20}\cdot x\cdot(x-10)$.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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