Zusammenfassung
Wir stellen die Newton’sche Bewegungsgleichung für eindimensionale Masse-Feder-Systeme auf und lösen sie numerisch, bevorzugt mit dem Verfahren „Fortschritt mit Vorausschau“. Die Zeit t wird dabei in einer Spalte vorgegeben und Ort x und Geschwindigkeit v werden in zwei parallel laufenden Spalten ermittelt. Der Fortschritt von t auf t +Δt, also von einer Reihe in der Tabelle zur nächsten wird mit den Newton’schen Gesetzen berechnet. Wir sehen, wie die Schwingungen bei verschiedenen Arten der Reibung abklingen und wie der scheinbar chaotische Einschwingvorgang von erzwungenen Schwingungen als lineare Überlagerung der stationären Schwingung mit einer gedämpften Eigenschwingung zustande kommt. Wir bestimmen die Schwingungsformen gekoppelter Pendel und betrachten die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls in einem Morse-Potential mit seinem nichtlinearen, unsymmetrischen Kraftgesetz. Die Verteilung des Abstandes der beiden Atome soll in Kap. 4 mit der quantenmechanischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit verglichen werden. Die Orts-Zeit- Kurven sollen mit viel mehr Punkten berechnet als graphisch dargestellt werden, und zwar durch Verteilung der Aufgaben auf mehrere Tabellenblätter oder durch Einsatz von VBA-Routinen und benutzerdefinierten Funktionen.
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- 1.
Der Zahlenbereich eines Schiebereglers geht von 0 bis 32.767. In E2 wird durch 2000 und in E4 durch 5000 geteilt, die Periodendauer kann also von 0 bis 16,38 und der Zeitversatz von 0 bis 6,553 eingestellt werden.
- 2.
Cells(50, 8) → Range(„H50“); Cells(7, 5) → Range(„E7“); Cells(2, 5) → Range(„E2“); Cells(4, 5) → Range(„H4“).
- 3.
„Period“ und „ShiftT0“, wie aus den Namen der Subroutinen mit _Change in Abb. 2.3 (P) abgelesen werden kann.
- 4.
Beschleunigung durch die Federkraft gebremst durch Reibung proportional zur Geschwindigkeit.
- 5.
Bisher wurde der Fortschritt mit \( x_{\text{n + 1}} = {{x_{\text{n}} + (v_{\text{n}} + v_{\text{p}}) } \mathord{\left/ {\vphantom {{x_{\text{n}} + (v_{\text{n}} + v_{\text{p}} )} {2\text{dt}}}} \right. \kern-0pt} {2\text{d}t}} \) berechnet. Der Unterschied ist nur gering.
- 6.
Siehe Gl. 2.8.
- 7.
Wir entwickeln: \( T \propto \frac{1}{{\omega_{\text{d}} }} = \sqrt {\frac{1}{{\omega_{0}^{2} - \delta^{2} }}} \approx \frac{1}{{\omega_{0} }} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{\delta }{\omega }} \right)^{2} } \right) = a + b \cdot d^{2} \).
- 8.
Nein, die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Reibungskonstante.
- 9.
Beschleunigung a = Wenn(und(Abs(v) < v.crit; Abs(x) < x.crit); 0; …).
- 10.
Es zeigt sich, dass die Schwingungsdauer unabhängig von der Reibungskonstante ist.
- 11.
Wenn xe größer als null ist, dann zieht die Koppelfeder nach rechts. Die Koppelfeder setzt also rechts am Pendel an.
- 12.
Ja, ap soll ja die Beschleunigung am Ende des Intervalls vorausschauen. Statt xe müsste dann B12 stehen, was aber nicht so elegant aussieht. Da alle Voraussagen aber nur Näherungen sind, muss in jedem Fall geprüft werden, ob die Intervalllänge dt hinreichend klein ist.
- 13.
Zeit t = 100, x = –1,16; v = –3,18.
- 14.
Bei automatischer Berechnung würde die Tabelle schon neu berechnet werden, nachdem die Zeit kopiert wurde, sodass ein falscher Werte für den Ort übertragen würde. Das würde wiederum eine neue Berechnung auslösen, sodass eine neue Geschwindigkeit übertragen würde.
- 15.
Lesen Sie das Gespräch im folgenden Abschnitt!
- 16.
\( \phi = 2\pi t_{\text{v}} /T \), mit ϕ = Phasenverschiebung, tv = Zeitversatz und T = Periodendauer.\( \cos \left( {\omega t + \phi } \right) = \cos\,(2\pi (t - t_{\text{v}} )/T) \)
- 17.
Die Periodendauer wird hier in s angegeben. Die Frequenz fs wird deshalb in Hz und die Kreisfrequenz ωs in 1/s angegeben.
- 18.
Es soll die Beschleunigung am Ende des aktuellen Zeitabschnitts vorhergesagt werden. In B8 steht die Auslenkung der erregenden Kraft zu Beginn des folgenden Zeitabschnitts, der auch das Ende des aktuellen Zeitabschnitts ist. Die erregende Kraft ist unabhängig von der Auslenkung der getriebenen Masse und kann deshalb im Voraus exakt berechnet werden.
- 19.
Siehe dazu auch Band I, Abschn. 2.3.4 Summenformel für den Kosinus.
- 20.
ωn = = ω1 · a(n−1); a = const.
- 21.
Der zu verändernde Parameter ist die Länge des elementaren Zeitabschnitts dt.
- 22.
Man sollte die Differenz der Geschwindigkeiten minimieren, da bei der Wahl v(0) = 0 ihre Steigung zu Beginn und am Ende des gewünschten Zeitabschnitts groß ist und sich der Wert bei kleinen Veränderungen von R stark ändert. Die Auslenkung ist nicht geeignet, denn sie hat ein Maximum am Anfang und am gewünschten Ende des Zeitabschnitts, welches sich bei kleinen Veränderungen von R nur wenig ändert.
- 23.
Das Argument der Exponentialfunktion muss dimensionslos sein. Also gilt am = 1/nm = 109/m.
- 24.
Die Werte für diese Parameter müssen zu Beginn der Tabellenrechnung mit der Routine Init (Abb. 2.28b (P)) in globale Parameter eingelesen werden.
- 25.
R = 2,1; v = 0, abzulesen auf den senkrechten Achsen in Abb. 2.30b.
- 26.
Es wurde als Anfangsabstand Rbeg der Gleichgewichtsabstand R0 gewählt.
- 27.
Fläche = Summe über (Häufigkeiten) × (Breite der Intervalle).
- 28.
fi: Federkonstante pro Masseneinheit, Dimension: (N/m)/kg.
- 29.
Die Federkonstanten haben die Einheit N/dm/kg = kg · m/s2/(m/10)/kg = 10/s2 = 10/(10 · Zehntelsekunde)2 = 1000/(Zehntelsekunde)2.
- 30.
fc/f1 = 0,2/0,25 = 0,8.
- 31.
Die Pendel werden entgegengesetzt gleich ausgelenkt: x10 = 1; x20 = –1.
- 32.
Die Schwebung ist eine Summe der beiden Eigenschwingungen; ψ Cos + Cos = Mittelwert mal halbe Differenz, vollständig \( \cos \left( x \right) + \cos \left( y \right) = 2 \cdot \cos \left( {{{\left( {x + y} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x + y} \right)} 2}} \right. \kern-0pt} 2}} \right) \cdot \cos \left( {{{\left( {x - y} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - y} \right)} 2}} \right. \kern-0pt} 2}} \right) \), Band I, Abschn. 2.3.4
- 33.
- 34.
Die Energie E1 ist immer größer als die Energie E2. Das entspricht der Abb. 2.42b.
- 35.
Die kleinere Frequenz (größere Schwingungsdauer) beschreibt den Energieaustausch zwischen den Pendeln, die größere Frequenz (kleinere Schwingungsdauer) den Energieaustausch der Pendel mit der Koppelfeder.
- 36.
Die Energie wird periodisch mit (f1 − f2), der doppelten Frequenz der Einhüllenden zwischen den beiden Pendeln, ausgetauscht.
- 37.
Die Energie der Koppelfeder schwankt periodisch mit (f1 + f2)/2.
- 38.
Sub DoublePend beschreibt 401 Tabellenzeilen (erkennbar aus den Programmzeilen 12, 14, 23 und 48), berechnet aber an Nsteps = 401 × ccalc Zeitpunkten, ccalc = 4 (Zeile 9).
- 39.
Sehen Sie dazu bei Bedarf in Kap. 10 von Band I nach.
- 40.
In Zeile 38 wird die vorausgeschaute Beschleunigung am Ende des Intervalls berechnet.
- 41.
Vier Schritte der Länge dtc (Zeile 27), bestimmt durch den globalen Parameter ccalc = 4 (Zeile 26).
- 42.
Lesen Sie bis zum Schluss dieses Abschnitts!
- 43.
DP(4) hat die fünf Elemente DP(0),…, DP(4).
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Mergel, D. (2018). Eindimensionale Schwingungen. In: Physik lernen mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57513-0_2
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