Zusammenfassung
Gewöhnliche Differentialgleichungen haben sich in ihrer Vielseitigkeit als ein unglaublich starkes Instrument zur Formulierung und Analyse von Naturgesetzen erwiesen. Sie ermöglichen ein Verstehen der Bewegungen von klassisch mechanischen Systemen über das Oszillieren des Stroms in einem Schwingkreis bis hin zur quantenmechanischen Evolution endlich dimensionaler Spinsysteme. Sie regeln die Gleichgewichtslage eines durchhängenden Seils genauso wie die momentane Form einer harmonisch schwingenden Saite oder beantworten die Frage nach den Feldlinien einer elektrischen Ladungsverteilung. Entscheidend für das Verständnis einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Begriff einer maximalen Integralkurve des die Differentialgleichung charakterisierenden Vektorfeldes. Unter welchen Umständen existiert zu einer gegebenen Anfangs- oder Randvorgabe eine eindeutig bestimmte maximale Integralkurve? Können solche Kurven exakt berechnet werden? Lassen sich alle maximalen Integralkurven angeben? Welche Zusammenhänge liegen zwischen ihnen in Form von Symmetrien vor?
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Notes
- 1.
Vielfach wird auch die Äquivalenzklasse von Vektorfeldern \(\left\{ g\cdot V\left| \ g:M\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \left\{ 0\right\} \right. \right\} \) als ,das‘ Richtungsfeld der Differentialgleichung bezeichnet. Gezeichnet wird dann nur ein Repräsentant (ohne Orientierungspfeil), meist mit konstanter Länge.
- 2.
Es gilt also \(\alpha _{\tau }(x+\tau )=\alpha (x)\) für alle \(x\in D\).
- 3.
Man sagt, dass f lokal lipschitzbeschränkt ist. \(L_{p}\) heißt Lipschitzkonstante.
- 4.
Zum systematischen Bestimmen von \(\varPhi \) siehe [3, Bd. 1, Kap. III, §10 ].
- 5.
In diesem Bild wird x als Zeit interpretiert.
- 6.
Analoges gilt für das elektrische Feld eines elektrischen Dipols.
- 7.
Die Elemente einer Orthonormalbasis stehen aufeinander senkrecht und haben die Norm 1.
- 8.
Gemäß der Darstellung in [12, Kap. B.11] hatte Galilei vermutet, dass diese Kettenlinie eine Parabel sei. Huygens widersprach zwar schon 1646, also mit 17(!) Jahren, dieser Vermutung, fand aber erst 1691, also mit 62 Jahren, die richtige Kurve, nachdem Jakob Bernoulli das Problem zur Herausforderung an seine Kollegenschaft erklärt hatte. Jakob Bernoullis Problem wurde von seinem jüngeren Bruder Johann, von Leibniz, Huygens und schließlich auch von Jakob Bernoulli selbst gelöst.
- 9.
Dies ist hier eine Einengung des ursprünglichen Problems. Auch diese Annahme kann aber aus etwas allgemeineren Voraussetzungen abgeleitet werden.
- 10.
Diese Bewegungsgleichung verschweigt die beschleunigte Eigenbewegung der Sonne infolge der Kraft, welche die Erde auf sie ausübt. Die vom Newtonschen Standpunkt korrekte Bewegungsgleichung findet sich im Kapitel über das Zweikörperproblem der Newtonschen Mechanik.
- 11.
Einsetzen der Modellparameter oder siehe die Schlußbemerkung.
- 12.
Wie etwa jenes Mannes, der vor ca 5250(±125) Jahren am Hauslabjoch, einem Übergang zwischen Schnals- und Ötztal, sein Leben verlor und dessen mumifizierte Überreste am Tag des ,magischen‘ Datums 19.09.1991 von Bergwanderern entdeckt wurden.
- 13.
Beim Zerfall \(^{226}Ra\rightarrow ^{222}Rn+\alpha \) etwa entweicht das Radon („Radiumemanation“) der Probe und kann gesammelt werden. Die Halbwertszeit (HWZ) von \(^{226}Ra\) ist 1602 Jahre und \(^{222}Rn\) zerfällt mit einer HWZ von 3, 8 Tagen. Die gesamte Aktivität einer umschlossenen Radium Probe ist \(\lambda _{A}N_{A}\,+\,\lambda _{B}N_{B}\). Die einer belüfteten ist \(\lambda _{A}N_{A}\). Dies hat die Enträtselung der Vorgänge nicht gerade erleichtert.
- 14.
Wie im Fall \(y^{\prime }=y\) zeigt man, dass weitere maximale Lösungen nicht existieren.
- 15.
In der Quantentheorie ist die Zeitentwicklung eines Zustands ein (lineares) System erster Ordnung auf einem komplexen Vektorraum. Dieser Fall kann auf den reellen zurückgeführt werden.
- 16.
Die Größe \(A(t)\gamma (t)\) ist somit das Bild des Wertes der Kurve \(\gamma \) zur Zeit t unter der linearen Abbildung A(t). Die systematische, aber unübliche Schreibweise dafür ist \(A(t,\gamma (t)) \), wobei A als Abbildung von \(I\times V\) nach V aufgefasst wird.
- 17.
Die Abbildung \(\mathrm {id}\) bezeichnet die identische Abbildung einer Menge X auf sich selbst. Soll die Menge X, die gemeint ist, außer Zweifel gestellt werden, dann wird auch \(\mathrm {id}_{X}\) notiert.
- 18.
Die Schrödingergleichung \(i\hbar \partial _{t}\Psi _{t}=H\Psi _{t}\) ist von diesem Typ, wenngleich der Vektorraum, in dem \(\Psi _{t}\) liegt, meist unendlichdimensional ist.
- 19.
Dies ist das Lösungsschema für die zeitabhängige Schrödingergleichung mit statischem Hamiltonoperator.
- 20.
Der Konfigurationsraum eines starren Körpers ist somit \(V\times SO\left( V\right) \), eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die kein Vektorraum ist. Daher benötigt die Mechanik des starren Körpers eine Verallgemeinerung der Differential- und Integralrechnung auf nichlineare Mannigfaltigkeiten.
- 21.
Hier bezeichnet \(\mathrm {Bil}\left( V\times V\right) \) den Vektorraum aller bilinearen Abbildungen von \(V\times V\) nach \(\mathbb {R}\). Man beachte, dass \(\dim \left( V\times V\right) =6\) und \(\dim \mathrm {Bil}\left( V\times V\right) =9\).
- 22.
Dieser ist i. Allg. nicht Element von K.
- 23.
Dies erinnert an eine Variante der Ungleichung von Bell, welche auf Clausner, Horne, Shimony und Holt zurückgeht.
- 24.
Siehe z. B. [9, S. 72]; L ist der Umkugelradius des Tetraeders; im folgenden Abschnitt über den Trägheitstensor eines Ammoniakmoleküls wird diese Relation bewiesen.
- 25.
V ist also eine mathematische Präzisierung von Newtons absolutem, ruhendem Raum, der für eine begrifflich möglichst reduzierte Formulierung der Mechanik eigentlich entbehrlich ist. Er wird aber als metaphysische Krücke eines ausgezeichneten inertialen ,Weltenruhsystems‘ immer noch in elementaren Erläuterungen (meist unausgesprochen) genutzt, weil er eine einfachere Formulierung der mechanischen Grundgesetze erlaubt. Die moderne Mechanik ist auf einer Raumzeit mit Zeitform, Riemannscher Metrik auf den instantanen Räumen und Affinzusammenhang, aber ohne ausgezeichnetem Inertialsystem errichtet.
- 26.
Ein weiteres Beispiel liefert ein rotierender Kran, dessen Last längs des Kranarmes verschoben wird. Bei einer Bewegung nach innen eilt die Last der Drehbewegung des Kranarms voraus, bei einer Verschiebung nach außen hingegen hinkt sie der Drehung nach.
- 27.
Aufgabe 1 zu [7, § 39].
- 28.
Die Zahl \(\left| \omega \right| ={\left| qB\right| }/m\) heißt ,Zyklotronkreisfrequenz‘.
- 29.
\(P_{\mathscr {B}^{\perp }}\) bezeichnet die Orthogonalprojektion auf den Untervektorraum \(\mathscr {B} ^{\perp }\).
- 30.
Obwohl \(\gamma \) differenzierbar ist, kann die Bahn von \(\gamma \) einen derart „nichtdifferenzierbaren“ Eindruck machen. Das geht, da in den Spitzen die Geschwindigkeit gleich Null ist.
- 31.
Jede Permutation einer Menge M heißt Symmetrie von M. Die Menge aller Permutationen von M bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe – die symmetrische Gruppe \(\mathfrak {S}\left( M\right) \). Jede Untergruppe von \(\mathfrak {S}\left( M\right) \) wird als Symmetriegruppe von M bezeichnet. Die Einschränkungen von \(\varPi \) und \(T_{k\tau }\) auf L sind also in \(\mathfrak {S}\left( L\right) \).
- 32.
Das dritte Keplersche Gesetz gilt nicht nur für 2 Lösungen, die auseinander durch Dehnung hervorgehen, sondern für alle Paare von periodischen Lösungen.
- 33.
Ersetzung von \(Q/\left( 4\pi \varepsilon _{0}\right) \) durch \(-G_{N}M\) in \(\varPhi \) ergibt das Newtonsche Gravitationspotential \(\varPhi _{N}\) einer Kugel homogener Massendichte mit Radius R und Masse M. Die Konstante \(G_{N}\) bezeichnet Newtons Gravitationskonstante. Die Kraft auf eine Masse m am Ort p ist dann \(-m{\text {*}}{grad}_{p}\varPhi _{N}\).
- 34.
c bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit, deren Wert sich aus \(\omega _{0}\) herauskürzt.
- 35.
Siehe z. B. Gl. 20.114 in [14].
- 36.
\(\theta \) ist also der ungerichtete Winkel zwischen der (linear angenommenen) Polarisationsrichtung der elektrischen Feldstärke und der betrachteten Abstrahlungsrichtung n.
- 37.
Siehe z. B. Gl. 16.42, 16.44 in [14].
- 38.
Das Vorliegen unbeschränkt großer Funktionswerte \(y_{2}\left( x\right) \) auf jedem Intervall \(\left( L,\infty \right) \) mit \(L>2\) reicht alleine noch nicht aus, um eine Funktion als nicht quadratintegrabel zu diagnostizieren. Man denke an höher und hinreichend schmaler werdende Spitzen.
- 39.
Ist y eine Lösung von Gl. 1.65, dann erfüllt die um \(\tau \in \mathbb {R}\) verschobene Funktion \(y_{\tau }\) mit \(y_{\tau }\left( x\right) =y\left( x-\tau \right) \) wegen \(\left( y_{\tau }\right) ^{\prime \prime }\left( x\right) =\left( y^{\prime \prime }\right) _{\tau }\left( x\right) =y^{\prime \prime }\left( x-\tau \right) =\left( x-\tau \right) y\left( x-\tau \right) =\left( x-\tau \right) y_{\tau }\left( x\right) \ \)die Gleichung \(-y_{\tau }^{\prime \prime }\left( x\right) +xy_{\tau }\left( x\right) =\tau y_{\tau }\left( x\right) \). Daher lassen sich die Lösungen der stationären 1-dimensionalen Schrödingergleichung mit einem linearen Potential aus den Lösungen von Airys Differentialgleichung durch Umskalieren und Verschieben erzeugen.
- 40.
Ein Beweis der Behauptung ist in [8, Kap. 2, § 8] nachzulesen.
- 41.
Diesem Eigenwertproblem kommt in der Quantenmechanik eines eingesperrten Teilchens eine tragende Rolle zu.
- 42.
Dieses Randwertproblem legt etwa das Potential im Gebiet zwischen den geerdeten Platten eines (ebenen) Kondensators fest, wenn sich dort auch eine eben verteilte Ladungsdichte befindet. Eine andere Interpretation gibt die Bewegung eines Massenpunktes mit 1d-Konfigurationsraum unter dem Einfluss einer äußeren Kraft. Gesucht ist jene Bewegung, bei der sich der Massenpunkt zu den Zeiten 0 und 1 im Nullpunkt befindet.
- 43.
Das sollte nicht verwundern, denn der Einheitskraftstoß auf den Oszillator erfüllt die Orthogonalitätsbedingung nicht! Daher gibt es auch keine Fundamentallösung zu \(y^{\prime \prime }+y=0\), die in 0 und \(\pi \) Nullstellen hat.
- 44.
Die Bezeichnung ,harmonisch‘ dürfte in der Tatsache gründen, dass eine solche (monofrequente) Schwingung eines menschlichen Trommelfells von seinem zugehörigen Gehirn als rein oder ,harmonisch‘ empfunden wird. Aber Achtung: In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen wird der Begriff,harmonische Funktion‘ mit einer gänzlich anderen Bedeutung verwendet.
- 45.
\(\mathscr {F}\left( \mathbb {R}\right) \) ist die Menge aller auf einer Teilmenge von \(\mathbb {R}\) definierten reellwertigen Funktionen. Für \(y\in \mathscr {F}\left( \mathbb {R}\right) \) bezeichnet \(D_{y}\subset \mathbb {R}\) den Definitionsbereich von y.
- 46.
Siehe etwa [10, Kap. 38-3]
- 47.
\(\varPhi \) ist also der maximale Fluss des Systems \(i\dot{\gamma }=\sigma \gamma \).
- 48.
Der Beweis folgt in Bd. II dieses Werkes.
Literatur
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Grübl, G. (2019). Gewöhnliche Differentialgleichungen. In: Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 1. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56766-1_1
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