Funktionen und Grenzwerte

Zusammenfassung

Die meisten Anwendungen der Analysis beziehen sich auf Funktionen, und die Analyse ihrer Eigenschaften ist einer der Hauptgegenstände der Analysis. Um ihr Verhalten verstehen zu können, müssen wir insbesondere den Grenzwertbegriff auf Funktionen übertragen.

Übungsaufgaben

A3.1

Bestimme die Gleichung der Parabel, die bei $a$ und $b$, $a\neq b$, die $x$-Achse schneidet und den maximalen Wert $c> 0$ besitzt. Ist sie nach oben oder unten geöffnet?

A3.2

Gib jeweils den maximal möglichen Definitionsbereich der reellen Funktionen mit den folgenden Funktionsvorschriften an:

$$\begin{array}[]{lll}\displaystyle f_{1}(x)=\frac{1}{x},&\displaystyle f_{2}(x)=\sqrt{2x},&\displaystyle f_{3}(x)=\sqrt{2x^{2}+1},\\ \displaystyle f_{4}(x)=\frac{1}{2x^{2}-1},&\displaystyle f_{5}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}},&\displaystyle f_{6}(x)=\frac{x-\pi}{\sqrt{1-x^{2}}},\\ \multicolumn{2}{l}{\displaystyle f_{7}(x)=\frac{3x^{2}+6x-1}{3x^{3}-18x^{2}+33x-18},}&\displaystyle f_{8}(x)=\exp(-2x).\end{array}$$

A3.3

Besitzen quadratische Funktionen immer Nullstellen? Wie sieht es mit einem Polynom dritten Grads aus? Und allgemein für den Grad $n$?

A3.4

Vorsicht, für diese Aufgabe muss etwas gerechnet werden: Die Funktion $f$ mit der Funktionsvorschrift

$$f(x)=\frac{2x^{4}-8x^{3}-14x^{2}+44x+48}{x^{3}+3x^{2}-4}$$

besitzt eine Nullstelle bei $x=4$. Bestimme sämtliche anderen Nullstellen, die Polstellen und die Asymptoten ihres Graphen.

A3.5

Gib – wenn möglich – den Wert der folgenden Grenzwerte an:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}&\displaystyle&\displaystyle(2)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}&\displaystyle&\displaystyle(3)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle(4)\ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+1}{x^{2}}&\displaystyle&\displaystyle(5)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{9x^{2}-7x+49}{x^{3}-x-100}&\displaystyle&\displaystyle(6)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{9x^{2}-7x+49}{x^{3}-x-100}\\ \displaystyle&\displaystyle(7)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\exp(-x)&\displaystyle&\displaystyle(8)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{6}+x^{4}+2x^{2}+1}{\frac{7}{6}x^{6}+7x^{5}}&\displaystyle&\displaystyle(9)\ \lim_{r_{1}\rightarrow\infty}\left((n-1)\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}\right).\end{aligned}$$

A3.6

Wird der Zwischenwertsatz so richtig wiedergegeben?

Es sei $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine stetige Funktion auf dem Intervall $[a,b]$ , und $y_{0}$ sei eine Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$ . Dann gibt es genau ein $x_{0}\in[a,b]$ mit $f(x_{0})=y_{0}$ .