Quantenchromodynamik

Zusammenfassung

Mit dem Überblick über die in der starken Wechselwirkung exakt oder näherungsweise realisierten Symmetrien sind wir nun in der Lage, eine fundamentale Theorie zu formulieren, die mit diesen phänomenologischen Symmetrievorgaben konsistent ist. Zunächst konstruieren wir die Lagrangedichte der Quantenchromodynamik und diskutieren ausführlich ihre Symmetrien in Abhängigkeit ihrer Parameter. Danach geben wir die Feynmanregeln für eine perturbative Behandlung der QCD an und besprechen die Unterschiede zur QED. Etliche grundlegende Aspekte der QCD, wie die asymptotische Freiheit oder das Confinement-Problem, erfordern fortgeschrittene und nichtperturbative Methoden, die über den Stoff dieses Buches hinausgehen. Wir wollen sie aber zumindest qualitativ diskutieren und schließen mit einigen experimentellen Nachweisen, die die QCD überall dort, wo kontrollierte theoretische Vorhersagen möglich sind, vollständig bestätigen.

Aufgaben

11.1

Man betrachte die QCD mit nur einem Quarkflavour und zeichne die Feynmandiagramme führender Ordnung in der starken Kopplungskonstanten für den zur Comptonstreuung analogen Prozess $q + g \longrightarrow q+g$. Mithilfe der Feynmanregeln sind die zugehörigen Ausdrücke anzugeben.

11.2

Man löse die Differenzialgleichung für die laufende Kopplung $\alpha _s$ zu führender Ordnung,

$$ Q^2\frac{d\alpha _s(Q^2)}{dQ^2}=-\beta _0\alpha _s^2(Q^2) + O(\alpha _s^3),\quad \text{ mit } \quad \beta _0=\frac{11N_c-2N_f}{12\pi }, $$

d. h. unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung $\sim \alpha _s^3$ und höher. Die freie Integrationskonstante kann durch den experimentell bestimmten Wert der Kopplung bei der Masse des Z-Bosons, $\alpha _s(M_Z^2)=0,12$, festgelegt werden. Daraus ist der Wert der Kopplung bei $Q = 10$ GeV zu bestimmen. (Man benutze $N_f=5$ und $M_Z=91,1$ GeV.)

11.3

Man betrachte die Hadronproduktion in Elektron-Positron-Streuung mittels der Prozesse

$$\begin{aligned}&e^- + e^+ \longrightarrow q + \bar{q} + g + g,\\&e^- + e^+ \longrightarrow q + \bar{q} + Q + \bar{Q},\\&e^- + e^+ \longrightarrow q + \bar{q} + q + \bar{q}, \end{aligned}$$

wobei $Q\ne q$. Zeichnen Sie die Feynmandiagramme führender Ordnung und bestimmen Sie die relativen Vorzeichen entsprechend der Bose- bzw. Fermistatistik der beteiligten Teilchen.

11.4

Quarks tragen sowohl elektrische als auch Farbladung und wechselwirken daher ebenso elektromagnetisch wie stark.

• a) Man zeichne alle Feynmandiagramme zu führender Ordnung für den Streuprozess

  $$ u+\bar{d}\longrightarrow u + \bar{d}, $$

  sowohl in QED als auch in QCD.

• b) Man benutze die Feynmanregeln, um die Streuamplituden $iM_{em}$ und $iM_s$ zu führender Ordnung anzuschreiben.

• c) Berechnen Sie $\overline{|M_s|^2}$ durch Mittelung über Anfangszustandsspins und -farben und Summation über die Endzustandsspins und -farben und drücken Sie das Ergebnis aus als

  $$ \overline{|M_s|^2}=R\;\overline{|M_{em}|^2}. $$

  Was ist der Wert von R? Hinweis: Für näherungsweise masselose Quarks mit Spins s und Farben $c, c'$ gilt .

• d) Sind die Prozesse experimentell (direkt oder indirekt) beobachtbar?