Quantenelektrodynamik

Zusammenfassung

Die Quantenelektrodynamik (QED) ist die quantenmechanische Erweiterung der klassischen Elektrodynamik und auch im mikroskopischen Bereich gültig. Insbesondere ist die klassische Theorie als Grenzfall aus der QED zu erhalten. Damit beschreibt die QED alle elektromagnetischen Phänomene über kosmische Längenskalen bis hinunter zu $\sim 10^{-18}$ m. Zunächst diskutierenwir das Konstruktionsprinzip der Theorie basierend auf ihrer Eichsymmetrie, das später auch als Vorlage für andere Wechselwirkungen im Standardmodell dienen wird. Ohne sie im Detail herzuleiten stellen wir die Feynmanregeln vor und gehen dann durch einige elementare Streuprozesse, für die wir die Wirkungsquerschnitte berechnen und mit Resultaten an Beschleunigerexperimenten vergleichen wollen.

Aufgaben

8.1

Man berechne den differenziellen Wirkungsquerschnitt $\mathrm{d}\sigma /\mathrm{d}\Omega$ sowie den totalen Wirkungsquerschnitt $\sigma$ für den Prozess $e^+ +e^- \longrightarrow \mu ^+ + \mu ^-$ im ultrarelativistischen Fall.

8.2

Man berechne das spingemittelte Matrixelement für die Elektron-Elektron-Streuung $e^+ +e^- \longrightarrow e^+ + e^-$ und verifiziere den Ausdruck (8.70).

8.3

Man zeige, dass der differenzielle Wirkungsquerschnitt für die Bhabhastreuung $e^+ + e^-\longrightarrow e^++e^-$ im ultrarelativistischen Fall und im Schwerpunktsystem gegeben ist durch

$$ \frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\Omega }=\frac{\alpha ^2}{8E^2}\left[ \frac{1+\cos ^4\frac{\theta }{2}}{\sin ^4\frac{\theta }{2}} +\frac{1+\cos ^2\theta }{2}-\frac{2\cos ^4\frac{\theta }{2}}{\sin ^2\frac{\theta }{2}}\right] , $$

wobei $\theta$ den Streuwinkel und E die Energie von Elektron und Positron im Schwerpunktsystem bezeichnen.

8.4

Man berechne für die Comptonstreuung $e^-+\gamma \longrightarrow e^-+\gamma$ im ultrarelativistischen Grenzfall das spingemittelte Matrixelement:

$$ \overline{|M_{fi}|^2}=2e^4\left( -\frac{u}{s}-\frac{s}{u}\right) . $$

Bei der Berechnung des totalen Wirkungsquerschnitts im Schwerpunktsystem stößt man auf eine Divergenz. Wodurch wird sie verursacht und wie ist sie zu beheben?

8.5

Man begründe mathematisch, warum virtuelle Teilchen mit kleinen Massen größere Beiträge zu physikalischen Prozessen liefern als schwere.