Grundlagen

Zusammenfassung

Die Berechnung der Ableitung einer Funktion stellt wahrscheinlich die wichtigste Anwendung der Analysis dar. Unter „Analysis“ versteht man die Differenzial- und Integralrechnung, und die Ableitung ist der Kernbegriff der Differenzialrechnung.

Übungsaufgaben

A1.1

Natürlich verwendet man für „echte“ Rechenaufgaben einen (Taschen-) Rechner. Trotzdem ist es manchmal nötig, ohne Hilfsmittel zurechtzukommen. Berechne die folgenden Ausdrücke im Kopf:

$$a=11+326,\quad b=1\,000-317,\quad c=240\cdot 0{,}25,\quad d=1\,000:0{,}25,\quad e=\sqrt{9}.$$

Berechne schriftlich, nur zum Spaß:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle f=2\,345{,}72+173{,}44,\quad g=2\,345{,}72-173{,}44,\quad h=2\,345{,}72\cdot 3{,}4,\\ \displaystyle&\displaystyle j=2\,345{,}72:3{,}3.\end{aligned}$$

A1.2

Ist die Rechenoperation „$-$“ kommutativ? Ist sie assoziativ? Und wie sieht es mit „$:$“ aus?

A1.3

Divisionen schreibt man gerne als Brüche, und Bruchrechnen ist wichtig. Zur Erinnerung daran löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x_{i}$, $i=1,2,3,4$, auf:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{b},\quad\frac{1}{a}=b\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{x_{2}}\right),\quad\frac{1}{x_{3}+a}=\frac{1}{b}-\frac{c}{d},\quad\frac{1}{x_{4}}+\frac{1}{a-x_{4}}=b.$$

A1.4

Welchen Wert hat die Summe $s=\sum_{k=3}^{7}(2k-1)$? (Einfach mal zu Fuß ausrechnen.)

Beweise, dass für $n\in\mathbb{N}$ gilt $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$, und überprüfe das Ergebnis für $s$.

A1.5

Die Bernoulli-Ungleichung, $(1+x)^{n}\geq 1+nx$, gilt nur für $x\geq-1$. Warum eigentlich nicht für alle $x\in\mathbb{R}$? Anders gefragt: Wo in ihrem Beweis wird $x\geq-1$ verwendet?