Zusammenfassung
Im elften Kapitel geht es um die Aufteilung von ungewissen Erfolgen auf eine Gruppe von Entscheidern. Eine Gruppenbildung erfolgt oft gerade unter diesem Gesichtspunkt. Die Risikoteilung ermöglicht den Beteiligten zwei Vorteile: Erstens können sie durch bessere Verteilung des Risikos auch schon bei gegebenen riskanten Erfolgen Vorteile erzielen. Zweitens können sie finanzielle Vorteile realisieren, indem sie gemeinsam zusätzliche Maßnahmen durchführen, deren Risiko für einen Einzelnen zu hoch wäre.
Das Beurteilungskriterium für eine Risikoteilung ist das der Pareto-Effizienz. Bei Orientierung am Bernoulli-Prinzip ist eine Teilungsregel Pareto-effizient, wenn es nicht möglich ist, durch Umverteilung der Erfolge den Erwartungswert des Nutzens mindestens eines der Beteiligten zu erhöhen, ohne den Erwartungswert des Nutzens mindestens eines anderen zu senken. Es wird untersucht, wie Pareto-effiziente Teilungsregeln ermittelt werden können und wie diese von den Risikoeinstellungen der Beteiligten sowie ihren subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Ergebnisse (bzw. der entsprechenden Umweltzustände) abhängen.
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Notes
- 1.
- 2.
\( {\text{E[U}}_{\text{A}} \rm{(\tilde{x}} ) ] = {1/3} \cdot(1\,{-}\,{\text{e}}^{{ - 0,01 \cdot\,( - 100)}} ) + {1/3} \cdot(1\,{-}\,{\text{e}}^{{ - 0,01 \cdot\,100}} ) + {1/3}\cdot(1\,{-}\,{\text{e}}^{{ - 0,01{\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} 300}} )\,{=}\,{-}0{,}0453\,,\,{\text{S}}\rm{\ddot{A}}_{\text{A}} (\tilde{\text{x}})\,{=}\,{-}100\cdot{ \ln }(1\,{-}\,{\text{E[U}}_{\text{A}} (\tilde{\text{x}})])\,{=}\,{-}4{,}43. \)
- 3.
Die Umhüllende entspricht im Prinzip der Effizienzkurve für den Fall eines einzigen Entscheiders, der sich an zwei Zielgrößen orientiert (Kap. 3, Abschn. 3.3.1).
- 4.
Mithilfe des mittleren Ausdrucks von (11.15) lässt sich das Ergebnis aus dem vorherigen Abschnitt bezüglich der Gestalt der Pareto-effizienten Teilungsregel bei Risikoneutralität einer der Parteien nochmals bestätigen: Ist A risikoavers und B risikoneutral, gilt also \( {\text{AP}}_{\text{A}} \) > 0 und \( {\text{AP}}_{\text{B}} \) = 0 und somit s′(x) = 1. Ist B risikoavers und A risikoneutral, folgt aus (11.15) s′(x) = 0.
- 5.
Dass F eine monoton steigende Funktion von λ ist, erkennt man, wenn man F in (11.20) wie folgt darstellt:
\( {\text{F}}\,{=}\,\frac{{{\text{b}}_{\text{B}} \,{-}\,(1/\uplambda ) \cdot {\text{b}}_{\text{A}}}}{{2\cdot\left[ {(1 /\uplambda ) \cdot {\text{c}}_{\text{A}}\,{+}\,{\text{c}}_{\text{B}}}\right]}} \).
Mit steigendem λ wird der Zähler des Quotienten auf der rechten Seite dieser Gleichung größer, der Nenner kleiner und folglich F größer.
- 6.
Dies folgt aus der Äquivalenz der beiden in Abschn. 11.4.1 dargestellten Optimierungsansätze: Da mit zunehmendem \( {\bar{\text{U}}}_{\text{B}} \) die Pareto-effiziente Teilung durch die Maximierung der gewichteten Summe der Erwartungswerte des Nutzens nur nachgebildet werden kann, wenn λ steigt, wird auch der Lagrange-Multiplikator λ mit zunehmendem \( {\bar{\text{U}}}_{\text{B}} \) steigen.
- 7.
Vgl. zu den folgenden Darstellungen ausführlich Laux 1998a, S. 53–66).
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Laux, H., Gillenkirch, R.M., Schenk-Mathes, H.Y. (2018). Pareto-effiziente Risikoteilung. In: Entscheidungstheorie. Springer Gabler, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57818-6_11
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