Klassische Feldtheorie

Zusammenfassung

Gemäß den Überlegungen des letzten Abschnitts starten wir in diesem Kapitel neu und formulieren zunächst klassische Theorien für Felder verschiedenen Verhaltens unter Lorentztransformationen, die dann im nächsten Kapitel den Ausgangspunkt für die Quantisierung bilden werden. Wir beginnen mit der Übertragung des Hamilton-Lagrange-Formalismus von Mehrteilchensystemen auf relativistische Felder und lernen dabei, wie man mit Funktionalen rechnet. Dann formulieren wir einige grundlegende Axiome, die Wirkungen erfüllen müssen, um physikalische Systeme beschreiben zu können. Damit ausgestattet konstruierenwir die einfachsten Wirkungen für freie Felder. Am Beispiel des skalaren Feldes beweisen wir schließlich das im Folgenden sehr wichtige Noethertheorem, wonach die Invarianz der Wirkung unter einer kontinuierlichen Symmetrietransformation ein Erhaltungsgesetz zur Folge hat.

Aufgaben

4.1

Die Wirkung für ein freies, komplexes Klein-Gordon-Feld lautet

$$ S=\int \mathrm{d}^4x\; \Big (\partial _\mu \phi ^*(x) \partial ^\mu \phi (x)-m^2\phi ^*(x)\phi (x)\Big ). $$

Leiten Sie daraus die Hamiltonfunktion her,

$$ H=\int \mathrm{d}^3x\;\Big (\Pi ^*(x)\Pi (x)+\nabla \phi ^*(x)\nabla \phi (x)+m^2\phi ^*(x)\phi (x)\Big ). $$

4.2

Betrachten Sie die klassische Elektrodynamik ohne Ladungen und Ströme mit der Wirkung

$$ S = {\displaystyle \int } \mathrm{d}^4 x \Big ( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu } \Big ). $$

Der antisymmetrische Feldstärketensor erfüllt die Gleichung

$$ \partial _\nu F^{\nu \mu }=0. $$

• a) Mithilfe der Symmetrie in den Indizes zeige man die Gültigkeit der folgenden Identität:

  $$ \partial ^\lambda F^{\mu \nu }+\partial ^\mu F^{\nu \lambda }+\partial ^\nu F^{\lambda \mu }=0. $$

• b) Man behandle $A_\mu$ als dynamische Variable und finde die Maxwellgleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen der Theorie, ausgedrückt durch die physikalischen Felder E and B. Hinweis: Benutzen Sie die Identitäten $E^i=-F^{0i}$ und $B^k=-\frac{1}{2}\epsilon ^{ijk}F^{ij}$.

• c) Bestimmen Sie den zugehörigen Energie-Impuls-Tensor $\Theta ^{\mu \nu }$. Dieser hat zunächst keine bestimmte Symmetrie in seinen Indizes. Dies kann geändert werden, indem man einen Term $\sim \partial _\lambda K^{\lambda \mu \nu }$ dazu addiert, mit K antisymmetrisch in $(\lambda ,\mu )$. Da der Zusatzterm per Konstruktion Divergenz null besitzt, ergibt der modifizierte Tensor,

  $$ \hat{\Theta }^{\mu \nu } = \Theta ^{\mu \nu } +\partial _\lambda K^{\lambda \mu \nu }, $$

  dieselben erhaltenen Ladungen wie der ursprüngliche. Zeigen Sie, dass die Wahl

  $$ K^{\lambda \mu \nu } = F^{\mu \lambda }A^\nu $$

  einen symmetrischen Tensor $\hat{\Theta }^{\mu \nu }$ ergibt.

• d) Zeigen Sie, dass $\hat{\Theta }^{\mu \nu }$ auf die bekannten Resultate für die Energie- und Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes führt,

  $$ \epsilon = \frac{1}{2}(|\mathbf{E}|^2+|\mathbf{B}|^2),\quad \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}. $$

4.3

Nach dem Noethertheorem ist die Erhaltung des Viererimpulses $p^\mu$ die Konsequenz der Invarianz einer Theorie unter Translationen $x^\mu \rightarrow x^\mu + a^\mu$. Benutzen Sie die Resultate für die skalare Feldtheorie, um den Energie-Impuls-Tensor für eine fermionische Theorie herzuleiten,

$$ \Theta ^{\mu \nu }(x)= i\bar{\psi }(x)\gamma ^\mu \frac{\partial }{\partial x_\nu }\psi (x). $$

Berechnen Sie Energie und Dreierimpuls und zeigen Sie explizit, dass diese jeweils erhalten sind.

Hinweis: Es ist nicht nötig, die ganze Rechnung für Spinorfelder zu wiederholen. Es genügt zu überlegen, wie die Rechnung modifiziert wird, wenn jede Spinorkomponente als separates Feld behandelt wird.