Zusammenfassung
In diesem Kapitel sollen physikalische Experimente simuliert werden, bei denen als Ergebnis die Verteilung einer Messgröße herauskommt, z. B.
-
eine Normalverteilung bei Addition vieler Messgrößen,
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die Boltzmann-Verteilung durch Energieaustausch bei Atomstößen,
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Zerfallsraten beim radioaktiven Zerfall,
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Stoßzeiten von Molekülen in Gasen oder
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Lorentzlinien (L) bei der Emission von Licht durch sich stoßende Atome in Gasen.
In der Tabellenkalkulation oder in den Visual-Basic-Routinen soll dabei das physikalische Experiment möglichst prinzipientreu ohne expliziten Einsatz von speziellen Funktionen nachgebildet werden. Wir setzen nur die Tabellenfunktion ZUFALLSZAHL() und die VBA-Funktion RAND() ein. Zum Schluss wird noch die Verteilung der ersten Ziffern in großen Zahlenwerken (Benford-Verteilung) nachgebildet.
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Notes
- 1.
Die Standardabweichung ist umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Anzahl der Zufallszahlen. Die Varianz, das Quadrat der Standardabweichung, ist proportional zu 1/N.
- 2.
Die Ergebnisse von ChiQu.test liegen immer zwischen 0 und 1, unabhängig von der Anzahl der Zufallszahlen. Mit der empirisch begründeten Einschränkung: In jedes Intervall sollten mindestens fünf Werte fallen.
- 3.
Wenn die theoretische Verteilung die empirischen Daten richtig wiedergibt, dann sollte der Mittelwert aller Werte von Chi2-Tests bei 0,5 liegen. Wenn das nicht der Fall ist, dann sollte der Mittelwert kleiner sein.
- 4.
In Zeile 11 wird die Summe der Varianzen in M4 von Abb. 9.2 (T) gebildet. In Zeile 19 wird diese Summe durch die Anzahl der Wiederholungen geteilt.
- 5.
In der Schleife For r = 4 to 15 werden die Häufigkeiten des aktuellen Einzelexperiments (Cells[r, 16], Spalte P) zur Summe der Häufigkeiten (Cells[r, 17], Spalte Q) addiert.
- 6.
f = 10 − 1 − 2 = 7, Freiheitsgrad = Anzahl der Intervalle − 1 − Anzahl der aus den Daten geschätzten Parameter.
- 7.
Der Stoß fand im Zeitabschnitt [t, t + 1) statt. Die Variable t enthält jetzt die Zeit des Anfangs des Intervalls, in dem der Stoß stattgefunden hat. Die Stoßzeit für dieses Atom ist zwischen t und t + 1, dem Beginn und dem Ende des aktuellen Zeitintervalls. Es wird der Mittelwert t + 1/2 in die Tabelle ausgegeben.
- 8.
A5:A1005 werden beschrieben, wie aus den Zeilen 3 und 6 hervorgeht.
- 9.
Mindestens 20, 40, …, 220, 240; vielleicht noch 0 und Werte größer als 240.
- 10.
In Abb. 9.9b werden die Häufigkeiten mithilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte in den Intervallmitten genähert. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist für jede Zeit definiert. Unsere Kurve ist exakt an den berechneten Punkten und linear extrapoliert dazwischen, sodass sie eine definierte Bedeutung hat.
- 11.
Die erste Näherung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte wird mit wachsendem N immer schlechter und die Werte des Chi²-Tests gehen gegen null. Die zweite Berechnung mit der integralen Verteilungsfunktion ist immer richtig, und die Werte des Chi²-Tests sind zwischen 0 und 1 gleichverteilt.
- 12.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte p(E) hat die Einheit 1/J; die Wahrscheinlichkeit p(E)dE in einem Energieintervall dE hat die Einheit 1. Integrale Verteilungsfunktionen haben immer die Einheit 1, weil Differenzen von integralen Verteilungsfunktionen Wahrscheinlichkeiten in einem Intervall angeben.
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Mergel, D. (2018). Modellverteilungen durch Simulation physikalischer Prozesse. In: Physik lernen mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_9
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_9
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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