Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen

Zusammenfassung

Ein Taschenrechner bietet neben den Grundrechenarten üblicherweise weitere Funktionen an, zum Beispiel die Berechnung des Kosinus oder des Sinus. Anders als die Grundrechenarten wird die Bestimmung solcher Funktionswerte nicht exakt durch elektronische Schaltungen, sondern durch Näherungen auf genügend viele Dezimalstellen durchgeführt. Das funktioniert, wie wir es schon beim Wurzelziehen auf S. 182 gesehen haben, durch eine Formulierung als Grenzwert.

Zu diesem Zweck werden Darstellungen von Funktionswerten als Grenzwerte benötigt. Genauer gesagt handelt es sich bei diesen Grenzwerten um Werte von speziellen Reihen, den Potenzreihen. Der Name kommt daher, dass Potenzen des Arguments der Funktion in den Reihengliedern auftauchen.

Neben der Definition solcher Reihen und dem Studium ihres Konvergenzverhaltens wird es in diesem Kapitel vor allem darum gehen, wie man Funktionen mit ihrer Hilfe darstellt und welche Funktionen so dargestellt werden können. Dabei stoßen wir wieder auf alte Bekannte, wie die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.

Appendices

Zusammenfassung

Definition einer Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe versteht man eine Reihe der Form

$$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(z-z_{0})^{n}\right).$$

Hierbei ist $(a_{n})$ eine Folge von komplexen Koeffizienten, die feste Zahl $z_{0}\in\mathbb{C}$ heißt Entwicklungspunkt.

Zu jeder Potenzreihe gehört ein Konvergenzradius $r$, entweder eine nicht-negative Zahl oder unendlich. Für alle $z$ aus der Kreisscheibe

$$\displaystyle\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z-z_{0}|<r\}$$

konvergiert die Potenzreihe absolut, für alle $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_{0}|> r$ divergiert die Reihe. Für Zahlen $z$ mit $|z-z_{0}|=r$ ist sowohl Konvergenz als auch Divergenz möglich. Diese Kreisscheibe ist der Konvergenzkreis der Potenzreihe.

1.1 Zur Bestimmung des Konvergenzradius behandelt man Potenzreihen am besten wie gewöhnliche Reihen

Mit dem Quotienten- oder dem Wurzelkriterium lässt sich am einfachsten der Konvergenzradius bestimmen. Für Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises machen diese Kriterien jedoch keine Aussage.

Stetigkeit von Potenzreihen

Durch eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzkreises eine stetige Funktion definiert.

1.2 Potenzreihen mit demselben Entwicklungspunkt kann man addieren und multiplizieren

Die Addition von Potenzreihen geschieht durch gliedweise Addition der Koeffizienten. Für die Multiplikation wird das Cauchy-Produkt angewandt. Die so gewonnenen Potenzreihen konvergieren auf dem kleineren der Konvergenzkreise der ursprünglichen Reihen.

1.3 Durch Koeffizientenvergleich lassen sich Darstellungen von Funktionen gewinnen

Die Grundlage des Koeffizientenvergleichs ist der Identitätssatz.

Identitätssatz für Potenzreihen

Gilt für zwei Potenzreihen und $r> 0$ die Gleichung

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(z-z_{0})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\,(z-z_{0})^{n}$$

für alle $z$ mit $|z-z_{0}|<r$, so sind die Koeffizientenfolgen $(a_{n})$ und $(b_{n})$ identisch.

Um das Verhalten einer Funktion für kleine Argumente zu beschreiben, gibt es eine spezielle Notation, die Landau-Symbolik. Ist der Quotient $f(x)/x^{n}$ für $x$ gegen $0$ beschränkt, so schreibt man dies als $f(x)=\mathrm{O}(x^{n})$ für $x\to 0$.

1.4 Die Exponentialfunktion

Definition der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion $\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ist für alle $z\in\mathbb{C}$ definiert durch die Potenzreihe

$$\displaystyle\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}.$$

Man definiert außerdem die allgemeine Potenz von $\mathrm{e}$ durch

$$\displaystyle\mathrm{e}^{z}=\exp(z)\quad\text{f{\"u}r }z\in\mathbb{C}.$$

Die aus Kap. 4 bekannte Funktionalgleichung gilt auch im Komplexen. Als gerade bzw. ungerader Anteil der Exponentialfunktion ergeben sich die hyperbolischen Funktionen $\cosh$ und $\sinh$.

1.5 Der Betrag von $e^{z}$ hängt nur von $\mathrm{Re}\,z$ ab

Aus der Darstellung der Exponentialfunktion als Potenzreihe lassen sich viele nützliche Eigenschaften ableiten. Aus der Beobachtung, dass $\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ für jedes $t\in\mathbb{R}$ den Betrag $1$ hat, ergibt sich die Euler’sche Formel.

Die Euler’sche Formel

Für $t\in\mathbb{R}$ gilt

$$\displaystyle\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}=\cos t+\mathrm{i}\sin t.$$

Aus dieser Formel folgt auch eine neue Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen. Für eine komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ gilt

$$\displaystyle z=r(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi},$$

wobei $r$ der Betrag und $\varphi$ das Argument der Zahl $z$ sind.

Aus der Euler’schen Formel folgt auch die Darstellung der trigonometrischen Funktionen durch Potenzreihen, die wir als ihre analytische Definition auffassen.

Definition der Kosinus- und der Sinusfunktion

Durch die Potenzreihen

$$\begin{aligned}\displaystyle\cos z&\displaystyle=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}z^{2k}\\ \displaystyle\sin z&\displaystyle=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}z^{2k+1}\end{aligned}$$

sind die trigonometrischen Funktionen für $z\in\mathbb{C}$ definiert.

Die Zahl $\pi$ wird als das Doppelte der ersten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Alle anderen Nullstellen der trigonometrischen Funktionen ergeben sich als ganzzahlige Vielfache von $\pi/2$.

Der komplexe Logarithmus

Für eine komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ ist durch

$$\displaystyle\ln z=\ln|z|+\mathrm{i}\,\text{arg}(z)$$

der Hauptwert des Logarithmus gegeben, wenn $\text{arg}(z)\in(-\pi,\pi]$ den Hauptwert des Arguments von $z$ bezeichnet. Dabei wird bei $\ln|z|$ der bekannte Logarithmus für reelle positive Zahlen angewandt.

Auch für den komplexen Logarithmus gibt es eine Funktionalgleichung. Für $w,z\in\mathbb{C}$ gilt

$$\displaystyle\ln w+\ln z=\ln(wz)+2\pi\beta\mathrm{i},$$

wobei $\beta\in\{-1,0,1\}$ in Abhängigkeit der Summe der Argumente von $w$ und $z$ gewählt werden muss.

Mithilfe der Exponentialfunktion und des komplexen Logarithmus lässt sich schließlich die allgemeine Potenzfunktion definieren.

Die allgemeine Potenzfunktion

Für $a\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ ist durch

$$\displaystyle a^{z}=\mathrm{e}^{z\,\ln a}$$

der Hauptwert der allgemeinen Potenz definiert. Im Fall $a=0$ und $z\neq 0$ definieren wir $a^{z}=0$.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

9.1

• Handelt es sich bei den folgenden für $z\in\mathbb{C}$ definierten Reihen um Potenzreihen? Falls ja, wie lautet die Koeffizientenfolge und wie der Entwicklungspunkt?

• (a) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{3^{n}}{n!}\,\dfrac{1}{z^{n}}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{n\,(z-1)^{n}}{z^{2}}\right)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{n}\dfrac{1}{n!}\dbinom{n}{j}z^{j}\right)$

• (d) $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{2n}\,\cos z\Big)$

9.2

• Welche der folgenden Aussagen über eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $z_{0}\in\mathbb{C}$ und Konvergenzradius $\rho$ sind richtig?

• (a) Die Potenzreihe konvergiert für alle $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_{0}|<\rho$ absolut.

• (b) Die Potenzreihe ist eine auf dem Konvergenzkreis beschränkte Funktion.

• (c) Die Potenzreihe ist auf jedem Kreis mit Mittelpunkt $z_{0}$ und Radius $r<\rho$ eine beschränkte Funktion.

• (d) Die Potenzreihe konvergiert für kein $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_{0}|=\rho$.

• (e) Konvergiert die Potenzreihe für ein $\hat{z}\in\mathbb{C}$ mit $|\hat{z}-z_{0}|=\rho$ absolut, so gilt dies für alle $z\in\mathbb{C}$ mit $|z-z_{0}|=\rho$.

9.3

•• Bestimmen Sie mithilfe der zugehörigen Potenzreihen die folgenden Grenzwerte,

• (a) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\,\sin x}$,

• (b) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin(x^{4})}-1}{x^{2}\,(1-\cos(x))}$.

9.4

• Zeigen Sie die Formel von Moivre,

$$\displaystyle(\cos\varphi+\mathrm{i}\,\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+\mathrm{i}\sin(n\varphi)$$

für alle $\varphi\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}$. Benutzen Sie diese Formel, um die Identität

$$\displaystyle\cos(2n\varphi)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}{2n\choose 2k}\cos^{2(n-k)}(\varphi)\,\sin^{2k}(\varphi)$$

für alle $\varphi\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}_{0}$ zu beweisen.

9.5

• Finden Sie je ein Paar $(w,z)$ von komplexen Zahlen, sodass die Funktionalgleichung des Logarithmus für $\beta=0$, $\beta=1$ und $\beta=-1$ erfüllt ist.

2.2 Rechenaufgaben

9.6

•• Bestimmen Sie den Konvergenzradius und den Konvergenzkreis der folgenden Potenzreihen.

• (a) $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(k!)^{4}}{(4k)!}z^{k}\right)$

• (b) $\Big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{n}(z-2)^{n}\Big)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+\mathrm{i}}{(\sqrt{2}\,\mathrm{i})^{n}}\dbinom{2n}{n}z^{2n}\right)$

• (d) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2+\mathrm{i})^{n}-\mathrm{i}}{\mathrm{i}^{n}}\,(z+\mathrm{i})^{n}\right)$

9.7

• Für welche $x\in\mathbb{R}$ konvergieren die folgenden Potenzreihen?

• (a) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}\,(2^{n}+1)}{n}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1-(-2)^{-n-1}\,n!}{n!}\,(x-2)^{n}\right)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right]^{n}\,(x+1)^{n}\right)$

9.8

••• Für welche $z\in\mathbb{C}$ konvergiert die Potenzreihe

$$\displaystyle\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2\mathrm{i})^{n}}{n^{2}+\mathrm{i}n}\,(z-2\mathrm{i})^{n}\right)\,?$$

9.9

•• Gesucht ist eine Potenzreihendarstellung der Form $\smash[b]{\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}\Big)}$ zu der Funktion

$$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1-x},\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$

• (a) Zeigen Sie $a_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$.

• (b) Für welche $x\in\mathbb{R}$ konvergiert die Potenzreihe?

9.10

•• Gegeben ist die Funktion $D\to\mathbb{C}$ mit

$$\displaystyle f(z)=\frac{z-1}{z^{2}+2},\qquad z\in D.$$

• (a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D\subseteq\mathbb{C}$ von $f$.

• (b) Stellen Sie $f$ als eine Potenzreihe mithilfe des Ansatzes

  $$\displaystyle z-1=(z^{2}+2)\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$

  dar. Was ist der Konvergenzradius dieser Potenzreihe?

9.11

•• Berechnen Sie eine Potenzreihendarstellung der rationalen Funktion

$$\displaystyle f(z)=\frac{1+z^{3}}{2-z},\qquad z\in\mathbb{C}\setminus\{2\},$$

indem Sie die geometrische Reihe verwenden.

9.12

••• Bestimmen Sie die ersten beiden Glieder der Potenzreihenentwicklung von

$$\displaystyle f(x)=(1+x)^{1/n},\qquad x> -1,$$

um den Entwicklungspunkt $x_{0}=1$.

9.13

•• Bestimmen Sie alle $z\in\mathbb{C}$, die der folgenden Gleichung genügen.

• (a) $\cosh(z)=-1$,

• (b) $\cosh z-\dfrac{1}{2}\,(1-8\mathrm{i})\,\mathrm{e}^{-z}=2+2\mathrm{i}$.

9.14

•• Bestimmen Sie jeweils alle $z\in\mathbb{C}$, die Lösungen der folgenden Gleichung sind.

• (a) $\cos\overline{z}=\overline{\cos z}$,

• (b) $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\overline{z}}=\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}$.

2.3 Anwendungsprobleme

9.15

•• Berechnen Sie mithilfe der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion die ersten 5 Stellen der Dezimaldarstellung von $\mathrm{e}^{2}$. Überlegen Sie sich dazu eine Abschätzung, die Ihnen die Richtigkeit Ihres Ergebnisses garantiert.

9.16

•• Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die Differenz $\sin(\sinh(x))-\sinh(\sin(x))$ für $x\in\{0.1,\,0.01,\,0.001\}$. Erklären Sie diese Beobachtung, indem Sie das erste Glied der Potenzreihenentwicklung dieser Differenz um den Entwicklungspunkt $0$ bestimmen.

9.17

• Wie schon in der Aufgabe 6.15 zu Kapitel 6 betrachten wir die Van-der-Waals-Gleichung,

$$\displaystyle\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=RT,$$

die den Zusammenhang zwischen dem Druck $p$, der Temperatur $T$ und dem molaren Volumen $V$ eines Gases beschreibt. Dabei ist $R$ die universelle Gaskonstante, $a$ der Kohäsionsdruck und $b$ das Kovolumen, die beide vom betrachteten Gas abhängen. Im Allgemeinen gilt $b\ll V$.

Stellen Sie den Druck $p$ als eine Potenzreihe im Kehrwert des molaren Volumens auf. Was erhalten Sie, wenn Sie nur den ersten Term dieser Reihe berücksichtigen?

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

(a) Ja.

(b) Nein: Der Term $\sqrt{1-y^{2}}$ hängt von $y$, ab, ist aber keine Potenz von $y$.

(c) Nein: Der Term $1/z^{n}$ passt nicht ins Schema.

(d) Ja: Da $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ ist, kann man die Reihe auch in der Form

$$\displaystyle\left(\sum\limits_{n=2}^{\infty}(x-1)^{n-2}\right)=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^{n}\right)$$

schreiben.

Antwort 2

$(-2,2)$: Radius $2$, Entwicklungspunkt $0$.

$(0,\infty)$: Kein möglicher Konvergenzbereich.

$\{-1\}$: Radius $0$, Entwicklungspunkt $-1$.

$[1,3]$: Radius $1$, Entwicklungspunkt $2$.

$\mathbb{R}$: Radius $\infty$, Entwicklungspunkt könnte jede Zahl aus $\mathbb{R}$ sein.

Antwort 3

Aus

$$\displaystyle\sqrt[n]{|3^{n}\,(x-x_{0})^{2n+1}|}=3\,|x-x_{0}|^{2}\,\sqrt[n]{|x-x_{0}|}\to 3|x-x_{0}|^{2}$$

für $n\to\infty$, folgt mit dem Wurzelkriterium, dass der Konvergenzradius $\sqrt{1/3}$ ist. Die Formel von Hadamard kann nicht angewandt werden.

Antwort 4

Aus der letzten Gleichheit folgt mit Koeffizientenvergleich $c_{2k}=0$ und $c_{2k-1}=1/(k-1)!$ für $k\in\mathbb{N}$. Ebenfalls durch Koeffizientenvergleich folgt $a_{0}=0$ und $a_{n}=c_{n}$ für $n\in\mathbb{N}$. Über die Koeffizientenfolge $(b_{n})$ kann man durch Koeffizientenvergleich keine Aussage treffen, da der Entwicklungspunkt in dieser Potenzreihe ein anderer ist.

Antwort 5

Wegen der geometrischen Reihe ist

$$\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{2n},\quad|x|<1.$$

Damit ist

$$\displaystyle\frac{x}{1-x^{2}}=x+x^{3}+x^{5}+\mathrm{O}(x^{7})$$

für $x$ gegen $0$. Da ein Ausdruck $\mathrm{O}(x^{7})$ auch $\mathrm{O}(x^{6})$ ist, ist $p(x)=x+x^{3}+x^{5}$ das gesuchte Polynom.

Antwort 6

Wir betrachten den Quotienten

$$\displaystyle\left|\frac{(2k)!z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!z^{2k}}\right|=\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}|z|^{2}\rightarrow 0$$

für $k\rightarrow\infty$. Nach dem allgemeinen Quotientenkriterium ist der Konvergenzradius unendlich, d. h., die Potenzreihe konvergiert für jede Zahl $z\in\mathbb{C}$ absolut.

Antwort 7

Es muss $z^{3}=2$ sein, also $z=\sqrt[3]{2}\,u$, wobei $u\in\mathbb{C}$ mit $u^{3}=1$ ist. Die 3. komplexen Einheitswurzeln sind

$$\displaystyle\mathrm{e}^{2\pi\frac{0}{3}\mathrm{i}},\quad\mathrm{e}^{2\pi\frac{1}{3}\mathrm{i}},\quad\mathrm{e}^{2\pi\frac{2}{3}\mathrm{i}},$$

also ist die Lösungsmenge der Gleichung

$$\displaystyle\left\{\sqrt[3]{2},\;\sqrt[3]{2}\,\mathrm{e}^{\frac{2\pi}{3}\mathrm{i}},\;\sqrt[3]{2}\,\mathrm{e}^{\frac{4\pi}{3}\mathrm{i}}\right\}.$$

Antwort 8

Es gilt

$$\displaystyle\cos(\mathrm{i}z)=\frac{1}{2}{(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathrm{i}z)}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\mathrm{i}z)})}=\frac{1}{2}{(\mathrm{e}^{-z}+\mathrm{e}^{z})}=\cosh(z)$$

und entsprechend

$$\displaystyle\sin(\mathrm{i}z)=\frac{1}{2\mathrm{i}}\overline{(\mathrm{e}^{-z}-\mathrm{e}^{z})}=-\frac{1}{\mathrm{i}}\sinh z=\mathrm{i}\sinh z.$$