Das Lebesgue-Integral

Zusammenfassung

Bei der Einführung des Integralbegriffs folgen wir einem Weg, der im Wesentlichen von W.H. Young vorgeschlagen wurde und der sich auf die Benutzung monotoner Folgen stützt. Dieser Zugang zeichnet sich dadurch aus, dass von vornherein auch unbeschränkte Funktionen und Maßräume unendlichen Maßes ohne jeden Mehraufwand einbezogen werden, und die konstruktive Integraldefinition liefert automatisch für viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz. Die Brücke zur ursprünglichen Definition von Lebesgue schlagen wir in Aufgabe 3.1. Zentrale Ergebnisse sind die klassischen Konvergenzsätze von Levi, Fatou und Lebesgue und die Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften von Integralen, die von einem Parameter abhängen. Eine beschränkte Funktion f auf einem kompakten Intervall erweist sich genau dann als Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Lebesguesche Nullmenge ist, und dann stimmen das Riemann- und das Lebesgue-Integral von f überein.