Kapitel 26

Aufgaben

Verständnisfragen

26.1

• Kann eine Kurve im $\mathbb{R}^{2}$, die nur in einem beschränkten Bereich liegt, unendliche Bogenlänge haben?

26.2

• Ordnen Sie zu: Welche der folgenden Kurven entspricht welcher Parameterdarstellung:

• 1. $\gamma_{1}$: $\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}\cos(3t)\\ \sin(4t)\end{pmatrix}$, $t\in[0,\,2\pi]$

• 2. $\gamma_{2}$: $\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}t^{3}\\ 2t^{6}-1\end{pmatrix}$, $t\in[-1,\,1]$

• 3. $\gamma_{3}$: $\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}\sin t\\ \cos(t^{2})\end{pmatrix}$, $t\in[0,\,2\pi]$

• 4. $\gamma_{4}$: $\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}t^{3}\\ 2t^{2}-1\end{pmatrix}$, $t\in[-1,\,1]$

• 5. $\gamma_{5}$: $r(\varphi)=\frac{1}{1+\varphi^{2}}$, $\varphi\in[-4\pi,\,4\pi]$

• 6. $\gamma_{6}$: $r(\varphi)=\cos^{2}\varphi$, $\varphi\in[0,\,2\pi]$

26.3

•• Leiten Sie die Flächenformel (26.4) durch Zerlegungen der von der Kurve umschlossenen Fläche in Dreiecke und einen entsprechenden Grenzübergang her.

26.4

•• Eine Epizykloide ist die Bahnkurve eines Punktes am Rande eines Rades, das auf einem anderen Rad abrollt. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung einer solchen Epizykloide, wobei der feste Kreis den Radius $R$, der abrollende den Radius $a$ hat. Unter welcher Bedingung ist eine solche Epizykloide eine geschlossene Kurve? Wie weit können zwei Punkte einer solchen Epizykloide höchstens voneinander entfernt sein?

Rechenaufgaben

26.5

• Finden Sie jeweils eine Parametrisierung der folgenden Kurven:

• 1. Zunächst ein Geradenstück von $\boldsymbol{A}=(-2,\ 0)^{\mathrm{T}}$ nach $\boldsymbol{B}=(0,\ 1)^{\mathrm{T}}$, anschließend ein Dreiviertelkreis von $\boldsymbol{B}$ mit Mittelpunkt $\boldsymbol{M}=(0,\ 2)^{\mathrm{T}}$ nach $\boldsymbol{C}=(-1,\ 2)^{\mathrm{T}}$ und zuletzt ein Geradenstück von $\boldsymbol{C}$ nach $\boldsymbol{D}=(-2,\ 2)^{\mathrm{T}}$.

• 2. Vom Anfangspunkt $\boldsymbol{A}=(-1,\ 3)^{\mathrm{T}}$ entlang eines Parabelbogens durch den Scheitel $\boldsymbol{B}=(0,\ -1)^{\mathrm{T}}$ nach $\boldsymbol{C}=(1,\ 3)^{\mathrm{T}}$, von dort entlang einer Geraden nach $\boldsymbol{D}=(1,\ 5)$ und zuletzt auf einem Viertelkreis zurück nach $\boldsymbol{A}$.

• 3. Ein im negativen Sinne durchlaufener Halbkreis von $\boldsymbol{A}=(2,\ 0)^{\mathrm{T}}$ nach $\boldsymbol{B}=(-2,\ 0)$, ein Geradenstück von $\boldsymbol{B}$ nach $\mathbf{0}=(0,\ 0)^{\mathrm{T}}$ und ein im positiven Sinne durchlaufener Halbkreis von $\mathbf{0}$ zurück nach $\boldsymbol{A}$.

26.6

• Bestimmen Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Krümmung einer in Polarkoordinaten als $r(\varphi)$ gegebenen Kurve.

26.7

•• Die Kardioide oder Herzkurve ist gegeben durch

$$\displaystyle r(\varphi)=a\,(1+\cos\varphi)\,,\quad\varphi\in[0,\,2\pi]$$

mit einer Konstante $a\in\mathbb{R}_{> 0}$.

• 1. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von dieser Kurve begrenzt wird.

• 2. Bestimmen Sie ihre Bogenlänge.

• 3. Bestimmen Sie die Evolute dieser Kurve.

• 4. Fertigen Sie eine Skizze an.

26.8

•• Die Bernoulli’sche Lemniskate ist in Polarkoordinaten gegeben durch

$$\displaystyle r(\varphi)=a\,\sqrt{2\,\cos(2\varphi)}$$

mit $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4}\right]$. Skizzieren Sie diese Kurve, geben Sie eine Darstellung in kartesischen Koordinaten an und bestimmen Sie den Inhalt der von ihr eingeschlossenen Fläche.

26.9

•• Die Pascal’sche Schnecke ist in Parameterdarstellung gegeben durch

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}a\,\cos^{2}t+b\,\cos t\\ a\,\cos t\,\sin t+b\,\sin t\end{pmatrix}$$

mit festen positiven Werten $a> 0$, $b> 0$ und dem Parameterintervall $t\in(-\pi,\,\pi]$. Skizzieren Sie den Verlauf der Kurve für die Fälle $b<a$, $a<b<2a$ und $b> 2a$. Suchen Sie eine kartesische und eine Polarkoordinatendarstellung der Kurve und bestimmen Sie den von ihr eingeschlossenen Flächeninhalt. Was ist dabei zu beachten?

26.10

••• Die Strophoide kann in Polarkoordinaten durch

$$\displaystyle r=-\frac{a\,\cos(2\varphi)}{\cos\varphi}\,,\quad-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$$

beschrieben werden. (Dabei gelten die Bemerkungen von S. 970 bezüglich negativer Werte von $r$.)

• Finden Sie eine implizite Darstellung der Kurve in kartesischen Koordinaten.

• Zeigen Sie, dass die Kurve mittels

  $$\displaystyle x_{1}(t)=\frac{a\,(t^{2}-1)}{1+t^{2}}\,,\quad x_{2}(t)=\frac{a\,t\,(t^{2}-1)}{1+t^{2}}$$

  parametrisiert werden kann.

• Bestimmen Sie die Tangenten an die Kurve im Ursprung.

• Bestimmen Sie die Asymptote der Strophoide und fertigen Sie eine Skizze der Kurve an.

• Bestimmen Sie den Flächeninhalt der „Schleife“ der Kurve.

• Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Strophoiden und ihrer Asymptoten eingeschlossen wird.

26.11

•• Bestimmen Sie zu den folgenden Kurven Krümmung, Torsion, begleitendes Dreibein und die Bogenlänge $s(t,\,0)$:

$$\displaystyle\boldsymbol{\alpha}(t)=\begin{pmatrix}\cosh t\\ \sinh t\\ t\end{pmatrix}\,,\quad\boldsymbol{\beta}(t)=\begin{pmatrix}t\,\cos t\\ t\,\sin t\\ t\end{pmatrix}$$

mit jeweils $t\in\mathbb{R}_{\geq 0}$.

26.12

•• Auf der Wendelfläche

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(u,\,v)=\begin{pmatrix}u\,\cos v\\ u\,\sin v\\ v\end{pmatrix}\quad u\in\mathbb{R}_{\geq 0},\;v\in\mathbb{R}$$

ist die Kurve $\gamma$ durch $\gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ mit

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\gamma_{1}\colon&\displaystyle&\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle u(t)&\displaystyle=t\\ \displaystyle v(t)&\displaystyle=t\end{aligned}&\displaystyle t&\displaystyle\in[0,\,2\pi]\\ \displaystyle&\displaystyle\gamma_{2}\colon&\displaystyle&\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle u(t)&\displaystyle=\pi-t\\ \displaystyle v(t)&\displaystyle=2\pi\end{aligned}&\displaystyle&\displaystyle t\in[0,\,2\pi]\end{aligned}$$

gegeben. Bestimmen Sie die Länge dieser Kurve.

26.13

• Zeigen Sie, dass die Basisvektoren der Kugelkoordinaten, $((\boldsymbol{e}_{r},\,\boldsymbol{e}_{\vartheta},\,\boldsymbol{e}_{\varphi}))$, und der Zylinderkoordinaten, $((\boldsymbol{e}_{\rho},\,\boldsymbol{e}_{\varphi},\,\boldsymbol{e}_{z}))$, jeweils ein Orthonormalsystem darstellen.

26.14

•• Bestimmen Sie kovariante Basisvektoren für die folgenden beiden Koordinatensysteme, überprüfen Sie, ob es sich um orthogonale Koordinaten handelt und beschreiben Sie die Koordinatenflächen. Die Konstante $c> 0$ ist dabei ein Maßstabsfaktor.

• Polare elliptische Koordinaten

  $$\displaystyle\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\cos\varphi\\ c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\sin\varphi\\ c\,\cosh\alpha\,\cos\beta\end{pmatrix}$$

  mit $\alpha\in\mathbb{R}_{\geq 0}$, $0\leq\beta\leq\pi$ und $-\pi<\varphi\leq\pi$.

• Parabolische Zylinderkoordinaten

  $$\displaystyle\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\frac{c}{2}\,(u^{2}-v^{2})\\ c\,uv\\ z\end{pmatrix}$$

  mit $u\in\mathbb{R}_{\geq 0}$, $v\in\mathbb{R}_{> 0}$ und $z\in\mathbb{R}$.

Anwendungsprobleme

26.15

• Die Bahn der Erde um die Sonne ist in sehr guter Näherung eine Ellipse mit der großen Halbachse $a\approx 149\,597\,890$ km und numerischer Exzentrizität $\varepsilon\approx 0.016\,710\,2$. In einem Brennpunkt dieser Ellipse steht die Sonne. Bestimmen Sie damit näherungsweise die Länge der Erdbahn. (Hinweis: Das auftretende elliptische Integral ist nicht elementar lösbar, entwickeln Sie den Integranden in $\varepsilon$.) Erwarten Sie, dass die Korrektur zu $2\pi\,a$ positiv oder negativ ist?

26.16

••• Eine Ziege ist an einem festen Punkt einer runden Säule angebunden, und zwar mit einem Seil, dessen Länge gleich dem halben Umfang der Säule ist. Welche Fläche Gras kann die (als punktförmig angenommene) Ziege erreichen?

26.17

•• Ein Stab der Länge $l$ ist an einem Ende mittels eines Gelenks $\boldsymbol{g}$ auf der Seite eines Rades befestigt. Das Gelenk hat vom Radmittelpunkt ($=$ Drehpunkt) den Abstand $a$. Der Stab läuft durch eine frei drehbare Hülse $\boldsymbol{h}$, die im Abstand $b$ vom Radmittelpunkt fixiert ist. (Dabei ist $a+b<l$.) Bestimmen Sie die Kurve, die der Endpunkt $\boldsymbol{p}$ des Stabes bei Drehung des Rades beschreibt.

Die Situation ist in Abb. 26.30 dargestellt. Alle betrachteten Punkte liegen in einer Ebene, alle Gelenke sind in dieser Ebene frei drehbar.

Abb. 25.30

Ein einfaches Gestänge mit einem Gelenk $\boldsymbol{g}$ und einer Hülse $\boldsymbol{h}$

26.18

•• Betrachten Sie einen homogenen Körper, dessen Querschnitt von den Kurven $y=ax^{2}$ und $y=c$ mit $a$, $c> 0$ begrenzt wird. Für welche Werte von $a$ und $c$ ist dieser Körper (in einem homogenen Kraftfeld $\boldsymbol{F}=-F\boldsymbol{\widehat{y}}$, $F> 0$) stabil gelagert?

26.19

•• Im Straßenbau und bei der Anlage von Eisenbahntraßen spielt die Klothoide

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(t)=\left(\int_{0}^{t}\cos(\tau^{2})\,\mathrm{d}\tau,\quad\int_{0}^{t}\sin(\tau^{2})\,\mathrm{d}\tau\right)^{\mathrm{T}},\quad t\in\mathbb{R}_{\geq 0}\,,$$

die auch als Spinnkurve oder Cornu-Spirale bezeichnet wird, eine wichtige Rolle. Die Fresnel’schen Integrale, die in ihrer Parameterdarstellung auftauchen, können nicht elementar gelöst werden.

Bestimmen Sie Bogenlänge $s(0,\,t)$ und Krümmung der Klothoide, skizzieren Sie die Kurve. Überlegen Sie, wegen welcher Eigenschaft Klothoidenstücke neben Geraden und Kreisen zentrale Elemente im Straßen- und Trassenbau sein könnten.

Hinweise

Verständnisfragen

26.1

• Versuchen Sie ein Beispiel mit immer dichter liegenden Oszillationen gleicher Amplitude zu konstruieren.

26.2

• Schon Anfangs- und Endpunkt der Kurven sind aufschlussreich, um einige Möglichkeiten auszuschließen.

26.3

•• Beginnen Sie mit einer Konstruktion ähnlich wie in Abb. 26.9 dargestellt. Drücken Sie die Dreiecksflächen als Determinanten aus und benutzen Sie den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung.

26.4

•• Bestimmen Sie zunächst die Bahn des Mittelpunktes des äußeren Rades und überlegen Sie, wie sich die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Räder zueinander verhalten.

Rechenaufgaben

26.5

• Ein Geradenstücke von $\boldsymbol{p}_{1}$ nach $\boldsymbol{p}_{2}$ lässt sich immer in der Form $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}_{1}+t\,(\boldsymbol{p}_{2}-\boldsymbol{p}_{1})$ mit $t\in[0,\,1]$ parametrisieren. Teile eines positiv durchlaufenen Kreises mit Mittelpunkt $\boldsymbol{m}$ und Radius $r_{0}$ lassen sich stets als $\boldsymbol{x}=(m_{1}+r_{0}\,\cos t\quad m_{2}+r_{0}\,\sin t)^{\top}$ mit einem geeigneten Intervall für $t$ schreiben. Bei allen Kurven hilft es, zunächst einmal eine Skizze anzufertigen.

26.6

• Benutzen Sie die Darstellung $x_{1}=r(\varphi)\,\cos\varphi$, $x_{2}=r(\varphi)\,\sin\varphi$ und Formel (26.8).

26.7

•• Sie können $\boldsymbol{\gamma}(t)\,{=}\,(a(1+\cos t)\cos t,a(1+\cos t)\sin t)^{\top}$ setzen und die Formeln (26.5), (26.6) sowie (26.9) benutzen. Dadurch, dass die Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist, gibt es für manche dieser Ausdrücke jedoch sogar einfachere Formen.

26.8

•• Benutzen Sie die Identität $\cos(2\varphi)=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi$. Sie können die Symmetrieeigenschaften der Kurve benutzen, um die Rechnungen zu vereinfachen.

26.9

•• Die Polarkoordinatendarstellung lässt sich sofort ablesen. Nach Multiplikation mit $r$ kann man direkt die bekannten Umrechungsbeziehungen zwischen kartesischen und Polarkoordinaten benutzen. Die Bestimmung des Flächeninhalts erfolgt am einfachsten in Polarkoordinaten.

26.10

••• Benutzen Sie die Identität $\cos(2\varphi)=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi$, um die Gleichung in kartesischen Koordinaten zu erhalten. Einsetzen der Parametrisierung in diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern. Der Ursprung entspricht den Parameterwerten $t=\pm 1$, die Tangenten bestimmt man am besten aus der Parameterdarstellung; diese erlaubt mit $t\to\pm\infty$ auch ein einfaches Auffinden der Asymptoten.

26.11

•• Gehen Sie wie im Fall der Schraubenlinie in Abschn. 26.4 vor.

26.12

•• Betrachten Sie die im $\mathbb{R}^{3}$ durch $\boldsymbol{\gamma}(t)=\boldsymbol{x}(u(t),\,v(t))$ definierte Kurve. Behandeln Sie die beiden Stücke der Kurve separat und addieren Sie anschließend die Ergebnisse für die Bogenlänge.

26.13

• Bilden Sie die Skalarprodukte $\boldsymbol{e}_{r}\cdot\boldsymbol{e}_{\vartheta}$, $\boldsymbol{e}_{r}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}$, $\boldsymbol{e}_{\vartheta}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}$ bzw. $\boldsymbol{e}_{\rho}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}$, $\boldsymbol{e}_{\rho}\cdot\boldsymbol{e}_{z}$ und $\boldsymbol{e}_{\varphi}\cdot\boldsymbol{e}_{z}$.

26.14

•• Bilden Sie die kovarianten Basisvektoren durch Ableitungen nach den neuen Koordinaten und vergleichen Sie die Skalarprodukte dieser Vektoren miteinander.

Anwendungsprobleme

26.15

• Die Korrektur ist negativ.

26.16

••• Die Ziege kommt auf der Seite der Säule dann am weitesten, wenn das Seil bis zu einem Punkt $\boldsymbol{p}$ an der Säule anliegt und von diesem Punkt an tangential weiterläuft. Aus dieser Bedingung lässt sich eine Parameterdarstellung der Grenzkurve bestimmen.

26.17

•• Beachten Sie, dass $\boldsymbol{p}$ stets auf der Geraden durch $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ liegt und zudem der Abstand $\|\boldsymbol{p}-\boldsymbol{h}\|=\ell$ ist.

26.18

•• Orientieren Sie sich an der Anwendung von S. 969. Den Schwerpunkt erhalten Sie aus Symmetrieüberlegungen und der Berechnung eines Doppelintegrals.

26.19

•• Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (Kap. 11) klärt, was beim Ableiten nach der variablen Grenze passiert, der Rest ist simples Einsetzen in (26.8) und (26.6). Überlegen Sie sich, welche Nachteile es hätte, im Straßenbau nur Geraden- und Kreisabschnitte zur Verfügung zu haben.

Lösungen

Verständnisfragen

26.1

• Ja.

26.2

• 1f, 2c, 3a, 4b, 5d, 6e

26.3

•• –

26.4

•• $\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(\varphi)=\begin{pmatrix}(R+a)\,\cos\varphi+a\,\cos\frac{a\varphi}{R}\\ (R+a)\,\sin\varphi+a\,\sin\frac{a\varphi}{R}\end{pmatrix}$, $\varphi\in\mathbb{R}$

Rechenaufgaben

26.5

• Siehe Lösung auf der Website.

26.6

• $\kappa(\varphi)=(r^{2}+2\dot{r}^{2}-r\,\ddot{r})/(r^{2}+\dot{r}^{2})^{3/2}$.

26.7

•• $A=\frac{3\pi}{2}\,a^{2}$, $\ell=8a$.

26.8

•• $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}=2a^{2}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})$, $A=2a^{2}$.

26.9

•• $r=a\,\cos\varphi+b$, $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a\,x_{1})^{2}=b^{2}\,(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$, $A=\frac{\pi}{2}\,a^{2}+\pi\,b^{2}$.

26.10

••• $(x_{1}+a)\,x_{1}^{2}+(x_{1}-a)\,x_{2}^{2}=0$, die Tangenten haben die Steigung $\pm 1$, $A_{S}=2a^{2}-\frac{\pi}{2}\,a^{2}$, $A_{F}=2a^{2}+\frac{\pi}{2}\,a^{2}$.

26.11

•• $\kappa_{\boldsymbol{\alpha}}=\tau_{\boldsymbol{\alpha}}=1/(2\cosh^{2}t)$.

26.12

•• $s=2\pi\big(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{1+2\pi^{2}}\big)+\mathop{\mathrm{arsinh}}\frac{2\pi}{\sqrt{2}}$.

26.13

• –

26.14

•• Siehe Lösungsweg.

Anwendungsprobleme

26.15

• $s\approx 939.885\,6\;\mbox{Mio. km}$.

26.16

••• $A=\frac{5}{6}a^{2}\,\pi^{3}$.

26.17

••

$$\displaystyle\boldsymbol{p}(\varphi)=\begin{pmatrix}a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}+\frac{\ell}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2a\,\cos\varphi}}\begin{pmatrix}b-a\,\cos\varphi\\ -a\,\sin\varphi\end{pmatrix}.$$

26.18

•• Die Bedingung lautet $a\,c<5/6$.

26.19

•• $s(0,\,t)=t$, $\kappa(t)=2t$, die Krümmung ändert sich stetig und kann beliebige Werte annehmen.

Lösungswege

Verständnisfragen

26.1

• Kurven unendlicher Bogenlänge, die in einem beschränkten Bereich liegen, lassen sich problemlos konstruieren. Beispielsweise liegt die Kurve

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(t)=\left(\frac{1}{t},\,\sin t\right)^{\top},\quad t\in[1,\infty)$$

vollständig in dem Rechteck $0\leq x_{1}\leq 1$, $-1\leq x_{2}\leq 1$, hat aber eine unendliche Bogenlänge.

26.2

• 1f, 2c, 3a, 4b, 5d, 6e

26.3

•• Die Kurve sei durch $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\gamma}(t)$ mit $t\in[a,\,b]$ parametrisiert. Greift man Zwischenpunkte $t_{i}$ mit $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=b$ heraus, so kann man, wie in Abb. 26.31 dargestellt, die Kurve durch einen Polygonzug und die von ihr begrenzte Fläche durch viele Dreiecke annähern.

Wir greifen nun ein Dreieck heraus, dessen Eckpunkte durch $\boldsymbol{0}$, $\boldsymbol{\gamma}(t_{i})$ und $\boldsymbol{\gamma}(t_{i+1})$ gegeben sind. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass sich die Fläche dieses Dreiecks durch

$$\displaystyle\Updelta A_{i}=\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\boldsymbol{\gamma}(t_{i+1})))$$

gegeben ist. (Am einfachsten merkt man sich das, indem man die Vektoren durch Ergänzen von $x_{3}(t_{i})=x_{3}(t_{i+1})=0$ in den $\mathbb{R}^{3}$ einbettet und den halben Betrag des Kreuzprodukts $\boldsymbol{\gamma}(t_{i})\times\boldsymbol{\gamma}(t_{i+1})$ betrachtet.) Nun schreiben wir diesen Ausdruck mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung um. Dabei setzen wir $\Updelta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}$; $\tau_{i}$ ist ein vorerst nicht näher bestimmter Parameterwert aus dem Intervall $(t_{i},\,t_{i+1})$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\Updelta A_{i}&\displaystyle=\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\boldsymbol{\gamma}(t_{i+1})))\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\boldsymbol{\gamma}(t_{i}+\Updelta t_{i})))\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\boldsymbol{\gamma}(t_{i})+\dot{\boldsymbol{\gamma}}(\tau_{i})\,\Updelta t_{i}))\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\boldsymbol{\gamma}(t_{i})))+\frac{1}{2}\det((\boldsymbol{\gamma}(t_{i}),\,\dot{\boldsymbol{\gamma}}(\tau_{i})))\,\Updelta t_{i}\end{aligned}$$

Dabei haben wir die Linearität der Determinante (hier Linearität in der zweiten Spalte) ausgenutzt. Die erste Determinante verschwindet, und für den Grenzübergang unendlich feiner Unterteilung wird $\Updelta t_{i}\to\mathrm{d}t$, $\tau_{i}\to t$ und

$$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\Updelta A_{i}\quad\to\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\det((\boldsymbol{\gamma}(t),\,\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t)))\,\mathrm{d}t\,.$$

Wir haben Formel (26.5) wiedergefunden. Ausschreiben der Determinante liefert entsprechend (26.4).

Abb. 25.31

Mit Hilfe eines Polygonzugs kann man die von einer Kurve umschriebene Fläche durch Dreiecke approximieren

26.4

•• Wir bezeichnen mit $R$ den Radius des inneren Rades, mit $a$ den des äußeren. Legen wir den Mittelpunkt des inneren Rades in den Ursprung, so beschreibt der Mittelpunkt des äußeren eine Bahn

$$\displaystyle\boldsymbol{m}(\varphi)=\begin{pmatrix}(R+a)\,\cos\varphi\\ (R+a)\,\sin\varphi\end{pmatrix}\,,\quad\varphi\in\mathbb{R}\,.$$

Das äußere Rad dreht sich entsprechend dem Verhältnis der Radien schneller (oder langsamer, wenn sein Radius größer ist), ein Punkt auf dem Rand dieses Rades beschreibt demnach eine Kurve

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(\varphi)=\boldsymbol{m}(\varphi)+\begin{pmatrix}a\,\cos\frac{a\varphi}{R}\\ a\,\sin\frac{a\varphi}{R}\end{pmatrix}\,,\quad\varphi\in\mathbb{R}\,.$$

Ist das Verhältnis $a/R$ eine ganze Zahl, so schließt sich die Kurve nach einem Umlauf; ist es rational, so schließt sie sich nach einer endlichen Zahl von Umläufen. Für ein irrationales Verhältnis hingegen schließt sich die Kurve nie.

Ein Punkt auf einer Epizykloide hat vom Ursprung des inneren Rades mindestens den Abstand $R$, höchstens den Abstand $R+2a$. Damit kann der Abstand zweier Punkte auf einer Epizykloide höchstens $2R+4a$ betragen. Dieser Maximalabstnand kann nur angenommen werden, wenn der Zähler im gekürzten Verhältnis $a/R$ eine gerade Zahl ist. Ist $a/R$ irrational, so wird der Maximalabstand zwar nicht angenommen, man kann aber zu jedem $\varepsilon> 0$ zwei Punkte finden, deren Abstand größer als $2R+4a-\varepsilon$ ist.

Kommentar

Auf Epizykloiden beruhten im geozentrischen Weltbild viele fortgeschrittene astronomische Modelle (Epizykeltheorien). Mit den Verläufen der Epizykloiden, die zwei Kreisbewegungen beinhalten, konnte man die Bewegung der anderen Planeten relativ zur Erde recht genau beschreiben und dabei die Erde im Mittelpunkt belassen.

Da es sich bei den Planetenbahnen eigentlich um Ellipsen (wenn auch meist mit geringer Exzentrizität) handelt, gelang auch mit Epizykloiden keine völlig akkurate Beschreibung der immer genauer werdenden Beobachtungen. Daher wurden in den astronomischen Modellen bereits Kurven benutzt, die sich aus drei oder mehr überlagerten Kreisbewegungen zusammensetzen, bevor das heliozentrische Weltbild und die Kepler’schen Gesetze diese komplizierten Konstruktionen unnötig machten.  ◂

Rechenaufgaben

26.5

• 1. Das Geradenstück lässt sich beispielsweise mit

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}-2+2t\\ t\end{pmatrix}\quad t\in[0,\,1]$$

beschreiben, der Dreiviertelkreis mit

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\ 2+\sin t\end{pmatrix}\quad t\in\left[-\frac{\pi}{2},\,\pi\right]$$

und das letzte Geradenstück mit

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}-1-t\\ 2\end{pmatrix}\quad t\in[0,\,1]\,.$$

Will man die Kurve mit einem durchgehenden Parameterintervall beschreiben, so muss man noch ein wenig umparametrisieren, etwa:

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{cases}\begin{pmatrix}-2+2t\\ t\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in[0,\,1]\\ \begin{pmatrix}\cos\frac{\pi(t-2)}{2}\\ 2+\sin\frac{\pi(t-2)}{2}\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(1,\,4]\\ \begin{pmatrix}3-t\\ 2\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(4,\,5]\end{cases}$$

2. Die Parabel ist durch Angabe des Scheitels und zweier weiterer Punkte eindeutig zu $x_{2}=4x_{1}^{2}-1$ festgelegt. Den ersten Teil der Kurve kann man daher mittels

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 4t^{2}-1\end{pmatrix}\quad t\in\left[-1,\,1\right]$$

parametrisieren. Das Geradenstück erhält man etwa mittels

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}1\\ t\end{pmatrix}\quad t\in\left[3,\,5\right]\,.$$

Der Kreis, von dessen Bogen man ein Viertel durchlaufen soll, muss den Mittelpunkt in $(1,\,3)^{\top}$ und Radius $2$ haben. Wir erhalten

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}1+2\cos t\\ 3+2\sin t\end{pmatrix}\quad t\in\left[\frac{\pi}{2},\,\pi\right]\,. $$

Wollen wir die Kurve wieder mit einem Intervall parametrisieren, so müssen

wir wiederum umskalieren:

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{cases}\begin{pmatrix}t-1\\ 4(t-1)^{2}-1\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in[0,\,2]\\ \begin{pmatrix}1\\ 1+t\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(2,\,4]\\ \begin{pmatrix}1+2\cos\frac{\pi(t-3)}{2}\\ 3+2\sin\frac{\pi(t-3)}{2}\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(4,\,5]\end{cases}$$

3. Den Halbkreis erhalten wir zu

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}2\cos t\\ -2\sin t\end{pmatrix}\quad t\in\left[0,\,\pi\right]\,.$$

Das Geradenstück kann man beispielsweise mittels

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}t\\ 0\end{pmatrix}\quad t\in\left[-2,\,0\right]$$

parametrisieren, den abschließenden Halbkreis mittels

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\end{pmatrix}\quad t\in\left[-\pi,\,0\right]\,.$$

Zusammenfassen zu einem Intervall liefert:

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{cases}\begin{pmatrix}2\cos(\pi t)\\ -2\sin(\pi t)\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in[0,\,1]\\ \begin{pmatrix}t-3\\ 0\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(1,\,3]\\ \begin{pmatrix}1+\cos((t-4)\pi)\\ \sin((t-4)\pi)\end{pmatrix}&\text{f{\"u}r }t\in(3,\,4]\end{cases}$$

Die Kurven sind in Abb. 26.32 dargestellt.

Abb. 25.32

Die Darstellung dreier Kurven $\gamma_{1}$, $\gamma_{1}$, $\gamma_{1}$

26.6

• Mit

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}(\varphi)&\displaystyle=\begin{pmatrix}r(\varphi)\,\cos\varphi\\ r(\varphi)\,\sin\varphi\end{pmatrix}\\ \displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}(\varphi)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\dot{r}\,\cos\varphi-r\,\sin\varphi\\ \dot{r}\,\sin\varphi+r\,\cos\varphi\end{pmatrix}\\ \displaystyle\ddot{\boldsymbol{x}}(\varphi)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\ddot{r}\,\cos\varphi-2\,\dot{r}\,\sin\varphi-r\,\cos\varphi\\ \ddot{r}\,\sin\varphi+2\,\dot{r}\,\cos\varphi-r\,\sin\varphi\end{pmatrix}\end{aligned}$$

erhalten wir (unter massiver Verwendung des trigonometrischen Pythagoras $\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1$):

$$\begin{aligned}\displaystyle\kappa(\varphi)&\displaystyle=\frac{\det((\dot{\boldsymbol{x}},\;\ddot{\boldsymbol{x}}))}{(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}\dot{r}\,\cos\varphi-r\,\sin\varphi&\ddot{r}\,\cos\varphi-2\,\dot{r}\,\sin\varphi-r\,\cos\varphi\\ \dot{r}\,\sin\varphi+r\,\cos\varphi&\ddot{r}\,\sin\varphi+2\,\dot{r}\,\cos\varphi-r\,\sin\varphi\end{vmatrix}}{\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{r^{2}+2\dot{r}^{2}-r\,\ddot{r}}{\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}\end{aligned}$$

Alle gemischten Produkte wie $2\,r\,\dot{r}\,\sin\varphi\,\cos\varphi$ fallen weg, und man kann die Krümmung allein durch $r$, $\dot{r}$ und $\ddot{r}$ ausdrücken. Für $r(\varphi)=r_{0}=\mathrm{const}$ sind $\dot{r}$ und $\ddot{r}$ gleich null, wir erhalten in diesem Spezialfall

$$\displaystyle\kappa=\frac{r_{0}^{2}}{\left(r_{0}^{2}\right)^{3/2}}=\frac{1}{r_{0}}\,,$$

wie es der Interpretation der Krümmung als Kehrwert des Krümmungskreisradius entspricht.

26.7

•• Wir bestimmen zunächst die Ableitung der Kurve

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}a\,\left(\cos t+\cos^{2}t\right)\\ a\,\left(\sin t+\cos t\,\sin t\right)\end{pmatrix}\\ \displaystyle\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}a\,\left(-\sin t-2\,\cos^{t}\,\sin t\right)\\ a\,\left(\cos t+\cos^{2}t-\sin^{2}t\right)\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}a\,\left(-\sin t-2\,\cos t\,\sin t\right)\\ a\,\left(\cos t+2\,\cos^{2}t-1\right)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

da wir diese auf jeden Fall für die Evolute benötigen werden. Vorerst aber kommen wir mit

$$\begin{aligned}\displaystyle r(\varphi)&\displaystyle=a\,(1+\cos\varphi)\\ \displaystyle\dot{r}(\varphi)&\displaystyle=-a\,\sin\varphi\\ \displaystyle\dot{r}(\varphi)&\displaystyle=-a\,\cos\varphi\end{aligned}$$

aus, zumindest wenn wir die bequemeren Formeln für Kurven in Polarkoordinaten benutzen. Das Rechnen mit den kartesischen Varianten ist natürlich ebenso möglich, nur ein wenig umständlicher.

1. Wir erhalten für den Flächeninhalt mit Formel (26.3):

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\frac{1}{2}\,\int_{0}^{2\pi}r^{2}(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\,\int_{0}^{2\pi}(1+2\cos\varphi+\cos^{2}\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\,\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi+a^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi+\frac{a^{2}}{2}\,\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\,2\pi+0+\frac{a^{2}}{2}\,\pi=\frac{3\pi}{2}\,a^{2}\end{aligned}$$

2. Für die Bogenlänge erhalten wir mit Formel (26.7):

$$\begin{aligned}\displaystyle\ell:=s(0,\,2\pi)&\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2}(\varphi)+\dot{r}^{2}(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\,(1+2\cos\varphi+\cos^{2}\varphi)+a^{2}\,\sin^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+2\cos\varphi+\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\end{aligned}$$

Dieses Integral kann man zum Beispiel mit der Umformung $1+\cos\varphi=2\cos^{2}\frac{\varphi}{2}$ lösen. Man erhält

$$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}=4\,\sqrt{2}\,,$$

insgesamt finden wir $\ell=8a$.

3. Für die Gleichung der Evolute benötigen wir zunächst die Krümmung der Kurve. Besonders einfach erhält man diese aus dem Ergebnis der vorangegangenen Aufgabe:

$$\begin{aligned}\displaystyle\kappa(\varphi)&\displaystyle=\frac{r^{2}(\varphi)+2\dot{r}^{2}(\varphi)-r(\varphi)\,\ddot{r}(\varphi)}{\left(\dot{r}^{2}(\varphi)+r^{2}(\varphi)\right)^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}\,\left(1+3\cos\varphi+2\cos^{2}\varphi+2\,\sin^{2}\varphi\right)}{a^{3}\left(\sin^{2}\varphi+1+2\cos\varphi+\cos^{2}\varphi\right)^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{3\,a^{2}\,\left(1+\cos\varphi\right)}{2^{3/2}\,a^{3}\left(1+\cos\varphi\right)^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{a}\,\frac{3}{2^{3/2}}\,\frac{1}{\sqrt{1+\cos\varphi}}\end{aligned}$$

Damit finden wir für die Evolute:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\xi}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\gamma_{1}(t)\\ \gamma_{2}(t)\end{pmatrix}+\frac{1}{\kappa(t)}\begin{pmatrix}-\dot{\gamma}_{2}(t)\\ \dot{\gamma}_{1}(t)\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}a\,\left(\cos t+\cos^{2}t\right)\\ a\,\left(\sin t+\cos t\,\sin t\right)\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{1}{\frac{1}{a}\,\frac{3}{2^{3/2}}\,\frac{1}{\sqrt{1+\cos t}}}\begin{pmatrix}a\,\left(\cos t+2\,\cos^{2}t-1\right)\\ a\,\left(-\sin t-2\,\cos t\,\sin t\right)\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}a\,\left(\cos t+\cos^{2}t\right)\\ a\,\left(\sin t+\cos t\,\sin t\right)\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{2^{3/2}}{3}\,\sqrt{1+\cos t}\,\begin{pmatrix}a^{2}\,\left(\cos t+2\,\cos^{2}t-1\right)\\ a^{2}\,\left(-\sin t-2\,\cos t\,\sin t\right)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

4. Die Skizze einer Kardioide für die Wahl $a=1$ wird in Abb. 26.33 dargestellt.

Abb. 25.33

Die Kardioide $r(\varphi)=1+\cos\varphi$

26.8

•• Die Lemniskate, die grob die Form einer liegenden Acht hat (und gelegentlich als Unendlichkeitssymbol verwendet wird), ist in Abb. 26.34 skizziert.

Mit der Identität $\cos(2\varphi)=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi$ können wir die Gleichung der Lemniskate nach Quadrieren als

$$\displaystyle r^{2}=2\,a^{2}\,(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi)$$

schreiben. Multiplikation der Gleichung mit $r^{2}$ liefert

$$\displaystyle(r^{2})^{2}=2\,a^{2}\,(r^{2}\cos^{2}\varphi-r^{2}\sin^{2}\varphi)\,,$$

und diesen Ausdruck können wir sofort in kartesische Koordinaten umschreiben,

$$\displaystyle(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}=2\,a^{2}\,(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})\,.$$

Die Lemniskate ist symmetrisch bezüglich Spiegelung an der $x_{2}$-Achse. Daher genügt es, nur den Bereich $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}\right]$ zu betrachten. Wir erhalten für den Flächeninhalt einer Schleife

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{\frac{1}{2}}&\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}\,\mathrm{d}\varphi=a^{2}\,\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos(2\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a^{2}\,\left.\frac{\sin(2\varphi)}{2}\right|_{-\pi/4}^{\pi/4}=a^{2}\end{aligned}$$

Die gesamte Lemniskate schließt daher eine Fläche vom Inhalt $2a^{2}$ ein.

Abb. 25.34

Die Lemniskate

26.9

•• Die Kurve ist für die Fälle $b=a/2$, $b=3a/2$ und $b=5a/2$ in Abb. 26.35 skizziert.

Allgemein hat man für $b<a$ eine Schleife, für $a<b<2a$ eine Einbuchtung. Der Fall $b=a$ entspricht der Kardioden, die in einer anderen Aufgabe genauer diskutiert wird.

Aus

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(\varphi)=r(\varphi)\,\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\end{pmatrix}$$

kann man direkt $r(\varphi)=a\,\cos\varphi+b$ ablesen. Multiplikation mit $r$ liefert

$$\displaystyle r^{2}=a\,r\,\cos\varphi+b\,r\,,$$

auf kartesische Koordinaten umgeschrieben

$$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a\,x_{1}+b\,\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}r\,.$$

Zum Eliminieren der Wurzel bringen wir den Term $a\,x_{1}$ auf die linke Seite und quadrieren die erhaltene Gleichung,

$$\displaystyle\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-a\,x_{1}\right)^{2}=b^{2}\,\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\,.$$

Bei der Bestimmung des Inhalts der eingeschlossenen Fläche müssen wir beachten, dass für $b<a$ die Schleife doppelt gezählt wird, da die Punkte darin zweimal von der Kurve umlaufen werden. Mit diesem Wissen erhalten wir unmittelbar:

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}r^{2}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(a^{2}\cos^{2}\varphi+2ab\,\cos\varphi+b^{2}\right)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi}_{=\pi}{}+ab\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi}_{=0}{}+\frac{b^{2}}{2}\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi}_{=2\pi}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\pi}{2}\,a^{2}+\pi\,b^{2}\end{aligned}$$

Abb. 25.35

Eine Pascal’sche Schnecke für $b=a/2$, $b=3a/2$ und $b=5a/2$

26.10

•••

• Multiplikation der Definitionsgleichung mit $r$ und Erweitern des Bruchs auf der rechten Seite mit $r$ liefert

  $$\begin{aligned}\displaystyle r^{2}&\displaystyle=-a\,\frac{r^{2}\,\cos(2\varphi)}{r\,\cos\varphi}=-a\,\frac{r^{2}\cos^{2}\varphi-r^{2}\sin^{2}\varphi}{r\,\cos\varphi}\,.\end{aligned}$$

  Umschreiben auf kartesische Koordinaten und Multiplikation mit $x_{1}=r\,\cos\varphi$ liefert nun $x_{1}\,(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=a\,(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})$ oder umgeformt

  $$\displaystyle(x_{1}+a)\,x_{1}^{2}+(x_{1}-a)\,x_{2}^{2}=0\,.$$

• Setzen wir die angegeben Parametrisierung in diese Gleichung ein, so erhalten wir

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{a\,(t^{2}-1)+a\,(1+t^{2})}{1+t^{2}}\cdot\frac{a^{2}\,(t^{2}-1)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{a\,(t^{2}-1)-a\,(1+t^{2})}{1+t^{2}}\cdot\frac{a^{2}\,t^{2}\,(t^{2}-1)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=0\,,\end{aligned}$$

  vereinfacht

  $$\displaystyle\frac{a^{3}\,(t^{2}-1)^{2}}{(1+t^{2})^{3}}\cdot(2t^{2}-2t^{2})=0\,,$$

  und diese Gleichung ist identisch erfüllt.

• Für den Ursprung muss $x_{1}(t)=x_{2}(t)=0$ gelten, das ist nur für $t=\pm 1$ möglich. Der Ursprung wird doppelt durchlaufen; er ist der einzige Punkt der Strophoide mit dieser Eigenschaft.

  Abb. 25.36

  

  Die Strophoide

  Die Steigungen der Tangenten erhalten wir durch Ableiten der Parameterdarstellung nach $t$,

  $$\displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\frac{a}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\,\begin{pmatrix}4t\\ t^{4}+4\,t^{2}-1\end{pmatrix}\,.$$

  Damit ergibt sich

  $$\displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}(-1)=a\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}\,,\quad\dot{\boldsymbol{x}}(1)=a\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\,.$$

  Die Tangenten sind demnach genau die Winkelhalbierenden der Quadranten,

  $$\displaystyle\tau_{1}:\boldsymbol{x}(u)=u\,\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}\,,\quad\tau_{2}:\boldsymbol{x}(v)=v\,\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\,.$$

• Wegen

  $$\displaystyle\lim_{t\to-\infty}x_{1}(t)=\lim_{t\to\infty}x_{1}(t)=a$$

  ist $x_{2}=a$ die einzige Asymptote der Kurve. Mit dieser Information, der Spiegelsymmetrie an der $x_{1}$-Achse und dem Scheitel für $t=0$ in $(-a,\,0)^{\top}$ kann man die in Abb. 26.36 dargestellte Kurve auf jeden Fall grob skizzieren.

• Da die Tangenten im Ursprung gerade die Quadrantenhalbierenden sind, entspricht die „Schleife“ der Strophoide gerade dem Parameterintervall $[-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}]$. Damit erhalten wir für den Flächeninhalt:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A_{S}&\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\cos^{2}(2\varphi)}{\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\left(\cos^{2}(\varphi)-\sin^{2}(\varphi)\right)^{2}}{\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\left(2\cos^{2}(\varphi)-1\right)^{2}}{\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a^{2}\int_{0}^{\pi/4}\left(4\cos^{2}(\varphi)-4+\frac{1}{\cos^{2}\varphi}\right)\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=2a^{2}\,\left[\varphi+\cos\varphi\,\sin\varphi\right]_{0}^{\pi/4}-a^{2}\pi+a^{2}\left.\tan\varphi\right|_{0}^{\pi/4}\\ \displaystyle&\displaystyle=2a^{2}\,\left[\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right]-a^{2}\pi+a^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=2a^{2}-\frac{a^{2}\pi}{2}\end{aligned}$$

• Aus der kartesischen Darstellung der Strophoide erhalten wir

  $$\displaystyle x_{2}=\pm\sqrt{\frac{(a+x_{1})\,x_{1}^{2}}{a-x_{1}}}\,.$$

  Den Inhalt der zwischen Kurve und Asymptote eingeschlossenen Fläche erhalten wir aus dem Doppelintegral:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A_{F}&\displaystyle=\int_{x_{1}=0}^{a}\int_{x_{2}=-\sqrt{\frac{(a+x_{1})\,x_{1}^{2}}{a-x_{1}}}}^{\sqrt{\frac{(a+x_{1})\,x_{1}^{2}}{a-x_{1}}}}\mathrm{d}x_{2}\,\mathrm{d}x_{1}\\ \displaystyle&\displaystyle=2\int_{0}^{a}x_{1}\,\frac{\sqrt{a+x_{1}}}{\sqrt{a-x_{1}}}\,\mathrm{d}x_{1}\end{aligned}$$

  Der Integrand ist eine rationale Funktion in $x_{1}$, $\sqrt{a+x_{1}}$ und $\sqrt{a-x_{1}}$. Diesen Fall können wir mit einer Standardsubstitution von S. 444 behandeln. Wir setzen $u=\sqrt{a-x}$, damit erhalten wir

  $$\displaystyle x_{1}=a-u^{2}\,,\quad\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\sqrt{a-x_{1}}}=-2\mathrm{d}u\,,\quad\begin{array}[]{@{}r@{}l@{}}a&{}\to 0\\ 0&{}\to\sqrt{a}\end{array}$$

  und für den gesuchten Flächeninhalt:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A_{F}&\displaystyle=4\int_{0}^{\sqrt{a}}(a-u^{2})\,\sqrt{2a-u^{2}}\,\mathrm{d}u\\ \displaystyle&\displaystyle=4\,\sqrt{2a}\,\int_{0}^{\sqrt{a}}(a-u^{2})\,\sqrt{1-\left(\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}u\\ \displaystyle&\displaystyle=\!\!\!\begin{vmatrix}\frac{u}{\sqrt{2a}}=\sin\phi&\sqrt{a}\to\frac{\pi}{4}\\ \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{2a}}=\cos\phi\,\mathrm{d}\varphi&0\to 0\end{vmatrix}\!\!\!=\\ \displaystyle&\displaystyle=8a\int_{0}^{\pi/4}(a-2a\sin^{2}\phi)\,\sqrt{1-\sin^{2}\phi}\,\cos\phi\,\mathrm{d}\phi\\ \displaystyle&\displaystyle=8a^{2}\int_{0}^{\pi/4}(1-2\sin^{2}\phi)\,\cos^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi\\ \displaystyle&\displaystyle=8a^{2}\left\{\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi-2\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\phi\,\cos^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi\right\}\end{aligned}$$

  Mit $\sin^{2}\phi=1-\cos^{2}\phi$ und der Rekursionsformel

  $$\displaystyle\int\cos^{4}\phi\,\mathrm{d}\phi=\frac{1}{4}\,\sin\phi\,\cos^{3}\phi+\frac{3}{4}\int\cos^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi$$

  erhalten wir weiter:

  $$\begin{aligned}\displaystyle A_{F}&\displaystyle=4a^{2}\left\{\sin\phi\,\cos\phi\Big|_{0}^{\pi/4}+\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi\right\}\\ \displaystyle&\displaystyle=4a^{2}\left\{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left[\phi+\cos\phi\,\sin\phi\right]_{0}^{\pi/4}\right\}\\ \displaystyle&\displaystyle=2a^{2}+\frac{a^{2}\,\pi}{2}\end{aligned}$$

26.11

•• Mehrfaches Ableiten der ersten Kurve liefert

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\alpha}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\cosh t\\ \sinh t\\ t\end{pmatrix}\,,&\displaystyle\dot{\boldsymbol{\alpha}}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\sinh t\\ \cosh t\\ 1\end{pmatrix}\,,\\ \displaystyle\ddot{\boldsymbol{\alpha}}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\cosh t\\ \sinh t\\ 0\end{pmatrix}\,,&\displaystyle\dddot{\boldsymbol{\alpha}}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\sinh t\\ \cosh t\\ 0\end{pmatrix}\,.\end{aligned}$$

Damit erhalten wir für Krümmung und Torsion:

$$\begin{aligned}\displaystyle\kappa&\displaystyle=\frac{\|\dot{\boldsymbol{\alpha}}\times\ddot{\boldsymbol{\alpha}}\|}{\|\dot{\boldsymbol{\alpha}}\|^{3}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{\left(\sinh^{2}t+\cosh^{2}t+1\right)^{3/2}}\left\|\begin{pmatrix}-\sinh t\\ \cosh t\\ -1\end{pmatrix}\right\|\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2\,\cosh^{2}t}\\ \displaystyle\tau&\displaystyle=\frac{\det((\dot{\boldsymbol{\alpha}},\,\ddot{\boldsymbol{\alpha}},\,\dddot{\boldsymbol{\alpha}}))}{\|\dot{\boldsymbol{\alpha}}\times\ddot{\boldsymbol{\alpha}}\|^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2\,\cosh^{2}t}\,\begin{vmatrix}\sinh t&\cosh t&\sinh t\\ \cosh t&\sinh t&\cosh t\\ 1&0&0\end{vmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2\,\cosh^{2}t}\end{aligned}$$

Das begleitende Dreibein ergibt sich zu:

$$\begin{aligned}\displaystyle\hat{\boldsymbol{t}}(t)&\displaystyle=\frac{1}{\|\dot{\boldsymbol{\alpha}}(t)\|}\,\dot{\boldsymbol{\alpha}}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}\,\cosh t}\begin{pmatrix}\sinh t\\ \cosh t\\ 1\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\tanh t\\ 1\\ 1/\cosh t\end{pmatrix}\\ \displaystyle\hat{\boldsymbol{h}}&\displaystyle=\frac{1}{\|\dot{\hat{\boldsymbol{t}}}(t)\|}\,\dot{\hat{\boldsymbol{t}}}(t)=\frac{1}{\|\dot{\hat{\boldsymbol{t}}}(t)\|}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1-\tanh^{2}t\\ 0\\ -\sinh t/\cosh^{2}t\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\cosh t\,\begin{pmatrix}1+\tanh^{2}t\\ 0\\ -\sinh t/\cosh^{2}t\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}\cosh t+\sinh t\,\tanh t\\ 0\\ -\tanh t\end{pmatrix}\\ \displaystyle\hat{\boldsymbol{b}}&\displaystyle=\hat{\boldsymbol{t}}\times\hat{\boldsymbol{h}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\tanh t\\ 1-2\tanh^{2}t\\ \sinh t\,\tanh t-\cosh t\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Für die Bogenlänge erhalten wir:

$$\begin{aligned}\displaystyle s&\displaystyle=\int_{0}^{t}\sqrt{\cosh^{2}\tau+\sinh^{2}\tau+1}\,\mathrm{d}\tau\\ \displaystyle&\displaystyle=\sqrt{2}\int_{0}^{t}\cosh\tau\,\mathrm{d}\tau=\sqrt{2}\sinh t\end{aligned}$$

26.12

•• Der erste Teil der Kurve ist

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}_{1}(t)=\begin{pmatrix}t\,\sin t\\ t\,\cos t\\ t\end{pmatrix}\quad t\in[0,\,2\pi]$$

mit der Ableitung

$$\begin{aligned}\displaystyle\dot{\boldsymbol{\gamma}}_{1}(t)&\displaystyle=\begin{pmatrix}\cos t-t\,\sin t\\ \sin t+t\,\cos t\\ 1\end{pmatrix}\\ \displaystyle\|\dot{\boldsymbol{\gamma}}_{1}(t)\|&\displaystyle=\sqrt{2+t^{2}}\,.\end{aligned}$$

Für die Länge dieses Teils der Kurve erhalten wir

$$\begin{aligned}\displaystyle s_{1}&\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2+t^{2}}\,\mathrm{d}t=\sqrt{2}\,\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}t\\ \displaystyle&\displaystyle=\!\!\!\begin{vmatrix}\frac{t}{\sqrt{2}}=\sinh\phi\\ \phi=\mathop{\mathrm{arsinh}}\frac{t}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{d}t=\sqrt{2}\,\cosh\phi\,\mathrm{d}\phi\end{vmatrix}\!\!\!=2\int_{I}\cosh^{2}\phi\,\mathrm{d}\phi\\ \displaystyle&\displaystyle=\left[\phi+\sinh\phi\,\cosh\phi\right]_{I}=\left[\mathop{\mathrm{arsinh}}\frac{t}{\sqrt{2}}+\frac{t}{\sqrt{2}}\,\sqrt{1+\frac{t^{2}}{2}}\right]_{0}^{2\pi}\\ \displaystyle&\displaystyle=\mathop{\mathrm{arsinh}}\frac{2\pi}{\sqrt{2}}+\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\,\sqrt{1+2\pi^{2}}\end{aligned}$$

Für den zweiten Teil der Kurve,

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}_{2}(t)=\begin{pmatrix}2\pi-t\\ 0\\ 2\pi\end{pmatrix}\quad t\in[0,\,2\pi]$$

ergibt sich

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\gamma}}_{2}(t)=\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\quad\|\dot{\boldsymbol{\gamma}}_{2}(t)\|=1$$

Für die Länge der Kurve erhalten wir damit einfach

$$\displaystyle s_{2}=\int_{0}^{2\pi}\|\dot{\boldsymbol{\gamma}}_{2}(t)\|\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}t=2\pi\,.$$

Die Gesamtlänge der Kurve ist damit

$$\displaystyle s=s_{1}+s_{2}=2\pi\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{1+2\pi^{2}}\right)+\mathop{\mathrm{arsinh}}\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\,.$$

26.13

• Für die Kugelkoordinaten haben wir

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{e}_{r}&\displaystyle=\begin{pmatrix}\sin\vartheta\,\cos\varphi\\ \sin\vartheta\,\sin\varphi\\ \cos\vartheta\end{pmatrix},\ \boldsymbol{e}_{\vartheta}=\begin{pmatrix}\cos\vartheta\,\cos\varphi\\ \cos\vartheta\,\sin\varphi\\ -\sin\vartheta\end{pmatrix},\ \boldsymbol{e}_{\varphi}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

erhalten. Nun bilden wir die Skalarprodukte:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{e}_{r}\cdot\boldsymbol{e}_{\vartheta}&\displaystyle=\sin\vartheta\cos\vartheta\cos^{2}\varphi+\sin\vartheta\cos\vartheta\sin^{2}\varphi-\cos\vartheta\sin\vartheta\\ \displaystyle&\displaystyle=0\\ \displaystyle\boldsymbol{e}_{r}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}&\displaystyle=-\sin\vartheta\cos\varphi\sin\varphi+\sin\vartheta\cos\varphi\,\sin\varphi+0\\ \displaystyle&\displaystyle=0\\ \displaystyle\boldsymbol{e}_{\vartheta}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}&\displaystyle=-\cos\vartheta\cos\varphi\sin\varphi+\cos\vartheta\cos\varphi\sin\varphi+0\\ \displaystyle&\displaystyle=0\end{aligned}$$

Analog haben wir für die Zylinderkoordinaten

$$\displaystyle\boldsymbol{e}_{\rho}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0\end{pmatrix}\,,\quad\boldsymbol{e}_{\varphi}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0\end{pmatrix}\,,\quad\boldsymbol{e}_{z}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$

und erhalten damit für die Skalarprodukte:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{e}_{\rho}\cdot\boldsymbol{e}_{\varphi}&\displaystyle=-\cos\varphi\,\sin\varphi+\cos\varphi\,\sin\varphi+0=0\\ \displaystyle\boldsymbol{e}_{\rho}\cdot\boldsymbol{e}_{z}&\displaystyle=0+0+0=0\\ \displaystyle\boldsymbol{e}_{\varphi}\cdot\boldsymbol{e}_{z}&\displaystyle=0+0+0=0\end{aligned}$$

Die beiden Koordinatensysteme sind demnach tatsächlich orthogonal. Wegen $\|\boldsymbol{e}_{r}\|=\|\boldsymbol{e}_{\vartheta}\|=\|\boldsymbol{e}_{\varphi}\|=1$ und $\|\boldsymbol{e}_{\rho}\|=\|\boldsymbol{e}_{\varphi}\|=\|\boldsymbol{e}_{z}\|=1$ sind sie sogar orthonormal.

26.14

••

• Für die polaren elliptischen Koordinaten erhalten wir:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{b}_{\alpha}&\displaystyle=\begin{pmatrix}c\,\cosh\alpha\,\sin\beta\,\cos\varphi\\ c\,\cosh\alpha\,\sin\beta\,\sin\varphi\\ c\,\sinh\alpha\,\cos\beta\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}_{\beta}&\displaystyle=\begin{pmatrix}c\,\sinh\alpha\,\cos\beta\,\cos\varphi\\ c\,\sinh\alpha\,\cos\beta\,\sin\varphi\\ -c\,\cosh\alpha\,\sin\beta\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}_{\varphi}&\displaystyle=\begin{pmatrix}-c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\sin\varphi\\ c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\cos\varphi\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

  Wegen

  $$\displaystyle\boldsymbol{b}_{\alpha}\cdot\boldsymbol{b}_{\beta}=\boldsymbol{b}_{\alpha}\cdot\boldsymbol{b}_{\varphi}=\boldsymbol{b}_{\beta}\cdot\boldsymbol{b}_{\varphi}=0$$

  sind diese Koordinaten orthogonal. Die $\alpha$-Flächen werden durch

  $$\displaystyle\boldsymbol{x}(\beta,\,\varphi)=\begin{pmatrix}c_{1}\,\sin\beta\,\cos\varphi\\ c_{1}\,\sin\beta\,\sin\varphi\\ c_{2}\,\cos\beta\end{pmatrix}$$

  mit $c_{1}=c\,\sinh\alpha_{0}$ und $c_{2}=c\,\sinh\alpha_{0}$ parametrisiert. das sind Rotationsellipsoide mit der $x_{3}$-Achse als Rotationsachse. Die $\beta$-Flächen sind Ebenen in denen die $x_{3}$-Achse liegt; die $\varphi$-Flächen sind zweischalige Rotationshyperboloide.

• In parabolischen Zylinderkoordinaten erhalten wir:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{b}_{u}&\displaystyle=\begin{pmatrix}c\,u\\ c\,v\\ 0\end{pmatrix}=c\,\sqrt{u^{2}+v^{2}}\,\begin{pmatrix}u/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ v/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}_{v}&\displaystyle=\begin{pmatrix}-c\,v\\ c\,u\\ 0\end{pmatrix}=c\,\sqrt{u^{2}+v^{2}}\,\begin{pmatrix}-v/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ u/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}_{z}&\displaystyle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

  Die neuen Koordinaten können wir durch die alten mittels

  $$\begin{aligned}\displaystyle u&\displaystyle=\sqrt{\frac{1}{c}\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+x_{1}\right)}\\ \displaystyle v&\displaystyle=\sqrt{\frac{1}{c}\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}-x_{1}\right)}\\ \displaystyle z&\displaystyle=x_{3}\end{aligned}$$

  ausdrücken. Gradientenbildung ergibt

  $$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{b}^{u}&\displaystyle=\frac{1}{2c}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{c}\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+x_{1}\right)}}\,\begin{pmatrix}x_{1}/\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+1\\ x_{2}/\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{c\,(u^{2}+v^{2})}\,\begin{pmatrix}u\\ v\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{c\,\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,\begin{pmatrix}u/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ v/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}^{v}&\displaystyle=\frac{1}{c\,\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,\begin{pmatrix}-v/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ u/\sqrt{u^{2}+v^{2}}\\ 0\end{pmatrix}\\ \displaystyle\boldsymbol{b}^{z}&\displaystyle=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Die Richtungen der kontravarianten Basisvektoren stimmen mit denen der kovarianten überein, also ist das Koordinatensystem orthogonal. Die $u$- und $v$-Flächen sind parabolische Zylinder, die $z$-Flächen Ebenen parallel zur $x_{1}$-$x_{2}$-Ebene.

Anwendungsprobleme

26.15

• Wir erhalten für die Ellipse

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(\varphi)=\begin{pmatrix}a\,\cos\varphi\\ b\,\sin\varphi\end{pmatrix}\,,\quad\varphi\in[0,\,2\pi)$$

die Ableitung

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}(\varphi)=\begin{pmatrix}-a\,\sin\varphi\\ b\,\cos\varphi\end{pmatrix}\,,\quad\varphi\in[0,\,2\pi)$$

und damit für die Bogenlänge:

$$\begin{aligned}\displaystyle s&\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\,\sin^{2}\varphi+b^{2}\,\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\sin^{2}\varphi+a^{2}\,\cos^{2}\varphi-(a^{2}-b^{2})\,\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}\,\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\varepsilon^{2}\,\cos^{2}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi\end{aligned}$$

Nun entwickeln wir

$$\displaystyle\sqrt{1-\varepsilon^{2}\,\cos^{2}\varphi}=1-\frac{1}{2}\,\varepsilon^{2}\,\cos^{2}\varphi+\mathcal{O}(\varepsilon^{4})$$

und erhalten damit näherungsweise:

$$\begin{aligned}\displaystyle s&\displaystyle\approx a\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi-\frac{a\,\varepsilon^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle\approx 2\pi\,a-\frac{\pi\,a}{2}\,\varepsilon^{2}=a\,(2\pi-0.000\,438\,6)\\ \displaystyle&\displaystyle\approx 939.885\,6\;\mbox{Mio. km}\end{aligned}$$

Die Abweichung von einer Kreisbahn ist äußerst gering. (In den meisten Darstellungen wird die „Ellipsenhaftigkeit“ der Erdbahn stark übertrieben dargestellt.)

26.16

••• Wir nennen den Radius der Säule $a$ und legen ihren Mittelpunkt nach $(-a\quad 0)^{\top}$ Die Ziege sei am Punkt $(0\quad 0)^{\top}$ festgebunden. Den rechten Halbkreis in der Abbildung kann sie ohne Probleme erreichen. Auf der anderen Seite kommt sie dann am weitesten, wenn das Seil bis zu einem Punkt $\boldsymbol{p}$ an der Säule anliegt und von diesem Punkt an tangential weiterläuft.

Aus Symmetriegründen genügt es, nur den Bereich $x_{2}\geq 0$ zu betrachten. Der Punkt $\boldsymbol{p}$ kann dort durch

$$\displaystyle\boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}-a+a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}$$

beschrieben werden. Der Richtungsvektor der Tangente an den Kreis ist in diesem Punkt durch $(-\sin\varphi\quad\cos\varphi)^{\top}$ gegeben. Das Seil liegt bis zur Länge $a\varphi$ an der Säule an, das restliche Stück der Länge $a(\pi-\varphi)$ läuft entlang der Tangente. Die Position der Ziege ist damit

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{\zeta}(\varphi)&\displaystyle=\begin{pmatrix}-a+a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}+a(\pi-\varphi)\,\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\ \cos\varphi\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=a\,\begin{pmatrix}-1+\cos\varphi-\pi\,\sin\varphi+\varphi\,\sin\varphi\\ \sin\varphi+\pi\,\cos\varphi-\varphi\,\cos\varphi\end{pmatrix}\,.\end{aligned}$$

Ableiten liefert

$$\begin{aligned}\displaystyle\dot{\boldsymbol{\zeta}}(\varphi)&\displaystyle=a\,\begin{pmatrix}\varphi\cos\varphi-\pi\,\cos\varphi\\ \varphi\,\sin\varphi-\pi\,\sin\varphi\end{pmatrix}\,,\end{aligned}$$

und wir erhalten für den gesuchten Flächeninhalt:

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{1}&\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\begin{vmatrix}\zeta_{1}&\dot{\zeta}_{1}\\ \zeta_{2}&\dot{\zeta}_{2}\end{vmatrix}\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\,\int_{0}^{\pi}\left\{\pi\,\sin\varphi-\varphi\,\sin\varphi-2\pi\,\varphi+\varphi^{2}+\pi^{2}\right\}\mathrm{d}\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a^{2}}{2}\,\left\{\frac{\pi^{3}}{3}-\pi\right\}\end{aligned}$$

Diese Fläche müssen wir doppelt nehmen, die Grundfläche der Säule abziehen und den großen Halbkreis addieren. Damit erhalten wir letztlich

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=2\,A_{1}-a^{2}\pi+\frac{1}{2}\,(a\pi)^{2}\,\pi=\frac{5}{6}a^{2}\,\pi^{3}-2\,a^{2}\,\pi\,.\end{aligned}$$

26.17

•• Wir wissen, dass $\boldsymbol{p}$ immer auf der Geraden durch

$$\displaystyle\boldsymbol{g}=\begin{pmatrix}a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\boldsymbol{h}=\begin{pmatrix}b\\ 0\end{pmatrix}$$

liegen muss. Diese Gerade lässt sich mittels

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\begin{pmatrix}a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}+\frac{t}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2a\,\cos\varphi}}\begin{pmatrix}b-a\,\cos\varphi\\ -a\,\sin\varphi\end{pmatrix}$$

beschreiben, dabei haben wir den Richtungsvektor bereits normiert. Da $\boldsymbol{p}$ von $\boldsymbol{g}$ stets den Abstand $\ell$ hat und wir $\boldsymbol{g}$ als Basispunkt unserer Geraden gewählt haben, wissen wir, dass $\boldsymbol{p}$ die Kurve

$$\displaystyle\boldsymbol{p}(\varphi)=\begin{pmatrix}a\,\cos\varphi\\ a\,\sin\varphi\end{pmatrix}+\frac{\ell}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2a\,\cos\varphi}}\begin{pmatrix}b-a\,\cos\varphi\\ -a\,\sin\varphi\end{pmatrix}$$

mit $\varphi\in[0,\,2\pi)$ beschreibt.

26.18

•• Wir wissen, dass der Schwerpunkt unterhalb der Evolute der Randkurve liegen muss, um stabile Lagerung zu gewährleisten. Aus Symmetriegründen kennen wir eine Schwerpunktskoordinate, $x_{S}=0$. Für die zweite bestimmen wir die Schnittpunkte der beiden Randkurven zu $(\pm\sqrt{c/a},\,c)$ und erhalten mit der Bezeichung $A$ für die Parabelfläche:

$$\begin{aligned}\displaystyle y_{S}&\displaystyle=\frac{1}{A}\iint_{B}y\,\mathrm{d}(x,y)=\frac{1}{A}\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\int_{ax^{2}}^{c}y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{A}\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{ax^{2}}^{c}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{A}\,\frac{1}{2}\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\left(c^{2}-a^{2}\,x^{4}\right)\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{A}\int_{0}^{\sqrt{c/a}}\left(c^{2}-a^{2}\,x^{4}\right)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{A}\left[c^{2}\,x-\frac{1}{5}\,a^{2}\,x^{5}\right]_{0}^{\sqrt{c/a}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{A}\left(c^{2}\,\sqrt{\frac{c}{a}}-\frac{1}{5}\,c^{2}\,\sqrt{\frac{c}{a}}\right)=\frac{1}{A}\,\frac{4}{5}\,c^{2}\,\sqrt{\frac{c}{a}}\end{aligned}$$

Nun müssen wir nur noch $A$ bestimmen,

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\iint_{B}\mathrm{d}(x,y)=\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\int_{ax^{2}}^{c}\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\left.y\right|_{ax^{2}}^{c}\,\mathrm{d}x=\int_{-\sqrt{c/a}}^{\sqrt{c/a}}\left(c-a\,x^{2}\right)\,\mathrm{d}x\\ \displaystyle&\displaystyle=2\int_{0}^{\sqrt{c/a}}\left(c-a\,x^{2}\right)\,\mathrm{d}x=2\left[c\,x-\frac{1}{3}\,a\,x^{3}\right]_{0}^{\sqrt{c/a}}\\ \displaystyle&\displaystyle=2\left(c\,\sqrt{\frac{c}{a}}-\frac{1}{3}\,c\,\sqrt{\frac{c}{a}}\right)=\frac{4}{3}\,c\,\sqrt{\frac{c}{a}}\,,\end{aligned}$$

und erhalten

$$\displaystyle y_{S}=\frac{\frac{4}{5}\,c^{2}\,\sqrt{\frac{c}{a}}}{\frac{4}{3}\,c\,\sqrt{\frac{c}{a}}}=\frac{4}{5}\,\frac{3}{4}\,c=\frac{3}{5}\,c\,.$$

Um die Stabilität in einem homogenen Kraftfeld zu überprüfen, müssen wir nun die Evolute der Kurve

$$\displaystyle\boldsymbol{\gamma}(t)=\begin{pmatrix}t\\ a\,t^{2}\end{pmatrix}\,,\quad t\in\left[-\sqrt{\frac{c}{a}},\,\sqrt{\frac{c}{a}}\right]$$

bestimmen. Mit

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t)=\begin{pmatrix}1\\ 2at\end{pmatrix}\,,\quad\ddot{\boldsymbol{\gamma}}(t)=\begin{pmatrix}0\\ 2a\end{pmatrix}$$

erhalten wir

$$\displaystyle\begin{vmatrix}1&0\\ 2at&2a\end{vmatrix}=2a\,,$$

und damit für die Evolute

$$\displaystyle\boldsymbol{\xi}(t)=\begin{pmatrix}t\\ a\,t^{2}\end{pmatrix}+\frac{1+4a^{2}t^{2}}{2a}\begin{pmatrix}-2at\\ 1\end{pmatrix}\,,\quad t\in\left[-\sqrt{\frac{c}{a}},\,\sqrt{\frac{c}{a}}\right].$$

Uns interessiert der Punkt auf der Symmetrieachse, der Stelle mit $x_{1}=\xi_{1}(t)=0$. Diese erhält man, wie es auch die Symmetrieeigenschaften vermuten lassen, mit $t=0$. Mit $\xi_{2}(0)=\frac{1}{2a}$ erhalten wir die Bedingung

$$\displaystyle\frac{3}{5}\,c<\frac{1}{2a}\quad\iff\quad a\,c<\frac{5}{6}\,.$$

Je größer man $a$ wählt, desto kleiner muss $c$ sein, und umgekehrt.

26.19

•• Mit

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t^{2})\\ \sin(t^{2})\end{pmatrix}$$

erhalten wir:

$$\begin{aligned}\displaystyle s(0,\,t)&\displaystyle=\int_{0}^{t}\|\dot{\boldsymbol{x}}(\tau)\|\,\mathrm{d}\tau\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{t}\sqrt{\cos(\tau^{2})+\sin(\tau^{2})}\,\mathrm{d}t\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{t}\mathrm{d}\tau=t\end{aligned}$$

Die Bogenlänge ist damit gleich unserem ursprünglichen Parameter. Weiteres Differenzieren liefert

$$\displaystyle\ddot{\boldsymbol{\gamma}}(t)=\begin{pmatrix}-2t\,\sin(t^{2})\\ 2t\,\cos(t^{2})\end{pmatrix}\,,$$

und damit ergibt sich für die Krümmung:

$$\begin{aligned}\displaystyle\kappa(t)&\displaystyle=\frac{\det((\dot{\boldsymbol{x}},\;\ddot{\boldsymbol{x}}))}{(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})^{3/2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{vmatrix}\cos(t^{2})&-2t\,\sin(t^{2})\\ \sin(t^{2})&2t\,\cos(t^{2})\end{vmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=2t\,\cos^{2}(t^{2})+2t\,\sin^{2}(t^{2})=2t\end{aligned}$$

Die Krümmung ist demnach proportional zur Bogenlänge! Dass die Krümmung der Klothoide anfangs null ist, dann stetig zunimmt und beliebig große Werte erreichen kann, macht ihre Bedeutung im Straßenbau aus. Geraden haben Krümmung von null, Kreise eine konstante Krümmung $\kappa_{0}\neq 0$.

Beim direkten Übergang von einer Geraden zu einem Kreis (oder zwischen Kreisen mit unterschiedlichen Radien) würde sich die Krümmung sprunghaft ändern, was ein ruckartiges Drehen am Lenkrad erforderlich machen würde. Auch wenn dieser Effekt durch die Breite der Straße abgemildert wird, wäre die entsprechende plötzliche Zu- oder Abnahme der Querbeschleunigung unangenehm, unter Umständen sogar gefährlich.

Beim Entlangfahren einer Klothoide hingegen wird das Lenkrad kontinuierlich gedreht. Ein Klothoidenstück kann zwischen Kurven beliebiger Krümmung „eingepasst“ werden, insbesondere also zwischen einem Geradenstück und einem Kreisbogen mit beliebigem Radius oder zwischen zwei Kreisbögen mit unterschiedlichen Radien.